2022-2023學年廣西三新聯(lián)盟高二上學期11月聯(lián)考數(shù)學試題一、單選題1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件求出，，求并集即可得到結果.【詳解】因為集合，所以，又，所以，即.故選：A.2．設，滿足，其在復平面對應的點為，求點構成的集合所表示的圖形面積（

）A．1 B．5 C． D．【答案】D【分析】復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的幾何意義可知，滿足的點為兩個圓所夾的圓環(huán)（包括邊界），根據(jù)兩圓面積之差即可求出.【詳解】設復數(shù)，則，.則等價于，即有.所以復平面對應的點為表示復平面上以為圓心，以2，3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)（包括邊界），故其面積為．故選：D.3．某農學院研究員發(fā)現(xiàn)，某品種的甜瓜生長在除溫差以外其他環(huán)境均相同的條件中，成熟后甜瓜的甜度y（單位：度）與晝夜溫差x（單位：℃，）近似滿足函數(shù)模型．當溫差為30℃時，成熟后甜瓜的甜度約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．14.4 B．14.6 C．14.8 D．15.1【答案】C【分析】根據(jù)題意，當時，結合對數(shù)的運算性質，即可求解.【詳解】由題意，當時，可得．故選：C.4．經團委統(tǒng)計，某校申請“志愿服務之星”的10名同學在本學期的志愿服務時長（單位：小時）分別為26、25、23、24、29、25、32、25、24、23，記這一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，上四分位數(shù)為，眾數(shù)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接算出中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)即可.【詳解】將10個數(shù)據(jù)由小到大排列：23，23，24，24，25，25，25，26，29，32，則平均數(shù)；上四分位數(shù)為第75百分位數(shù)，因為，故上四分位數(shù)為第8個數(shù)，；25出現(xiàn)3次，最多，眾數(shù)．所以，故選：A5．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，點在圓上，則的最小值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】作于，由拋物線的定義可得，.根據(jù)三角形的三邊關系可得，，，可知要使取得最小值，則需四點共線，則過過點，作，垂足為，交圓于點，交拋物線于，可得出最小值.【詳解】由題意知，圓心，半徑，拋物線的焦點，準線.如圖，作于，因為在拋物線上，所以.因為，，當三點共線時，取等號.又，則當三點共線時，取等號.過點，作，垂足為，交圓于點，交拋物線于，此時，有四點共線，則上述兩式可同時取等號.所以有，.所以，的最小值為8.故選：C.6．汽油的單價會隨著各種因素不斷變動，一段時間內，某人計劃去加油站加兩次油，兩次加油時汽油單價不同，現(xiàn)有兩種加油方案——甲：每次加油的總金額固定；乙：每次所加的油量固定．若規(guī)定平均單價越低，則該加油方案越實惠，不考慮其他因素影響，則（

）A．甲方案實惠 B．乙方案實惠C．哪種方案實惠需由兩次油價決定 D．兩種方案一樣實惠【答案】A【分析】設兩次加油的油價分別為，且.將兩次加油的平均油價分別用表示出來，作差即可比較大小.【詳解】設兩次加油的油價分別為，且.甲方案：設每次加油總金額為，則平均油價；乙方案：設每次加油量為，則平均油價.則，因為，，且，所以，，，所以，.所以，，甲方案實惠．故選：A.7．在中，，，現(xiàn)以為旋轉軸，旋轉得到一個旋轉體，則該旋轉體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】旋轉體可以看成是將和，以其中一條直角邊為軸旋轉可得到兩個同底等高的圓錐構成的組合體，求出圓錐體積即可.【詳解】取中點為，則可看作兩個直角三角形和，將以為旋轉軸，旋轉得到的旋轉體相當于將和，分別以直角邊和為軸旋轉，可得到兩個同底等高的圓錐構成的組合體.∵，，∴，，，圓錐的底面圓面積，高為，體積，故所求旋轉體體積為．故選：D.8．已知數(shù)列的前項和為，，，對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．64 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)和的關系，可推出，.則不等式等價于，令，只需要即可.根據(jù)對勾函數(shù)的性質，可得出，當時，有最小值.【詳解】當時，，當時，，經檢驗滿足.∴，所以.又對任意，不等式恒成立，∴，對任意恒成立，即，對任意恒成立.令，.則只需要即可.，，由對勾函數(shù)性質知在遞減，在遞增，而，，.所以，當時，有最小值.所以，.故選：B.二、多選題9．下列關于雙曲線說法正確的是（

