第七章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

一、點(diǎn)估計(jì)問題設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式為已知的F(

x,θ

)，其中x是自變量,θ為未知參數(shù)（它可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)向量）．借助于總體X的一個(gè)樣本（X

1,X

2,…,X

n），來估計(jì)未知參數(shù)θ的值的問題，稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題．點(diǎn)估計(jì)的問題就是要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量(X1,X2,…,Xn)，用樣本的一組觀察值（x1,x2,…,xn），得到的觀察值（x1,x2,…,xn),以此來估計(jì)未知參數(shù)θ．稱統(tǒng)計(jì)量（X

1,X

2,…,X

n）為θ的估計(jì)量，稱（x1,x2,…,xn）為θ的估計(jì)值．第七章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)1二、矩估計(jì)法的函數(shù)，記作μl=μl()即，l=1,2,…，k．設(shè)總體X的分布函數(shù)為,其中為k個(gè)未知參數(shù).

假設(shè)總體X的各階原點(diǎn)矩存在,則E(Xl)是對于總體X的樣本（X1,X2,…,Xn），樣本的l階原點(diǎn)矩為，l=1,

2,…，k．令μl=

Al,l=1,2,…，k，二、矩估計(jì)法的函數(shù)，記作μl=μl(2即從上述方程組中解出，分別記作以此作為未知參數(shù)的估計(jì)量，稱為矩估計(jì)量．即從上述方程組中解出3如果樣本觀察值為（x1,x2,…,xn），則得未知參數(shù)的矩估計(jì)值為上述估計(jì)未知參數(shù)的方法就叫做矩估計(jì)法．例1設(shè)總體X服從參數(shù)為

的泊松分布，其中>0為未知，又設(shè)X1,X2,…,Xn為X的樣本，求

的矩估計(jì)量．解令，即得的矩估計(jì)量為．如果樣本觀察值為（x1,x2,…,x4例2設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度為其中為未知，又設(shè)為X的樣本，求的矩估計(jì)量．解由于，即因此得到的矩估計(jì)量為．例2設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)5例3設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，a與b為未知，X1，X2，

，Xn是來自總體X的樣本，求a與b的矩估計(jì)量．解

令即整理得例3設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]6于是得到a、b的矩估計(jì)量為于是得到a、b的矩估計(jì)量為7解此方程組得到與的矩估計(jì)量為令即解

例4設(shè)總體X的均值為，方差為，且，但與均未知，又設(shè)總體X的一個(gè)樣本為（X1,

X2,

,

Xn），求與的矩估計(jì)量．解此方程組得到與的矩估計(jì)量為令解8解由例4可得例5某廠生產(chǎn)一批鉚釘，現(xiàn)要檢驗(yàn)鉚釘頭部直徑，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取12只，測得頭部直徑（單位：mm）如下：13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.4813.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50設(shè)鉚釘頭部直徑這一總體X服從正態(tài)分布，試求與的矩估計(jì)值．注此例說明，無論總體X服從什么分布，樣本均值都是總體均值的矩估計(jì)量，樣本二階中心矩就是總體方差的矩估計(jì)量．解由例4可得例5某9三、極大似然估計(jì)法1．設(shè)總體X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為其中θ為未知參數(shù)，取值范圍為．設(shè)X1,X2,,Xn為來自X的樣本，則X1,X2,,Xn的聯(lián)合分布律為．又設(shè)x1,x2,,xn為一組樣本值，令

稱L(θ)為樣本的似然函數(shù)．（1）若有，使得對一切，有成立，則稱為θ的極大(或最大)似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為θ的極大(或最大)似然估計(jì)量．三、極大似然估計(jì)法1．設(shè)總體X為離散型隨機(jī)10我們規(guī)定，使得的就是θ的極大似然估計(jì)值．由于lnx是單增函數(shù)，所以

與有相同的駐點(diǎn)，因此只需從

中解出就是θ的極大似然估計(jì)值，稱方程（2）（2）為極大似然方程．我們規(guī)定，使得11例6設(shè)總體，X1,X2,…,Xn為總體X的樣本，求的極大似然估計(jì)量．解設(shè)樣本值為x1,

x2,

…,

xn.由于X的分布律為x=0,1,2,…所以似然函數(shù)為令得的極大似然估計(jì)值為因此得到的極大似然估計(jì)量為例6設(shè)總體12

例7設(shè)一批產(chǎn)品中含有次品，次品率p未知，從中抽取容量為n的樣本，求p的極大似然估計(jì)量.

