§5.2最少拍數(shù)字控制器的算法與程序所謂最少拍系統(tǒng)是指系統(tǒng)對某些典型的輸入，例如單位階躍輸入，速度函數(shù)輸入或加速度函數(shù)輸入等，具有最快的響應(yīng)特性。具體來說，最少拍系統(tǒng)應(yīng)滿足：系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間最短，即能在有限個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束過渡過程；對典型輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

1.最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法由方程式（5.6），可得

（5.12）

其中K(z)為系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)由方程式(5.12)，可求得系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)為（5.13）對于穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng),就是要求的反變換e(t)的終值為零。由終值定理，可得

（5.14）由上式可知，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入函數(shù)R(z)有關(guān)。典型的輸入函數(shù)R(z)可表示為(5.15)其中是不包含因子的多項(xiàng)式。

對單位階躍輸入函數(shù)，p=1；對速度輸入函數(shù)，p=2；對加速度輸入函數(shù),p=3。將式（5.15）代入式(5.14)中,得

(5.16)由上式可知,滿足穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件是(5.17)其中F(z)是待定的的有理分式。當(dāng)F(z)=1時(shí)，(5.17)式求得的K(z)是最簡單的，所含的項(xiàng)數(shù)最少,即為最少拍系統(tǒng).由(5.17)式可得(5.18)由(5.18)式可求得各種輸入函數(shù)時(shí),最少拍響應(yīng)特性的系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),并從(5.12)式可求得相應(yīng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。由(5.18)式可求得各種輸入函數(shù)時(shí),最少拍響應(yīng)特性的系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),并從(5.12)式可求得相應(yīng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。表5.1具有最少拍響應(yīng)特性的K(z)與輸入類型單位階躍速度函數(shù)加速函數(shù)表5.1給出了3種典型輸入函數(shù)具有最少拍響應(yīng)特性的K(z)和。由表5.1可見，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，，只含1項(xiàng)，即過渡過程在1個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束；當(dāng)輸入為速度函數(shù)時(shí)，過渡過程在2個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束；當(dāng)輸入為加速度函數(shù)時(shí)，過渡過程在3個(gè)采樣周期內(nèi)結(jié)束。由上述分析可見，提高采樣頻率，可以縮短采樣周期，也就是可以縮短系統(tǒng)的過渡過程時(shí)間。這樣，當(dāng)采樣頻率無限增加時(shí)，過渡過程時(shí)間等于無限小嗎?。這個(gè)結(jié)論在理論上是正確的，但在實(shí)際系統(tǒng)中存在約束條件，限制了采樣頻率的上限。例如，當(dāng)采樣頻率增加時(shí)，為了使系統(tǒng)對階躍輸入的過渡過程只有一拍，要求數(shù)字控制器的放大倍數(shù)成平方倍關(guān)系增加。實(shí)際上，數(shù)字控制器的放大倍數(shù)總有一定的限制，不能無限地增加。所以，采樣頻率也就不能無限制地增加。例5.1系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

求輸入函數(shù)為單位階躍函數(shù)時(shí)具有最少拍特性的數(shù)字控制器（1）求零階保持環(huán)節(jié)和控制對象的組合脈沖傳遞函數(shù)

（5.19）其中（2）求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)由表5.1，可求得輸入函數(shù)為單位階躍的數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)，即

（5.20）（3）求數(shù)字控制器的控制算法由(5.20)式，可求得數(shù)字控制器的控制算法為

（5.21）必須指出，所設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器必須是物理上可以實(shí)現(xiàn)的，物理上可實(shí)現(xiàn)的條件為（1）的分子階次必須低于或等于分母的階次。（2）假如，控制對象包含滯遲環(huán)節(jié)，那末被設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)至少包含相同的滯遲環(huán)帶。（3）假如，G(z)展開成多項(xiàng)式，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的K(z)最小負(fù)冪必須等于或高于G(z)的最小負(fù)冪。例如，G(z)是從階開始的，那么K(z)的第1項(xiàng)必須等于零。即（5.22）此外，物理上可實(shí)現(xiàn)條件，還應(yīng)包含穩(wěn)定性條件，例如，數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)不應(yīng)為了補(bǔ)償在單位圓以外的對象的零點(diǎn)而造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。例如G(z)中有一個(gè)位于單位圓以外的零點(diǎn)，即

（5.23）為了使數(shù)字控制器不包含不穩(wěn)定的極點(diǎn)，我們可以選?。?.17）式中的合適的F(z)表示式。假設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(5.24)由(5.24)式和(5.25)式可得(5.26)選取(5.27)將(5.27)式代入（5.26）式，得以及如果系統(tǒng)的輸入為單位階躍函數(shù)，的值可由下式方法確定，因?yàn)橛?5.17)式，得(5.25)將(5.28)式和(5.23)式代入表4.1中的計(jì)算公式中，求得具有穩(wěn)定補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