）A．實軸長為 B．與橢圓有同樣的焦點C．與雙曲線有相同的漸近線 D．焦點到漸近線距離為2【答案】AC【分析】根據(jù)雙曲線方程求出的值，即可判斷A項；求出雙曲線與橢圓的焦點可判斷B項；分別求出兩條雙曲線的漸近線，可判斷C項；根據(jù)點到直線的距離即可判斷D項.【詳解】由已知可得，，，.所以，實軸長為，A項正確；雙曲線的焦點坐標為、，在軸上.橢圓的焦點為、，在軸上.B項錯誤；的漸近線與的漸近線均為，C項正確；取的一個焦點，一條漸近線方程為，即，可知點到漸近線的距離，D項錯誤.故選：AC.10．已知平面直角坐標系中三個點，，，點為線段上靠近的三等分點，下列說法正確的是（

）A．是鈍角三角形 B．在上的投影向量為C． D．若四邊形為平行四邊形，則點為【答案】ACD【分析】求出，．可推得，從而得出A項；根據(jù)投影向量的求解形式即可判斷B項；可求出，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示計算后，可判斷C項；由平行四邊形可得，根據(jù)向量相等可得到點坐標.【詳解】三點位置如圖所示，，．因為不共線，所以三點可構成三角形，又，所以為鈍角，A項正確；因為，所以在上的投影向量為，B項錯誤；.因為，點為線段上靠近的三等分點，所以，，，所以，，所以有，C項正確；設，則，因為若四邊形為平行四邊形，所以，即，即，解得，所以.D項正確.故選：ACD.11．關于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．一個對稱中心為B．對稱軸為C．單調區(qū)間為，D．在內沒有零點【答案】BD【分析】先化簡.對于A項，代入檢驗即可；整體換元求出函數(shù)的對稱軸和遞增、遞減區(qū)間，即可判斷B、C項；對于D項，求出在上的值域即可得到.【詳解】因為.因為，所以A項錯誤；由，可得，B項正確；函數(shù)的單調區(qū)間分為增區(qū)間和減區(qū)間，該說法不準確，C項錯誤；因為，，所以，則，所以，即，D項正確.故選：BD.12．拋物線的光學性質為：從焦點發(fā)出的光線經過拋物線上的點反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸，且法線垂直于拋物線在點處的切線．已知拋物線上任意一點處的切線為，直線交拋物線于，，拋物線在，兩點處的切線相交于點．下列說法正確的是（