解從總體中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行觀測，其結(jié)果可用隨機(jī)變量X表示如下：則X服從參數(shù)為p的（0-1）分布，其分布律為設(shè)X1,X2,…,Xn為X的一個(gè)樣本，觀察值為x1,

x2,

…,

xn，則似然函數(shù)為例7設(shè)一批產(chǎn)品中含有次品，次品率p13令解得p的極大似然估計(jì)值為因此p的極大似然估計(jì)量為2．設(shè)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，,θ為未知參數(shù)．設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本，其觀察值為x1,

x2,

…,

xn

．則似然函數(shù)為（3）似然方程為（4）解出θ的極大似然估計(jì)值為(x1,

x2,

…,

xn).極大似然估計(jì)量為(X1,

X2,

…,

Xn)．令2．設(shè)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率14

例8設(shè)總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)，（X1,X2,…,Xn）為樣本，求的極大似然估計(jì)量．解設(shè)樣本值為（x1,x2,…,xn）(xi＞0,i=1,2,…,n)，似然函數(shù)為例8設(shè)總體X的概率密度為15令得的極大似然估計(jì)值為于是得到的極大似然估計(jì)量為令16

例9設(shè)總體X的概率密度為又設(shè)X1,X2,…,Xn為X的樣本，求θ的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量．解（1）由于令即解得θ的矩估計(jì)量為例9設(shè)總體X的概率密度為17（2）設(shè)樣本值為x1,x2,…,xn(0＜xi＜1)，似然函數(shù)為令解得θ的極大似然估計(jì)值為因此,θ的極大似然估計(jì)量為（2）設(shè)樣本值為x1,x2,…,x183．設(shè)總體X的分布中含有k個(gè)參數(shù)θ1,θ2,…θk,則似然函數(shù)是這些未知參數(shù)的函數(shù)取對數(shù)后，求出lnL關(guān)于θi的偏導(dǎo)數(shù)并令它等于零，得到似然方程組由此方程組解得θi的極大似然估計(jì)值．3．設(shè)總體X的分布中含有k個(gè)參數(shù)19

例10設(shè)總體，與未知,（X1,X2,…,Xn)為總體X的樣本，求與的極大似然估計(jì)量．解

X的概率密度為設(shè)x1,x2,…,xn為樣本值，似然函數(shù)為例10設(shè)總體20令解得與的極大似然估計(jì)值為因此，與的極大似然估計(jì)量為令21例11設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，其中a、b未知，X1,X2,…,

Xn為總體X的樣本，求a、b的極大似然估計(jì)量．解

X的概率密度為設(shè)樣本值為x1,x2,…,xn（），似然函數(shù)為因?yàn)長(a,b)是a的單增函數(shù)，a越大，L(a,b)就越大，但a不能大于x(1)=min{x1,x2,…,xn}；又因?yàn)長(a,b)是b的單減函數(shù)，b越小，L(a,b)就越大，但b不能小于x(n)=max{x1,x2,…,xn}．對于滿足a≤x(1)

,b≥x(n)的任意a,b有例11設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]22當(dāng)a=x(1)

，b=x(n)時(shí),L(a,b)取得最大值所以a,b的極大似然估計(jì)值為a,b的極大似然估計(jì)量為,4．極大似然估計(jì)的性質(zhì)設(shè)u()是關(guān)于未知參數(shù)θ的函數(shù)，，u()具有單值反函數(shù)，又設(shè)是總體分布中所含參數(shù)θ的極大似然估計(jì)，則是u的極大似然估計(jì)．當(dāng)a=x(1)，b=x(n)時(shí),L(a,b23四、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)1．無偏性估計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，由不同的方法得到的估計(jì)量可能相同也可能不同．而對同一估計(jì)量，由不同的樣本觀察值得到參數(shù)的估計(jì)值也可能不同．我們很自然地要求估計(jì)量的期望等于參數(shù)的真值，即無偏性．定義設(shè)是未知參數(shù)θ的估計(jì)量，若，則稱為θ的無偏估計(jì)（量）．例12設(shè)（X1,X2,…,

Xn）是來自具有有限均值與方差的總體X的一個(gè)樣本．證明：樣本均值是的無偏估計(jì)，樣本方差S2是的無偏估計(jì)．四、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)1．無偏性估計(jì)量24證

