二項式定理的推廣第一頁，共16頁。二項式定理的發(fā)現(xiàn)通過探索,13世紀阿拉伯人已經(jīng)知道兩項和的n次方的展開結(jié)果:第二頁，共16頁。二項式定理的發(fā)現(xiàn)為了便于看出規(guī)律，我們把它補充完整:第三頁，共16頁。二項式定理的發(fā)現(xiàn)為了便于研究其中的規(guī)律,1544年Stifel把公式中字母的系數(shù)提取出來,稱為二項式系數(shù).他發(fā)現(xiàn)其中每個數(shù)是其上方緊鄰兩數(shù)之和.用公式表示為:這個結(jié)果，中國數(shù)學家楊輝早在13世紀就發(fā)現(xiàn)了。第四頁，共16頁。二項式定理的發(fā)現(xiàn)通過進一步研究，1654年P(guān)ascal發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)的規(guī)律,即通項公式:1713年,Bernoulli對上面的公式給出了證明。第五頁，共16頁。二項式定理的推廣1上面得到的結(jié)果只適用于指數(shù)為自然數(shù)的情況，能否把二項式定理推廣到非自然數(shù)的情況呢?1665年，牛頓對此進行了研究。他考慮了已知的無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式：為了便于比較，我們把二項式定理改寫為：第六頁，共16頁。二項式定理的推廣1經(jīng)過仔細比較，不難發(fā)現(xiàn)上式中取n=-1時，自動成為無窮遞縮等比數(shù)列求和公式。這說明二項式定理的新形式在n=-1時也成立。這個結(jié)果有沒有一般性？牛頓大膽的猜想：二項式定理的新形式對于任意有理指數(shù)都是正確的，即：第七頁，共16頁。二項式定理的推廣1這個猜想是否正確？牛頓對此進行了驗證。當指數(shù)為1/2時，有：驗證的結(jié)果與猜想一致。牛頓還對指數(shù)為1/3、2/3等情況進行了驗證，結(jié)果也與猜想一致。第八頁，共16頁。二項式定理的推廣1然而，僅僅憑著有限的驗證能夠保證結(jié)論的普遍正確性嗎？還要不要嚴格的證明？牛頓認為這已經(jīng)足夠了，不需要進一步證明，他也沒有給出證明。1811年，高斯對此進行了嚴格的證明，結(jié)果表明牛頓的猜想是正確的。二項式定理在組合理論、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的應用。現(xiàn)在，人們已經(jīng)把二項式定理推廣到了指數(shù)為任意的實數(shù)，甚至復數(shù)時的情況。第九頁，共16頁。二項式定理的推廣2二項式定理給出了兩項和的n次冪的展開公式，有時我們也需要計算三項或多項和的n次冪，這時該怎么辦？最容易想到的辦法是多次應用二項式定理，即先把后幾項合并成一項，應用二項式定理，再對式子中出現(xiàn)的后幾項的冪進行類似處理。例如，對于三項和的n次冪，可以如下計算第十頁，共16頁。二項式定理的推廣2具體寫出來是第十一頁，共16頁。二項式定理的推廣2為了保持展開后的對稱性，我們把展開式寫成第十二頁，共16頁。二項式定理的推廣2把公式中字母的系數(shù)提取出來經(jīng)過仔細觀察，我們發(fā)現(xiàn)上一三角形可以摞在下一三角形的上方，構(gòu)成一個正四面體。四面體中的每一個數(shù)等于其肩上三個數(shù)之和。第十三頁，共16頁。二項式定理的推廣2同樣的方法，我們可以得到四項和的n次冪的計算公式第十四頁，共16頁。二項式定理的推廣2為了看出多項和n次冪的計算公式的一般規(guī)律，我們把前面得到的結(jié)果列在一起：第十五頁，共16頁。二項式定理的推廣2通過認真觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：1）展開式中各個字母的指數(shù)和為n；1）系