）A．直線方程為B．記弦中點為，則平行軸或與軸重合C．切線與軸的交點恰在以為直徑的圓上D．【答案】BCD【分析】設為，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)韋達定理用表示出，即可判斷A項；根據(jù)已知可推出，是一元二次方程的兩組解，又直線方程為，兩式比較可得，，即可判斷B項；通過求出、點坐標，推導以及，即可判斷C項；根據(jù)拋物線的光學性質，結合已知條件，可推出∽，進而推得.【詳解】設為，，與拋物線聯(lián)立得，必有，，，∴，，代回方程整理得：，A項錯誤；由已知，拋物線在點處的切線切線：，在兩點處的切線，設點，則滿足方程組，則可知，是一元二次方程的兩組解，由經過兩點，的直線有且僅有一條，故方程為，變形為，又直線方程為，兩式對應系數(shù)得，，所以平行軸或與軸重合，B項正確；如圖，記切線與軸的交點，，，∴，∴，同理切線與軸的交點，亦有，故，所以，，，四點共圓，且為直徑，C項正確；如圖，記切線與軸的交點為，過作軸平行線，由拋物線光學性質，，由等腰、直角、，，，四點共圓（對同弦圓周角相等），可得如圖五個角相等；同理，五個角相等．則∽，∴，D項正確．故選：BCD.三、填空題13．斜率為，將直線繞其與軸的交點逆時針旋轉60°所得直線的傾斜角為______．【答案】15°【分析】根據(jù)傾斜角的定義，即可計算求解.【詳解】斜率為，傾斜角為135°，逆時針旋轉60°后得195°，由傾斜角定義知傾斜角為．故答案為：15°14．圓：上到直線：的距離為的點不少于3個，則的取值范圍是______．【答案】【分析】求出圓心到直線的距離，先找出臨界狀態(tài)時的取值，當時，恰有3個點，當時，恰有1個點滿足題意，再分析隨的變化滿足題意點的個數(shù).【詳解】，圓心，半徑，圓心到直線的距離，與圓相交，當時，恰有3個點滿足題意；當時，有4個點滿足題意；當時，有2個點滿足題意；當時，恰有1個點滿足題意；當時，沒有點滿足題意；故當時，不少于3個點滿足題意；故答案為：15．如圖所示，在平行六面體中，，，，為棱的中點，則______．【答案】##【分析】結合向量的加法法則和減法法則，以及向量的數(shù)量積的運算法則，即可求解.【詳解】向量的拆分，，又，，由此可得，∴．故答案為：16．已知橢圓的兩個焦點分別為、，經過的直線交橢圓于，兩點，的內切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是______．【答案】【分析】首先根據(jù)題意，畫出圖像，利用向量變形得，，再結合內心的性質得到，然后利用余弦定理得,再結合焦點三角形的面積公式即可求解.【詳解】不妨設為下焦點，為上焦點，延長交于，如下圖；分別記，，，面積為，，，，以，為基底表示，又，，三點共線，，，∴，由內心的性質知，，不妨令，，，由橢圓的第一定義，且，在中，余弦定理得，∴，∴，∴，∴，．故答案為：四、解答題17．設等差數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的最大值及取得最大值時的的值．【答案】(1)，(2)最大值為30，或時【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及前項和公式得到關于和的方程組，解出即可得到；（2）求出的表達式，結合二次函數(shù)的性質，即可求得結果.【詳解】（1）設公差為.由已知可得，解得，∴，.（2）因為，，.所以，所以，當時，單調遞增；當時，單調遞減.又，所以，或時，最大，最大值為30．18．已知三棱柱，側棱底面，底面是等邊三角形，是的中點，．(1)證明：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）首先根據(jù)題目所給信息，求出面，再利用線面垂直推出線線垂直即可求解.（2）首先建立空間直角坐標系，再求出平面與面的法向量，再利用向量求角的公式即可求解.【詳解】（1）∵底面為等邊三角形，為中點，∴，又面，∴，又，面，又面，∴．（2）取中點，∴、、兩兩垂直．如下圖，分別以、、為、、軸，建立空間直角坐標系．設，∴，，，∴，∴，∴，∴設面的法向量為，∴，令，∴，同理面法向量，∴，∵二面角為銳二面角，∴二面角的余弦值為．19．已知在、中，角，，所對的邊長分別為，，，且．(1)求角的大??；(2)若為中點且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理角化邊，再根據(jù)余弦定理可求得，即可解出；（2）在中，直接用余弦定理求得；也可以取中點，連接，構造，可推得.【詳解】（1）由正弦定理得，根據(jù)余弦定理可得，，∵，∴．（2）法一：∵為中點，∴，又，所以在中，由余弦定理可得，，即，整理可得，∴，由正弦定理．法二：如圖取中點，連接，則.因為，所以，∴，∴，由正弦定理．20．已知直線，圓：，雙曲線：．(1)直線與圓有公共點，求的取值范圍；(2)若直線與交于，兩點，且點為的中點，若存在，求出方程，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由已知可得，圓心到直線的距離，代入相關量即可求得；（2）設存在直線，設出坐標，點差法結合中點坐標可求得直線的斜率，代入即可得到方程，檢驗直線方程與雙曲線的位置關系以及該直線是否經過點即可說明.【詳解】（1）由已知得，圓：，∴圓心，半徑，∵與圓有交點，則圓心到的距離，整理可得，，解得，．（2）設存在直線，由題意可知，直線斜率不存在時不成立.設、，因為是的中點，所以，．又，在雙曲線上，所以，兩式相減得，整理可得，，又，∴，∴，∴方程為，經檢驗，該直線與雙曲線交于兩點.但不在上，∴不存在這樣的直線．21．2021級是廣西新高考的第一屆，根據(jù)新高考改革方案，2024年將采用“3+1+2”的高考模式，其中，“3”為語文、數(shù)學、外語3門參加全國統(tǒng)一考試，選擇性考試科目為政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門，由考生根據(jù)報考高校以及專業(yè)要求，結合自身實際，首先在物理和歷史中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物中選擇2門，形成自己的“高考選考組合”．(1)若某學生根據(jù)方案進行隨機選科，求該生的選科組合中選到物理和化學的概率；(2)按照方案，再選學科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為，，，，五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級內考生的原始分依照等比例轉換法分別轉換到賦分區(qū)間內，得到等級分，轉換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為，原始分為時，等數(shù)分為，計算結果四舍五入取整．該校某次化學考試的原始分最低分為51，最高分為99，呈連續(xù)整數(shù)分布，其頻率分布直方圖如圖所示：①按照等級分賦分規(guī)則（例如由頻率分布直方圖可得此次化學考試的原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，估計等級的原始分區(qū)間的最低分為，所以估計此次考試化學成績等級的原始分區(qū)間為），請你估計此次考試化學成績等級的原始分區(qū)間；②用估計的結果近似代替原始分區(qū)間，若某學生化學成績的原始分為80分，試計算其等級分．【答案】(1)(2)①；②79分【分析】（1）列舉出所有可能的選擇組合以及組合中包括物理和化學的組合，根據(jù)古典概型的公式，即可解得結果；（2）①由已知可推得位于區(qū)間的劃分等級為的占比為，則位于區(qū)間的劃分等級為的占比為，從而可求得等級的原始分區(qū)間的最低分；②根據(jù)轉換公式，直接計算即可得到結果.【詳解】（1）選考科有（物理，生物，化學），（物理，生物，地理），（物理，生物，思想政治），（物理，化學，地理），（物理，化學，思想政治），（物理，地理，思想政治），（歷史，生物，化學），（歷史，生物，地理），（歷史，生物，思想政治），（歷史，化學