因此，與分別為與的無偏估計(jì)．證25例13設(shè)總體X的均值為,（X1,X2,X3）是總體X的樣本，證明下列兩個(gè)估計(jì)量都是的無偏估計(jì)．設(shè)與是參數(shù)θ的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若，則稱比有效.2．有效性

證由于所以與都是的無編估計(jì)．（只需k1+

k2++

kn

=1，則=k1X1+

k2X2++

knXn就是的無偏估計(jì)）例13設(shè)總體X的均值為,（X26

例14比較例13中與哪個(gè)更有效．解設(shè)．由于顯見，因此比有效．另外，取，則于是可知比更有效．例14比較例1327設(shè)為參數(shù)θ的估計(jì)量，若當(dāng)時(shí)，按概率收斂于θ，即對于任意正數(shù)ε，有，則稱為θ的一致估計(jì)（量）．3．一致性根據(jù)大數(shù)定律可知，樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量．設(shè)28第二節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量(X1,X2,…,

Xn)來對總體X中的未知參數(shù)θ進(jìn)行估計(jì)，由一個(gè)樣本值（x1,x2,…,

xn）可得到θ的估計(jì)值（x1,x2,…,

xn）．這種估計(jì)值是無法知道誤差的．我們要定出一個(gè)范圍，并要求以一定的概率保證這個(gè)范圍包含著θ的真值．這個(gè)范圍通常以區(qū)間的形式給出，我們把這個(gè)區(qū)間稱為置信區(qū)間．定義設(shè)總體X的分布中含有一個(gè)未知參數(shù)θ，(X1,X2,…,

Xn）是來自總體X的一個(gè)樣本．如果對于給定的常數(shù)，統(tǒng)計(jì)量θ1=θ1(X1,X2,…,

Xn）與θ2=θ2(X1,X2,…,

Xn）滿足（1）則稱隨機(jī)區(qū)間(θ1,θ2)是θ的置信度為的置信區(qū)間，分別稱θ1與θ2為θ的置信下限與置信上限．第二節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)29

例1設(shè)總體，為已知，未知,（X1,X2,…,Xn）為來自總體X的一個(gè)樣本，求的置信度為的置信區(qū)間．解由于是的無偏估計(jì)，且有由正態(tài)分布表可查得，使1－稱為置信度或置信水平．（1）式的含義是，隨機(jī)區(qū)間(θ1,θ2)以的概率包含著θ，也就是說，對每一個(gè)樣本值（x1,x2,…,

xn）可求得一個(gè)具體的區(qū)間(θ1(x1,x2,…,

xn),θ2(x1,x2,…,

xn))．在這些眾多的區(qū)間中，包含θ的有100()%個(gè)，不包含θ的有100%個(gè)．

例1設(shè)總體30即有取，于是得到的置信度為的置信區(qū)間為即有31求未知參數(shù)θ的置信區(qū)間的一般方法：1°對于給定的樣本X1,X2,…,Xn，構(gòu)造樣本函數(shù)，它包含待估參數(shù)θ，而不含其它未知參數(shù)，并且Z的分布已知，在Z的分布中不依賴任何未知參數(shù)．2°對于給定的置信度，定出兩個(gè)常數(shù)a，b（一般地，按Z所服從的分布的上分位點(diǎn)來確定），使

3°從a<Z(X1,X2,…,Xn)<b得到等價(jià)的不等式θ1(X1,X2,…,Xn)<θ<θ2(X1,X2,…,Xn)，其中θ1=θ1(X1,X2,…,Xn)與θ2=θ2(X1,X2,…,Xn)都是統(tǒng)計(jì)量，于是得到θ的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間（θ1,θ2）．求未知參數(shù)θ的置信區(qū)間的一般方法：并且Z的32第三節(jié)正態(tài)總體均值與方差的置信區(qū)間一、單個(gè)正態(tài)總體均值的置信區(qū)間設(shè)(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體的樣本．1．設(shè)已知，求的置信度為的置信區(qū)間2．設(shè)未知，求的置信度為的置信區(qū)間第三節(jié)正態(tài)總體一、單個(gè)正態(tài)總體均值的置信區(qū)33由于S2是的無偏估計(jì)，因此用S2代替，有