（5.29）由上式可得=0.4，因此（5.28）相應(yīng)的數(shù)字控制器的控制算法為

（5.30）2．無紋波最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法由最小拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可見，最少拍系統(tǒng)是穩(wěn)態(tài)誤差為零的系統(tǒng)。穩(wěn)態(tài)誤差為零是指過渡過程結(jié)束以后，在采樣點(diǎn)處沒有誤差，而采樣點(diǎn)之間可能有紋波存在，如圖5.6所示。圖5.6最少拍系統(tǒng)產(chǎn)生的紋波有限項(xiàng)無限項(xiàng)，過渡過程總結(jié)束不了，總在那里擺動(dòng)。解決方法：變成有限項(xiàng)原因：可以推知：因此只需使K(z)能被G(z)除盡考慮系統(tǒng)相似例5.1的系統(tǒng)，并改寫（5.19）式為下述形式:則K(z)應(yīng)包含:如果系統(tǒng)的輸入為速度函數(shù)，那么可取：

其中f·1、f2為待定系數(shù)

為了使穩(wěn)態(tài)誤差等于0，有:可知:具體是:解得:有:3．應(yīng)用實(shí)例例5.2某直流調(diào)速系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方塊圖，如圖5.7所示。圖5.7直流調(diào)速系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖

假設(shè)輸入信號(hào)為單位階躍函數(shù)，求系統(tǒng)具有最少拍響應(yīng)的數(shù)字控制器及相應(yīng)的計(jì)算機(jī)控制算法。（1）求數(shù)字控制器的算法求取數(shù)字控制器的算法分為3步：（a）計(jì)算零階保持環(huán)節(jié)與控制對象的組合脈沖傳遞函數(shù)由圖5.7可見

（5.46）其中（b）計(jì)算數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)對單位階躍輸入函數(shù)，由表5.1中查到數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)為

（5.47）（c）求數(shù)字控制器的算法由（5.47）式，可得

（5.48）由上式可直接寫出數(shù)字控制器的算法為

（5.49）（2）編寫數(shù)字控制器的計(jì)算機(jī)程序根據(jù)（5.49）式可直接編寫數(shù)字控制器的計(jì)算機(jī)程序。計(jì)算機(jī)程序流程圖，如圖5.8所示。圖5.8數(shù)字控制器的計(jì)算機(jī)程序流程圖（3）具有前饋控制的數(shù)字控制器具有前饋控制的直流調(diào)速系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖，如圖5.9所示。圖5.9具有前饋控制的可控硅調(diào)速系統(tǒng)的傳遞函數(shù)圖+--+++

合理地設(shè)計(jì)前饋控制器的脈沖傳遞函數(shù)，來消除負(fù)載干擾的影響。由于計(jì)算機(jī)有高速的運(yùn)算能力，所以這種控制具有能有效地克服由負(fù)載變化引起的動(dòng)態(tài)速降，使系統(tǒng)具有較高的動(dòng)態(tài)精度。設(shè)計(jì)前饋控制器的一般步驟為（a）求被控對象及零階保持環(huán)節(jié)的組合脈沖傳遞函數(shù)G(z)；求干擾信號(hào)的Z傳遞函數(shù)；求干擾信號(hào)與控制對象相關(guān)部分的組合脈沖傳遞函數(shù)。圖5.9所示系統(tǒng)的控制對象及零階保持環(huán)節(jié)的組合脈沖傳遞函數(shù)G(z)，它與(5.46)式相同,這里不再重述.設(shè)負(fù)載干擾信號(hào)為單位階躍函數(shù),則干擾信號(hào)的Z傳遞函數(shù)為（5.50）干擾信號(hào)與被控對象相關(guān)部分的組合脈沖傳遞函數(shù)為

（5.51）(b)求系統(tǒng)具有最少拍響應(yīng)的數(shù)字控制的脈沖傳遞函數(shù)。圖5.9所示系統(tǒng)的數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)與（5.47）式相同，這里也不再重述。對（5.52）式的兩邊進(jìn)行星號(hào)變換，得

（5.53）將（5.53）式寫成Z變換形式，得

（5.54）

（c）求前饋數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)。由圖5.9，可得

（5.52）因?yàn)椋?.55）將（5.55）式代入（5.54）式，得

（5.56）由（5.54）式可見，能合理地補(bǔ)償干擾信號(hào)的為

（5.57）由（5.54）式可見，能合理地補(bǔ)償干擾信號(hào)的為

（5.57）將(5.50),(5.51),(5.47)式,代入(5.57)式,得(5.58)（d）求順饋和前饋數(shù)字控制器的算法順饋數(shù)字控制器的算法與（5.49）式相同,由(5.58)式可得前饋數(shù)字控制器的算法為：（5.59）其中由(5.49)式和（5.59）式可直接編制具有前饋和順饋數(shù)字控制器的計(jì)算機(jī)程序，它的程序流程圖，如圖（5.10）所示。開始輸入采樣頻率計(jì)算機(jī)數(shù)A，B，C，D設(shè)定控制量m,誤差量e,干優(yōu)信號(hào)te和等初始值e(k-1)=0e(k-2)=0m(k-1)=0m(k-2)=0q(k-1)=0q(k-2)=0t1(k-1)=0t1(k-2)=0采樣誤差信號(hào)e，干擾