2013屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件第三章數(shù)列數(shù)列的概念

.

考點考綱解讀1數(shù)列概念及幾種簡單的表

示方法(列表、圖象、通

項公式)以an與Sn的關(guān)系為條件考查通項公式的求法.2數(shù)列的函數(shù)特征以函數(shù)為載體學(xué)會用函數(shù)的思想方法解決相關(guān)數(shù)列問題,考查數(shù)列的通項及性質(zhì)..

本節(jié)是數(shù)列整章的基礎(chǔ),也是高考?？嫉幕A(chǔ)知識.在新課標(biāo)的要求

中,降低了相應(yīng)問題的難度,明確提出要通過日常生活實例來了解數(shù)

列的概念,并把通項公式歸為幾種簡單表示方法中其中一種,與列表

法、圖象法放在同等地位,所以預(yù)測2013年高考中涉及本節(jié)知識的

試題若為選擇題或填空題,屬于基礎(chǔ)題,難度不大,若為綜合題,難度

一般也不大,當(dāng)然不排除出現(xiàn)難題.復(fù)習(xí)過程中注意解題的規(guī)范性,技

巧性及效率,不能在基礎(chǔ)題中失分,注意用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列

問題..

1.數(shù)列的概念數(shù)列是按一定的次序排列的一列數(shù),在函數(shù)意義下,數(shù)列是定義域為

正整數(shù)集N*(或它有有限子集)的函數(shù)f(n),當(dāng)自變量從1開始依次取

值時對應(yīng)的一系列函數(shù)值f(1),f(2),f(3),…,f(n),…,通常用an來代替f(n),

其圖象是一群孤立點.2.數(shù)列的通項公式一個數(shù)列的第n項an與n之間的關(guān)系,如果可以用一個公式an=f(n)來表.示,那么我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.同一個數(shù)列的通項公式的形式不一定唯一,且不是每個數(shù)列都有通

項公式.3.數(shù)列的分類(1)按數(shù)列項數(shù)是有限還是無限分為:有窮數(shù)列、無窮數(shù)列;(2)按數(shù)列項與項之間的大小關(guān)系分為:遞增數(shù)列,遞減數(shù)列,常數(shù)列,

擺動數(shù)列;(3)按任何一項的絕對值是否都大于某一正數(shù)分為:有界數(shù)列和無界.數(shù)列;4.數(shù)列的通項an與前n項和Sn之間的關(guān)系:數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+a3+…+an;an=

由數(shù)列的前n項和Sn求通項an時,要分n=1和n≥2兩種情況分別進(jìn)行計

算,然后驗證這兩種情形是否可用統(tǒng)一的式子表示,若不能,就采用類

似分段函數(shù)的形式表示.5.數(shù)列的性質(zhì).(1)數(shù)列的單調(diào)性在數(shù)列{an}中,如果對于任意的n∈N*,都有an+1>an成立,那么我們就說

數(shù)列{an}為遞增數(shù)列;如果對于任意的n∈N*,都有an+1<an成立,那么我們就說數(shù)列{an}為遞

減數(shù)列;(2)數(shù)列的周期性在數(shù)列{an}中,若存在正整數(shù)k,對n∈N*都有an+k=an,則數(shù)列{an}是周期

數(shù)列,且周期為k..6.Sn的最值(1)若已知Sn,則可依據(jù)函數(shù)最值的求法計算(其中n∈N*);(2)若已知an,則Sn取最值時n(n∈N*)的值可由

或

來確定.

.1.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=25-2n,下列各數(shù)中不是{an}的項的

是

(

)(A)1.

(B)-1.

(C)2.

(D)3.【解析】令1=25-2n,得n=12,同理-1和3都是數(shù)列中的項,C不是.【答案】C.2.觀察下列等式:13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,13+23+33+43=(1+2+3

+4)2,…,根據(jù)上述規(guī)律,第四個等式為

.【解析】第i個等式左邊為1到i+1的立方和,右邊為1到i+1和的完全

平方,所以第四個等式為13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2.【答案】13+23+33+43+53=(1+2+3+4+5)2

.3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2,則a8的值為

(

)(A)15.

(B)16.

(C)49.