由附表3查得，有即于是得到的置信區(qū)間為,圖由于S2是的無偏估計(jì)，因此34例1某車間生產(chǎn)的螺桿直徑服從正態(tài)分布,今隨機(jī)地從中抽取5只測得直徑值為22.3，21.5，22.0，21.8，21.4．（1）已知，求的0.95置信區(qū)間；（2）如果未知，求的0.95置信區(qū)間．解（1）已知、，查表得，因此的0.95置信區(qū)間為例1某車間生產(chǎn)的螺桿直徑服從正態(tài)分布35（2）未知，,s=0.367．查表得=2.7764，因此的0.95置信區(qū)間為（2）未知，36二、單個(gè)正態(tài)總體方差的置信區(qū)間1．設(shè)已知,求的置信度為的置信區(qū)間由于

對于給定置信度，查表可得及，使即因此，的置信區(qū)間為二、單個(gè)正態(tài)總體方差的置信區(qū)間1．372．設(shè)未知,求的置信度為的置信區(qū)間由于

對于給定置信度,查表可得及,使得即因此，方差的置信度為的置信區(qū)間為2．設(shè)未知,求的置信度38而標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為例2從正態(tài)總體中抽取容量為5的樣本，其觀測值為1.863.221.46 4.012.64（1）已知，求的0.95置信區(qū)間；（2）如果未知，求的0.95置信區(qū)間．=12.833．由已知數(shù)據(jù)算得，因此的0.95置信區(qū)間為解（1）已知，查表得，而標(biāo)準(zhǔn)差的的置信區(qū)間為39=11.143，由已知數(shù)據(jù)算得，因此的0.95置信區(qū)間為（2）未知,查表得，=11.143，由已知數(shù)據(jù)算得40三、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間設(shè)總體，總體，X與Y獨(dú)立,（X1,X2,…,Xm）與（Y1,Y2,…,Yn）分別來自X與Y的相互獨(dú)立的樣本，并設(shè)它們的樣本均值分別為，，樣本方差分別為，．1．設(shè)和都已知，求的置信度為的置信區(qū)間由于與相互獨(dú)立，且，，于是可知,從而三、兩個(gè)正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間設(shè)總41對于給定的置信度，查表得，使，即從而得到的置信度為的置信區(qū)間為對于給定的置信度，查表得422．設(shè)為未知,求的置信度為的置信區(qū)間其中．例3設(shè)總體X~N（，4），總體Y~N（，6），分別獨(dú)立地從這兩個(gè)總體中抽取樣本，樣本容量依次為16和24，樣本均值依次為16.9和15.3，求兩個(gè)總體均值差的置信度為0.95的置信區(qū)間．解由題設(shè)可知m=16，n=24，=16.9，=15.3，=4，=6，=0.95，=0.05，查附表1得1.96．從而可得的置信度為0.95的置信區(qū)間為2．設(shè)43例4為了估計(jì)磷肥對某種農(nóng)作物增產(chǎn)的作用，選20塊條件大致相同的地塊進(jìn)行對比試驗(yàn)．其中10塊地施磷肥，另外10塊地不施磷肥，得到單位面積的產(chǎn)量（單位：kg）如下：施磷肥：620570650600630580570600600580不施磷肥：560590560570580570600550570550設(shè)施磷肥的地塊單位面積產(chǎn)量X~N(，)，不施磷肥的地塊單位面積產(chǎn)量Y~N(，）．求的置信度為0.95的置信區(qū)間．解由題設(shè)，兩個(gè)正態(tài)總體的方差相等，但未知,m=10，n=10，=0.05，=0.95，=600，=570，，，,查表得,因此,的置信度為0.95的置信區(qū)間為例4為了估計(jì)磷肥對某種農(nóng)作物增產(chǎn)的作用44四、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間1．設(shè)均已知，求的置信水平為的置信區(qū)間

由于與相互獨(dú)立，且

從而可知.四、兩個(gè)正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間45對于給定的置信度,查表得及，使

即

因此，的置信度為的置信區(qū)間為,,.對于給定的置信度,查表得462．設(shè)與都未知，求的置信水平為的置信區(qū)間．例5設(shè)總體X~N（24，),總體Y~N(20，).從總體X和Y中獨(dú)立地抽得樣本值如下：總體X：23，22，26，24，22，25；總體Y：22，18，19，23，17．求的置信度為0.95的置信區(qū)間．解已知=24,m=6；=20，n=5．由已知數(shù)據(jù)可算得，．因=0.95，故=0.05．查附表5，可得F0.025(6,5)=6.98，F(xiàn)0.025(5,6)=5.99．從而可得的置信度為0.95的置信區(qū)間為2．設(shè)與都未知，求47

