2022-2023學年四川省瀘州市瀘縣第一中學高一上學期12月月考數學試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據題意，求出函數，的值域，得到集合，取交集得答案.【詳解】因為，所以，故選：B.2．下列函數中，既是奇函數，且在區(qū)間上是減函數是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用基本初等函數的奇偶性與單調性可得出合適的選項.【詳解】對于A選項，函數為奇函數，且該函數在處無定義；對于B選項，函數為偶函數，且該函數在上為減函數；對于C選項，函數為奇函數，且該函數在上為增函數；對于D選項，函數為奇函數，且該函數在上為減函數.故選：D.3．設實數滿足，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】ABC均可舉出反例，D選項，利用指數函數的單調性，不等式的性質和基本不等式證明出結論.【詳解】若，則，故A錯誤；若時，，此時，故B錯誤；當時，，此時，故C錯誤；因為，所以，所以，又，當且僅當，即時等號成立，所以，故D正確.故選：D.4．已知點是角α的終邊與單位圓的交點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據余弦函數的定義直接進行求解即可.【詳解】因為點是角α的終邊與單位圓的交點，所以，故選：B5．已知，則（

）A．-99 B．-98 C．99 D．-100【答案】B【解析】首先利用求出，再利用函數的奇偶性即可求解.【詳解】，所以，即，可得，設，由，即函數為奇函數，故，故，由，所以，故選：B【點睛】本題考查了函數奇偶性的應用，需熟記奇偶性的性質，屬于基礎題.6．若（且）在R上為增函數，則的單調遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定的單調性求出a的取值范圍，再求出函數的定義域，利用復合函數單調性求解作答.【詳解】且，函數與在R上有相同的單調性，即函數與函數在R上有相同的單調性，因此函數在R上單調遞增，，在中，，解得或，顯然函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數的單調遞增區(qū)間為.故選：B7．某服裝廠2020年生產了15萬件服裝，若該服裝廠的產量每年以20%的增長率遞增，則該服裝廠的產量首次超過40萬件的年份是（參考數據：取，）（

）A．2023年 B．2024年C．2025年 D．2026年【答案】D【分析】設該服裝廠的產量首次超過40萬件的年份為n，進而得，再結合對數運算解不等式即可得答案.【詳解】解：設該服裝廠的產量首次超過40萬件的年份為n，則，得，因為，所以．故選：D8．已知函數，其圖象與直線相鄰兩個交點的距離為，若對任意的恒成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先結合函數最大值及相鄰兩個最高點的距離得到函數周期，求出，再由化為，恒成立，求出的大致區(qū)間，最后結合余弦函數的圖象，即求得的取值范圍.【詳解】函數的最大值為3，所以圖象與直線相鄰兩個交點的距離為一個周期，即周期，，對任意恒成立，即對任意恒成立，當時，，則，結合余弦函數的圖象特征可知，，解得.故選:B.【點睛】思路點睛：研究型三角函數的性質，通常利用整體轉換思想，將看成整體，將問題化歸為研究熟悉的余弦函數的性質來解決.9．下列結論正確的有（

）A．當時，B．當時，的最小值是2C．當時，的最小值是5D．設，且，則的最小值是9【答案】AD【解析】利用放縮法以及基本不等式判斷A；利用基本不等式等號成立的條件判斷B；利用特殊值判斷C；利用基本不等式判斷D.【詳解】當時，，A正確；時取等號，因為，所以等號不成立，的最小值不是2，B不正確；當時，取，，最小值不是5，C不正確；，時等號成立，的最小值是9，D正確，故選：AD.【點睛】利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構成和的二項之積轉化成定值；要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方二、多選題10．下列函數中存在零點的函數有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】利用零點的定義，逐個選項進行判斷即可【詳解】對于A，令，無解，A錯；對于B，令，解得，零點為，B對；對于C，令，解得，零點為，C對；對于D，分段函數，與軸沒有交點，故該分段函數沒有零點，D錯故選：BC11．高斯是德國著名的數學家，享有“數學王子”的稱號，以他名字命名的“高斯函數”是數學界非常重要的函數．“高斯函數”為，其中，表示不超過x的最大整數，例如，則函數的值可能為（

）A．-1 B．0 C．1 D．2【答案】AB【分析】由指數函數的性質求的值域，再由“高斯函數”的定義求值域，即可確定答案.【詳解】由，則，所以A、B滿足范圍，C、D不滿足.故選：AB12．已知函數有兩個零點，，則（