(D)64.【解析】a8=S8-S7=64-49=15.【答案】A.4.在數(shù)列{an}中,an+1=

(n∈N*),且a7=

,則a5等于

(

)(A)

.

(B)

.

(C)1.

(D)-1.【解析】由an+1=

(n∈N*)得an=

,又a7=

,所以a6=

,a5=1.【答案】C

.題型1歸納數(shù)列的通項公式?例1

(1)數(shù)列1,3,6,10,…的一個通項公式是

(

)(A)n2-n+1.

(B)

.(C)n(n-1).

(D)

..(2)若數(shù)列的前四項為2,0,2,0,則這個數(shù)列的通項公式不可能是

(

)(A)an=1+(-1)n+1.

(B)an=1-cosnπ.(C)an=2sin2

.

(D)an=1+(-1)n..【分析】找出數(shù)列的通項公式,應(yīng)注意觀察數(shù)列中an和n的聯(lián)系與變

化情況,應(yīng)特別注意:自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列,(-1)n和相關(guān)數(shù)

列,等差、等比數(shù)列,以及由它們組成的數(shù)列,從中找出規(guī)律性,并分

別寫出通項公式.在選擇題中,可以用特例法或排除法得到結(jié)果.【解析】(1)令n=1,2,3,4,驗證答案..(2)當(dāng)n=1時,D中a1=0不符合題意.【答案】(1)D

(2)D【點評】(1)聯(lián)想和轉(zhuǎn)換是由已知認(rèn)識未知的兩種有效的思維方法..(2)求數(shù)列的通項公式,應(yīng)運用觀察、分析、歸納、驗證的方法.易錯

之處在于每個數(shù)列由前幾項找規(guī)律不準(zhǔn)確,以及觀察、分析、歸納

、驗證這四個環(huán)節(jié)做得不夠多,應(yīng)注意對每一數(shù)列認(rèn)真找出規(guī)律并

驗證..變式訓(xùn)練1

(1)設(shè)數(shù)列

,

,2

,

,

,…,則4

是這個數(shù)列的

(

)(A)第9項.

(B)第10項.(C)第11項.

(D)第12項.(2)數(shù)列-

,

,-

,

,-

,…的一個通項公式是

.【解析】(1)由條件可知an=,∴4

=

=..(2)數(shù)列的奇數(shù)項為負(fù)數(shù),偶數(shù)項為正數(shù),所以借助(-1)n來確定符號.易

看出各項分母分別為21,22,23,24,25,…,且每一項的分子比分母少1,所

以這個數(shù)列的通項公式為an=(-1)n

.【答案】(1)C

(2)an=(-1)n

.

例2

(1)(2011年豐臺二模)已知數(shù)列{an}中,a1=

,an=1-

(n≥2),則a2011等于

(

)(A)-

.

(B)-

.

(C)

.

(D)

.題型2數(shù)列的周期性.(2)已知數(shù)列2012,2013,1,-2012,-2013,-1,…,這個數(shù)列的特點是從第二

項起,每一項都等于它的前后兩項的和,則前2013項的和S2013的值為

.【分析】(1)由已知可知a2=-

,a3=

,a4=

,a5=-

,…所以數(shù)列是周期數(shù)列,周期為3;(2)由題意可知an+1+an-1=an;an+an+2=an+1;兩式相加即可得到

an+2=-an-1,∴an+3=-an,從而聯(lián)想到函數(shù)的周期性可以得到an+6=an,從而確

定出數(shù)列{an}的周期性..【解析】(1)由遞推公式得a2=-

,a3=

,a4=

,a5=-

,…,所以數(shù)列是周期數(shù)列,周期為3,于是a2011=a670×3+1=a1=

..(2)由題意可知an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,兩式相加即可得到an+2=-an-1.∴an+3=-an可得到an+6=an;即是以6為周期的數(shù)列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,又∵2013=335×6+3,∴a1+a2+a3+…+a2013=a1+a2+a3=2012+2013+1=4026.即S2013=4026..【答案】(1)C

(2)4026【點評】觀察是數(shù)學(xué)研究中最基本的方法,而“周期現(xiàn)象”又是數(shù)

學(xué)規(guī)律中一個十分重要的規(guī)律,數(shù)列的周期性與函數(shù)的周期性類似,

可以借鑒.解題中要總結(jié)規(guī)律,當(dāng)遇到遞推公式同時所求的項較大,往

往就是數(shù)列的周期性變化規(guī)律,同學(xué)們要認(rèn)真分辨..變式訓(xùn)練2

(1)設(shè)函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列{xn}滿足x0=5,且對任意n

∈N均有xn+1=f(xn),則x2013的值為

(

)(A)1.