例6從參數(shù)都未知的兩正態(tài)總體中分別獨(dú)立地抽取樣本，它們的樣本容量分別為m=10，n=8，樣本方差分別為s12=3.6，s22=2.8，求二總體方差比的置信度為0.95的置信區(qū)間．解這里=0.95,=0.05，查F分布表得：，．的置信度為0.95的置信區(qū)間為

48第四節(jié)非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

一、總體均值的區(qū)間估計(jì)設(shè)X為非正態(tài)總體，其均值E(X)與方差D(X)均存在但未知．(X1，X2，…，Xn)為來自總體X的一個(gè)樣本，樣本容量n很大(n≥50)．我們要求E(X)的置信度為的近似置信區(qū)間．由中心極限定理可知隨機(jī)變量當(dāng)n很大時(shí)近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)．由于樣本方差S2是D(X)的無偏估計(jì)，利用S2代替D(X)，有近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)．第四節(jié)非正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一、總體均值的區(qū)間估計(jì)49對于給定的置信度，有，從而得到E(X)的置信度為的近似置信區(qū)間為

．對于給定的置信度，有50例1設(shè)從一大批產(chǎn)品中抽取的100個(gè)樣品中，有60個(gè)一級品，求這批產(chǎn)品的一級品率的置信度為0.95的近似置信區(qū)間．解記一級品率為p，設(shè)隨機(jī)變量則X服從參數(shù)為p的(0－1)分布，p=E(X)．n=100，,,,查表得,因此，p=E(X)的置信度為0.95的近似置信區(qū)間為.例1設(shè)從一大批產(chǎn)品中抽取的100個(gè)樣品51

二、兩個(gè)總體均值差的區(qū)間估計(jì)設(shè)總體X與Y的分布任意,它們的均值與方差均存在但未知．記,．下面來求兩個(gè)總體均值差的置信度為的近似置信區(qū)間.從總體X及總體Y中分別獨(dú)立地抽取樣本(X1，X2，…，Xm)及(Y1，Y2，…，Yn)，樣本均值及方差分別記為．由中心極限定理，當(dāng)樣本容量m與n都很大時(shí)，與分別近似地服從正態(tài)分布與，由樣本的獨(dú)立性知與獨(dú)立，所以有二、兩個(gè)總體均值差的區(qū)間估計(jì)設(shè)總52從而可知隨機(jī)變量近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，用代替及用代替，可知近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)．對于給定的置信度，當(dāng)m與n都很大時(shí)有

，從而得到的置信度為的近似置信區(qū)間為.從而可知隨機(jī)變量近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)，用53例2對用兩種不同熱處理方法加工的金屬材料做抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)，各做了100次試驗(yàn)，由具體數(shù)據(jù)算得，甲種方法,乙種方法．求甲乙兩種方法平均抗拉強(qiáng)度差的置信度為0.95的置信區(qū)間．解這里m=n=100，,查表得，從而得到的置信度為0.95的近似置信區(qū)間為例2對用兩種不同熱處理方法加工的金屬材54第五節(jié)單側(cè)置信限對于給定值,若由樣本(X1，X2，…，Xn)確定的統(tǒng)計(jì)量θ1=

θ1(X1，X2，…，Xn)滿足，則稱隨機(jī)區(qū)間(θ1,+∞)為參數(shù)θ的置信度為1－

的單側(cè)置信區(qū)間,θ1稱為置信度為1－的單側(cè)置信下限.若統(tǒng)計(jì)量θ2=

θ2(X1，X2，…，Xn)滿足，則稱隨機(jī)區(qū)間(－∞,θ2)為參數(shù)θ的置信度為1－的單側(cè)置信區(qū)間,θ2稱為置信度為1－的單側(cè)置信上限．第五節(jié)單側(cè)置信限對于給定值55例1從某批燈泡中隨機(jī)地取5只作壽命試驗(yàn)．測得其壽命（單位：h）如下：10501100112012501280設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，試求均值的置信度為0.95的單側(cè)置信區(qū)間(θ1,+∞)．解設(shè)燈泡壽命為，由于．由=0.95查表得，使得，即，例1從某批燈泡中隨機(jī)地取5只作壽命試驗(yàn)56本題中，=2.1318,因此的置信度為0.95的單側(cè)置信區(qū)間為亦即的0.95置信下限為1065．于是得的置信度為的單側(cè)置信區(qū)間為亦即的置信下限為..本題中，=2.1318,因此57第七章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)