）A．B．若，則C．D．函數有四個零點【答案】ABC【分析】根據零點和二次函數的相關知識對選項逐一判斷即可【詳解】對于A選項，函數有兩個零點，則，即，解得，故A正確；對于B選項，，，，故B選項正確；對于C選項，，，所以，故C選項正確；對于D選項，因為，所以當時，有四個零點，當時，有三個零點，當時，有兩個零點，故D選項錯誤.故選：ABC三、填空題13．函數的圖象經過點，則__________.【答案】【解析】根據函數圖象過點，求出，進而可求出函數值.【詳解】因為函數的圖象經過點，所以，因此，故，所以.故答案為：14．化簡：______.（要求將結果寫成最簡形式）【答案】【分析】結合誘導公式化簡，再結合兩角差正弦公式分析即可【詳解】故答案為：【點睛】本題考查三角函數的化簡，誘導公式的使用，屬于基礎題15．設則的最小值為________【答案】##【分析】利用換元法，令將所給的代數式進行變形，然后利用均值不等式即可求得最小值.【詳解】由，可得.可令，即，則，當且僅當，時，等號成立.故答案為：．16．已知函數，，且，則____________（填>，<，≥，≤）.【答案】【分析】由進行化簡，結合圖象判斷出的大小關系.【詳解】由得，.由得，.畫出的圖象如下圖所示，由圖可知,.所以，故答案為：四、解答題17．回答下列各題．（1）求值：．（2）解關于的不等式：（其中）．【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）根據指數冪的運算法則和對數的運算性質計算即可；（2）不等式化為，根據不等式對應方程的兩根寫出不等式的解集．【詳解】（1）．（2）不等式可化為，不等式對應方程的兩根為，，且（其中）；所以原不等式的解集為．18．已知.求（1）的值；

（2）的值．【答案】（1）（2）【分析】(1)由題意利用兩角和的正切公式可得三角函數式的值；(2)由題意利用誘導公式和同角三角函數基本關系求解一次齊次三角函數式的值即可.【詳解】（1）.（2）.【點睛】本題主要考查兩角和的正切公式，同角三角函數基本關系及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19．已知集合：①；②；③，集合（m為常數），從①②③這三個條件中任選一個作為集合A，求解下列問題：(1)定義，當時，求；(2)設命題p：，命題q：，若p是q成立的必要不充分條件，求實數m的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求出集合的范圍，取交集即可（2）求出集合的范圍，根據p是q成立的必要不充分條件，得到，從而求出參數的取值范圍【詳解】（1）選①：，若，即時，即，解得，若，則，無解，所以的解集為，故，由，可得，即，解得，故，則．選②：，解得，故，，，即，解得，故，則．選③：，，解得，故，，，即，解得，故，則．（2）由，即，解得，因為p是q成立的必要不充分條件，所以，所以或，解得，故m的取值范圍為．20．已知實數x滿足．(1)求x的取值范圍；(2)在（1）的條件下，若函數（且）的最小值為1，求a的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）原不等式可化為，可求得，從而可求出x的取值范圍，（2）（法一）設，則在上為減函數，則恒成立，可求出，再利用復合函數的單調性可得在上為減函數，從而可求出的最小值，使其等于1，可求出a的值，（法二）設，在上為減函數，然后分和兩種情況求的最小值即可【詳解】（1）原不等式可化為即，所以所以（2）（法一）設則是上的減函數根據題意，，，所以．此時是上的增函數，所以在單調遞減所以，當時，所以，解得（舍）或（法二）設則是上的減函數若，因為是上的減函數，所以是上的增函數所以，因為，所以此方程無解若，因為是上的增函數，所以是上的減函數所以所以，解得（舍）或綜上，．21．已知函數.(1)若函數在區(qū)間內存在零點，求實數的取值范圍；(2)若時，求證：函數在上有且只有一個零點.【答案】(1)；(2)詳見解析.【分析】（1）當時，可得，當時，利用二次函數的性質分類討論即得；（2）由題可得，利用冪函數及一次函數的性質可知函數為增函數，再利用零點存在定理即證.【詳解】（1）當，即時，由，得，∴符合題意，當，即時，函數的對稱軸為，當函數在區(qū)間內有兩個零點時，則m+1>解得，當函數在區(qū)間內有一個零點時，或在此區(qū)間上單調遞增，∴或，即或且，當，即時，由得，符合題意；綜上，實數的取值范圍為.（2）由題可得，又與單調遞增，∴函數在上單調遞增，又，所以有且僅有一個，使，故函數在上有且只有一個零點.22．已知函數（且）．（1）當時，解不等式；（2），，求實數的取值范圍；（3）在（2）的條件下，是否存在，使在區(qū)間上的值域是？若存在，求實數的取值范圍；若不存在，試說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）不存在滿足題意的實數，，理由見解析．【分析】（1）把代入，然后結合對數函數的單調性即可求解不等式；（2）由已知不等式恒成立轉化為最值成立，結合復合函數的單調性即可求解；（3）結合對數函數單調性代入后，結合已知等式特點構