(B)2.

(C)4.

(D)5.x12345f(x)41352.(2)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an-an-1(n≥2),a1=a,a2=b,設(shè)Sn=a1+a2+…+an,則

下列結(jié)論正確的是

(

)(A)a100=-a,S100=2b-a.

(B)a100=-b,S100=2b-a.(C)a100=-b,S100=b-a.

(D)a100=-a,S100=b-a.【解析】(1)x1=f(5)=2,x2=f(x1)=f(2)=1,x3=f(x2)=f(1)=4,x4=f(x3)=f(4)=5,

所以x0=x4,可知是以4為周期的數(shù)列,所以x2013=x1=2..(2)∵an+1=an-an-1=an-1-an-2-an-1=-an-2,∴an+1=an-5.∴數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列.∴a100=a6×16+4=a4=-a,∵S6=0,∴S100=S4=2b-a.【答案】(1)B

(2)A.題型3數(shù)列的增減性與最值

例3設(shè)f(n)=1+

+

+…+

,g(n)=lnn(n∈N*).設(shè)an=f(n)-g(n),求a1,a2,a3,并證明{an}為遞減數(shù)列.【分析】由通項公式分別求出數(shù)列的前幾項,根據(jù)遞減數(shù)列的定義

證明數(shù)列的單調(diào)性.注意利用構(gòu)造函數(shù)法來解決問題,對復(fù)雜的函數(shù)

可以利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解決其單調(diào)性問題..【解析】(1)an=1+

+

+…+

-lnn.由此a1=1,a2=

-ln2,a3=

-ln3.又an+1-an=lnn-ln(n+1)+

=ln(1-

)+

.構(gòu)造函數(shù)h(x)=ln(1-x)+x,x∈(0,1).由h‘(x)=1-

=-

<0,知h(x)在(0,1)上為單減函數(shù),從而當(dāng)x>0時,h(x)<h(0)=0.取x=

∈(0,1),有h(

)<0即an+1-an<0.故{an}為遞減數(shù)列..【點評】數(shù)列的單調(diào)性等性質(zhì)是高考中經(jīng)?？疾榈膬?nèi)容.有關(guān)數(shù)列

的最大項、最小項、有界性等問題,都可以借助于數(shù)列的單調(diào)性來

研究,必須牢固掌握這類問題的解決方法,常用方法有作差法、作商

法、利用函數(shù)的單調(diào)性等方法,特別要注意導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與數(shù)列單調(diào)

性的結(jié)合問題..變式訓(xùn)練3

(1)已知an=

(n∈N*),則數(shù)列{an}的最大項是

(

)(A)第12項.

(B)第13項.(C)第12項或第13項.

(D)不存在..(2)已知數(shù)列{an}的通項公式為an=

,則{an}為

(

)(A)遞增數(shù)列.

(B)遞減數(shù)列.(C)從某項后為遞減數(shù)列.

(D)從某項后為遞增數(shù)列.【解析】(1)由已知得,an=

=

;由函數(shù)的知識即可知n=12或13時an最大.(2)an+1=an×

,從第11項開始遞增.【答案】(1)C

(2)D.?例4已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n2+2n,數(shù)列{bn}的前n項和Tn=2-bn.題型4利用an與Sn的關(guān)系解題(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;(2)設(shè)cn=

·bn,證明:當(dāng)且僅當(dāng)n≥3時,cn+1<cn..【分析】由an=

可求出an和bn,這是數(shù)列中求通項的常用方法之一,在求出an和bn后,進(jìn)而得到cn,接下來用作差法與作商法來

比較大小,這也是一常用方法.【解析】(1)由于a1=S1=4,當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n2+2n)-[2(n