一、點(diǎn)估計(jì)問題設(shè)總體X的分布函數(shù)的形式為已知的F(

x,θ

)，其中x是自變量,θ為未知參數(shù)（它可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)向量）．借助于總體X的一個(gè)樣本（X

1,X

2,…,X

n），來估計(jì)未知參數(shù)θ的值的問題，稱為參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)問題．點(diǎn)估計(jì)的問題就是要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量(X1,X2,…,Xn)，用樣本的一組觀察值（x1,x2,…,xn），得到的觀察值（x1,x2,…,xn),以此來估計(jì)未知參數(shù)θ．稱統(tǒng)計(jì)量（X

1,X

2,…,X

n）為θ的估計(jì)量，稱（x1,x2,…,xn）為θ的估計(jì)值．第七章參數(shù)估計(jì)第一節(jié)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)58二、矩估計(jì)法的函數(shù)，記作μl=μl()即，l=1,2,…，k．設(shè)總體X的分布函數(shù)為,其中為k個(gè)未知參數(shù).

假設(shè)總體X的各階原點(diǎn)矩存在,則E(Xl)是對于總體X的樣本（X1,X2,…,Xn），樣本的l階原點(diǎn)矩為，l=1,

2,…，k．令μl=

Al,l=1,2,…，k，二、矩估計(jì)法的函數(shù)，記作μl=μl(59即從上述方程組中解出，分別記作以此作為未知參數(shù)的估計(jì)量，稱為矩估計(jì)量．即從上述方程組中解出60如果樣本觀察值為（x1,x2,…,xn），則得未知參數(shù)的矩估計(jì)值為上述估計(jì)未知參數(shù)的方法就叫做矩估計(jì)法．例1設(shè)總體X服從參數(shù)為

的泊松分布，其中>0為未知，又設(shè)X1,X2,…,Xn為X的樣本，求

的矩估計(jì)量．解令，即得的矩估計(jì)量為．如果樣本觀察值為（x1,x2,…,x61例2設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其概率密度為其中為未知，又設(shè)為X的樣本，求的矩估計(jì)量．解由于，即因此得到的矩估計(jì)量為．例2設(shè)總體X服從參數(shù)為的指數(shù)62例3設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，a與b為未知，X1，X2，

，Xn是來自總體X的樣本，求a與b的矩估計(jì)量．解

令即整理得例3設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]63于是得到a、b的矩估計(jì)量為于是得到a、b的矩估計(jì)量為64解此方程組得到與的矩估計(jì)量為令即解

例4設(shè)總體X的均值為，方差為，且，但與均未知，又設(shè)總體X的一個(gè)樣本為（X1,

X2,

,

Xn），求與的矩估計(jì)量．解此方程組得到與的矩估計(jì)量為令解65解由例4可得例5某廠生產(chǎn)一批鉚釘，現(xiàn)要檢驗(yàn)鉚釘頭部直徑，從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取12只，測得頭部直徑（單位：mm）如下：13.30 13.38 13.40 13.43 13.32 13.4813.54 13.31 13.34 13.47 13.44 13.50設(shè)鉚釘頭部直徑這一總體X服從正態(tài)分布，試求與的矩估計(jì)值．注此例說明，無論總體X服從什么分布，樣本均值都是總體均值的矩估計(jì)量，樣本二階中心矩就是總體方差的矩估計(jì)量．解由例4可得例5某66三、極大似然估計(jì)法1．設(shè)總體X為離散型隨機(jī)變量，其分布律為其中θ為未知參數(shù)，取值范圍為．設(shè)X1,X2,,Xn為來自X的樣本，則X1,X2,,Xn的聯(lián)合分布律為．又設(shè)x1,x2,,xn為一組樣本值，令

稱L(θ)為樣本的似然函數(shù)．（1）若有，使得對一切，有成立，則稱為θ的極大(或最大)似然估計(jì)值，相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量稱為θ的極大(或最大)似然估計(jì)量．三、極大似然估計(jì)法1．設(shè)總體X為離散型隨機(jī)67我們規(guī)定，使得的就是θ的極大似然估計(jì)值．由于lnx是單增函數(shù)，所以

與有相同的駐點(diǎn)，因此只需從

中解出就是θ的極大似然估計(jì)值，稱方程（2）（2）為極大似然方程．我們規(guī)定，使得68例6設(shè)總體，X1,X2,…,Xn為總體X的樣本，求的極大似然估計(jì)量．解設(shè)樣本值為x1,

x2,

…,

xn.由于X的分布律為x=0,1,2,…所以似然函數(shù)為令得的極大似然估計(jì)值為因此得到的極大似然估計(jì)量為例6設(shè)總體69

例7設(shè)一批產(chǎn)品中含有次品，次品率p未知，從中抽取容量為n的樣本，求p的極大似然估計(jì)量.

解從總體中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行觀測，其結(jié)果可用隨機(jī)變量X表示如下：則X服從參數(shù)為p的（0-1）分布，其分布律為設(shè)X1,X2,…,Xn為X的一個(gè)樣本，觀察值為x1,

x2,

…,

xn，則似然函數(shù)為例7設(shè)一批產(chǎn)品中含有次品，次品率p70令解得p的極大似然估計(jì)值為因此p的極大似然估計(jì)量為2．設(shè)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，,θ為未知參數(shù)．設(shè)X1,X2,…,Xn為來自總體X的樣本，其觀察值為x1,

x2,

…,

xn

．則似然函數(shù)為（3）似然方程為（4）解出θ的極大似然估計(jì)值為(x1,

x2,

…,

xn).極大似然估計(jì)量為(X1,

X2,

…,

Xn)．令2．設(shè)總體X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率71

例8設(shè)總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)，（X1,X2,…,Xn）為樣本，求的極大似然估計(jì)量．解設(shè)樣本值為（x1,x2,…,xn）(xi＞0,i=1,2,…,n)，似然函數(shù)為例8設(shè)總體X的概率密度為72令得的極大似然估計(jì)值為于是得到的極大似然估計(jì)量為令73

例9設(shè)總體X的概率密度為又設(shè)X1,X2,…,Xn為X的樣本，求θ的矩估計(jì)量與極大似然估計(jì)量．解（1）由于令即解得θ的矩估計(jì)量為例9設(shè)總體X的概率密度為74（2）設(shè)樣本值為x1,x2,…,xn(0＜xi＜1)，似然函數(shù)為令解得θ的極大似然估計(jì)值為因此,θ的極大似然估計(jì)量為（2）設(shè)樣本值為x1,x2,…,x753．設(shè)總體X的分布中含有k個(gè)參數(shù)θ1,θ2,…θk,則似然函數(shù)是這些未知參數(shù)的函數(shù)取對數(shù)后，求出lnL關(guān)于θi的偏導(dǎo)數(shù)并令它等于零，得到似然方程組由此方程組解得θi的極大似然估計(jì)值．3．設(shè)總體X的分布中含有k個(gè)參數(shù)76

例10設(shè)總體，與未知,（X1,X2,…,Xn)為總體X的樣本，求與的極大似然估計(jì)量．解

X的概率密度為設(shè)x1,x2,…,xn為樣本值，似然函數(shù)為例10設(shè)總體77令解得與的極大似然估計(jì)值為因此，與的極大似然估計(jì)量為令78例11設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]上服從均勻分布，其中a、b未知，X1,X2,…,

Xn為總體X的樣本，求a、b的極大似然估計(jì)量．解

X的概率密度為設(shè)樣本值為x1,x2,…,xn（），似然函數(shù)為因?yàn)長(a,b)是a的單增函數(shù)，a越大，L(a,b)就越大，但a不能大于x(1)=min{x1,x2,…,xn}；又因?yàn)長(a,b)是b的單減函數(shù)，b越小，L(a,b)就越大，但b不能小于x(n)=max{x1,x2,…,xn}．對于滿足a≤x(1)

,b≥x(n)的任意a,b有例11設(shè)總體X在區(qū)間[a,b]79當(dāng)a=x(1)

，b=x(n)時(shí),L(a,b)取得最大值所以a,b的極大似然估計(jì)值為a,b的極大似然估計(jì)量為,4．極大似然估計(jì)的性質(zhì)設(shè)u()是關(guān)于未知參數(shù)θ的函數(shù)，，u()具有單值反函數(shù)，又設(shè)是總體分布中所含參數(shù)θ的極大似然估計(jì)，則是u的極大似然估計(jì)．當(dāng)a=x(1)，b=x(n)時(shí),L(a,b80四、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)1．無偏性估計(jì)量是樣本的函數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量，由不同的方法得到的估計(jì)量可能相同也可能不同．而對同一估計(jì)量，由不同的樣本觀察值得到參數(shù)的估計(jì)值也可能不同．我們很自然地要求估計(jì)量的期望等于參數(shù)的真值，即無偏性．定義設(shè)是未知參數(shù)θ的估計(jì)量，若，則稱為θ的無偏估計(jì)（量）．例12設(shè)（X1,X2,…,

Xn）是來自具有有限均值與方差的總體X的一個(gè)樣本．證明：樣本均值是的無偏估計(jì)，樣本方差S2是的無偏估計(jì)．四、估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn)1．無偏性估計(jì)量81證

因此，與分別為與的無偏估計(jì)．證82例13設(shè)總體X的均值為,（X1,X2,X3）是總體X的樣本，證明下列兩個(gè)估計(jì)量都是的無偏估計(jì)．設(shè)與是參數(shù)θ的兩個(gè)無偏估計(jì)量，若，則稱比有效.2．有效性

證由于所以與都是的無編估計(jì)．（只需k1+

k2++

kn

=1，則=k1X1+

k2X2++

knXn就是的無偏估計(jì)）例13設(shè)總體X的均值為,（X83

例14比較例13中與哪個(gè)更有效．解設(shè)．由于顯見，因此比有效．另外，取，則于是可知比更有效．例14比較例1384設(shè)為參數(shù)θ的估計(jì)量，若當(dāng)時(shí)，按概率收斂于θ，即對于任意正數(shù)ε，有，則稱為θ的一致估計(jì)（量）．3．一致性根據(jù)大數(shù)定律可知，樣本均值是總體均值的一致估計(jì)量．設(shè)85第二節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量(X1,X2,…,

Xn)來對總體X中的未知參數(shù)θ進(jìn)行估計(jì)，由一個(gè)樣本值（x1,x2,…,

xn）可得到θ的估計(jì)值（x1,x2,…,

xn）．這種估計(jì)值是無法知道誤差的．我們要定出一個(gè)范圍，并要求以一定的概率保證這個(gè)范圍包含著θ的真值．這個(gè)范圍通常以區(qū)間的形式給出，我們把這個(gè)區(qū)間稱為置信區(qū)間．定義設(shè)總體X的分布中含有一個(gè)未知參數(shù)θ，(X1,X2,…,

Xn）是來自總體X的一個(gè)樣本．如果對于給定的常數(shù)，統(tǒng)計(jì)量θ1=θ1(X1,X2,…,

Xn）與θ2=θ2(X1,X2,…,

Xn）滿足（1）則稱隨機(jī)區(qū)間(θ1,θ2)是θ的置信度為的置信區(qū)間，分別稱θ1與θ2為θ的置信下限與置信上限．第二節(jié)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)是通過構(gòu)造統(tǒng)計(jì)86

例1設(shè)總體，為已知，未知,（X1,X2,…,Xn）為來自總體X的一個(gè)樣本，求的置信度為的置信區(qū)間．解由于是的無偏估計(jì)，且有由正態(tài)分布表可查得，使1－稱為置信度或置信水平．（1）式的含義是，隨機(jī)區(qū)間(θ1,θ2)以的概率包含著θ，也就是說，對每一個(gè)樣本值（x1,x2,…,

xn）可求得一個(gè)具體的區(qū)間(θ1(x1,x2,…,

xn),θ2(x1,x2,…,

xn))．在這些眾多的區(qū)間中，包含θ的有100()%個(gè)，不包含θ的有100%個(gè)．

例1設(shè)總體87即有取，于是得到的置信度為的置信區(qū)間為即有88求未知參數(shù)θ的置信區(qū)間的一般方法：1°對于給定的樣本X1,X2,…,Xn，構(gòu)造樣本函數(shù)，它包含待估參數(shù)θ，而不含其它未知參數(shù)，并且Z的分布已知，在Z的分布中不依賴任何未知參數(shù)．2°對于給定的置信度，定出兩個(gè)常數(shù)a，b（一般地，按Z所服從的分布的上分位點(diǎn)來確定），使