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2022年全國(guó)碩士研究生招生考試
數(shù)學(xué)(二)預(yù)測(cè)卷(四)
(科目代碼:302)考生注意事項(xiàng).答題前,考生須在試題冊(cè)指定位置上填寫(xiě)考生編號(hào)和考生姓名;在答題卡指定位置上填寫(xiě)報(bào)考單位、考生姓名和考生編號(hào),并涂寫(xiě)考生編號(hào)信息點(diǎn)。.選擇題的答案必須涂寫(xiě)在答題卡相應(yīng)題號(hào)的選項(xiàng)上,非選擇題的答案必須書(shū)寫(xiě)在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題冊(cè)上答題無(wú)效。.填(書(shū))寫(xiě)部分必須使用黑色字跡簽字筆書(shū)寫(xiě),字跡工整、筆跡清楚;涂寫(xiě)部分必須使用2B鉛筆填涂。.考試結(jié)束,將答題卡和試題冊(cè)按規(guī)定交回。(以下信息考生必須認(rèn)真填寫(xiě))考生編號(hào)考生姓名A.B.1.C.2.1).4.2.若函數(shù)/(-=<-3.■r'+ar+/>jc2+1一22,A.B.1.C.2.1).4.2.若函數(shù)/(-=<-3.■r'+ar+/>jc2+1一22,-2.N=1C.2.處連續(xù),則lim(D.3.sinar+a-siny3.設(shè)0VaV〃,則lim\”.8*—IA.n-aan+1(。一a)C.Inh—Ina.4?設(shè)/(/)=(2/+1)舊(27+1),則/000>(X)=.29tl?98!?(2.r+l)M,r2100?98!(2x+l)M,B.D.2"*98!(2/+1產(chǎn)?2100?98!(2.r+l)99?5.設(shè)/為大于l的實(shí)數(shù),則方程ln(l+1)=在(0,+8)內(nèi)A.有且僅有一個(gè)實(shí)根.C.至少有一個(gè)實(shí)根.B.至多有一個(gè)實(shí)根.D.恰好有兩個(gè)實(shí)根.一、選擇題:1?10小題,每小題5分,共5()分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)是最符合題目要求的.e?則常數(shù)k1.若曲線y=O(V—1)]“e?則常數(shù)k則J\jc—Dir則J\jc—Dir=JoA.-1. 17.設(shè)函數(shù)/Cr,y)連續(xù),6.設(shè)函數(shù)/(N)在(一8,+8)上連續(xù).且對(duì)Vz】,l2€(-8,+8)?有
f(q+z2)+2/(xi—x2)=3/(j"i)一/(72),D.2.修/(rcos。?rsin0)rdr.f(rcos仇「sin0)dr.f(rcos夕,r/(rcos。?rsin0)rdr.f(rcos仇「sin0)dr.f(rcos夕,rsin0)rdr./(rcos0,廠sin0)dr.8.設(shè)A為4階矩陣,滿足A?=A?且r(A)=3,WO|A1+E|=A.1A.1.C.8.1009.設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣.8=002020形為A.zi+6+成.D.16.,若A與B合同,則二次型x『Ar的規(guī)范Z1+Z2-Z3.D.-zj-zf-.設(shè)A為機(jī)階正定矩陣.3為〃?X〃實(shí)矩陣,則正定的充分必要條件為A.r(B)=m. B.r(B)=n.C.r(B)=min{}. D.B為m階可逆方陣.二、填空題:11?16小題,每小題5分,共30分..設(shè)limf("一工=2.則lim八—=tanx-x j-*ox-sinx.設(shè)八力=(>+3才一4尸0?(22—1).則/<-?1)=..設(shè)函數(shù)N=y(z)滿足方程>/—2y'+2y=0,且y(0)=0,y'(0)=1,則[y(/)dr=..設(shè)竽是/(/)的一個(gè)原函數(shù),則[“(外業(yè)=..設(shè)函數(shù)/(〃,力)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).且/(1,3)=-3,2="(l3,^+?).若df,=10dr—5dy,則,。⑶=..已知廠(6.a?,…邛)=r(a\,a,…,a”)=4,廠(?,。2,…,a〃?7)=「+1?則r(di,02,…,a”?氏力=?三、解答題:17?22小題,共7()分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟..(本題滿分12分)求函數(shù)/(工)=((>—尸)]n(i+/)d/的極值..(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)v=、(了)由方程厘+4zy+x2=1確定.(1)問(wèn)y(z)在z=0處是否取得極值?說(shuō)明理由;(2)證明y(z)在(0,+oo)上是單調(diào)遞減函數(shù).19.(本題滿分12分)以乂k面上的平面曲線段y=f(z)(z>0,單位:cm)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)曲面與£制面圍成一個(gè)無(wú)上蓋容器(見(jiàn)圖),現(xiàn)以3cm3/s的速率把水注入容器內(nèi),水面的面積以kcm2/s增大.已知容器底面積為16kcm?,求曲線》=/(z)的方程.20.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)/Cr)在閉區(qū)間[0」[上連續(xù),在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo),且f(0)=/(1)=-2,[fCr)dr=0.證明:至少存在一點(diǎn)se(o,1),使得/(f)-/(f)—s=o.21.(本題滿分10分)設(shè)D={(x,j)lx2+y2<2H2+V42y},計(jì)算二重積分^卜業(yè)內(nèi)?D22.(本題滿分12分)設(shè)A為正定矩陣,;I:=l.A;=A;=4為的全部特征值.a=(1,1,1A是A*的屬于特征值芯=1的特征向量,求矩陣A及A的全部特征值與特征向量.參考答案與分析卷(四)一、選擇題L【答案】C【分析】limy=lim[](3—1)產(chǎn)=lim[1+?r(e+—1)—11"【分析】kImi/(c.*—ll—x tAlin.—J—,AHm,=e,?■' 1」-ie,1 =en〃由于曲線3^=匚工(昌一D產(chǎn)斤水平漸近線y=e?故A=2.應(yīng)選C..【答案】A【分析】由題設(shè)知?lim/Cr)=隔】鈣紋士/=/(I)=2.^-?1 .r十xL故lim(/+ar+〃)=a+6+1=0?即〃=—a—1.從而1j2j24-j,—2r11+a4+a故a=2,〃=—3.于是lim(+.rsin-)=04-A=6=—3.jr-^o'-r Xr應(yīng)選A..【答案】D【分析】77-77 r=lim—V--?>1cut no-a) n-fi1 ,,. 、1“I ,1a+(b—a)——nIn6-Ina
b-a應(yīng)選D.4.【答案】D【分析】/ 1 【分析】/ 1 \(98)心(力=4(霜)=4.2M(-1嚴(yán)98!_Z'00?98!(2工+1產(chǎn)-(21+1嚴(yán)?f(x)=21n(2]+1)+2/(x)=2rl應(yīng)選D..【答案】A【分析】令/(工)=ln(l+4)一一?則八工)=絲沔'X'X-t-1 ”(n+1)由于4>1?故/(x)有唯一駐點(diǎn)H=J].由于在)內(nèi)/(H)<0,在],+°°)內(nèi)/(了)>0.因此min/"(工)=)=山A—(A—1)<0,又/(0+)=+8,f(+8)=0,所以/(■r)在(0,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即原方程在(0,+8)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.應(yīng)選A..【答案】B【分析】在等式/(j-14-Xz)+2/<J|—X2)=3/<Xi)—f(xz)中令Hz=0,得/(0)=0.在等式/(-Tl+工2)+2/(X,—X2)=3/(X1)—/(x2)中令4=0.x?=工,并將/(0)=0代入.得/(一工)=一/(工),故/(工)為奇函數(shù).于是,令工=,+1.得|/(X—Ddx=Jf(t)dt=0.應(yīng)選R.【答案】C【分析】先將累次積分寫(xiě)成二重積分,可知積分區(qū)域是由曲線4q=l.R=1與直線y=H,y=2上在第一象限圍成的區(qū)域,用極坐標(biāo)表示即為卜"劭-7==^r<-7==-^^熊arctan2],再I(mǎi)>/2sin20Vsin204寫(xiě)成累次積分.應(yīng)選C..【答案】C【分析】由于A為4階矩陣=4.即A(E—A)=O.故A的特征值只可能是0和1,且r(A)+r(E-A)44.另一方面,(A)+r(E-A))r[A+(E-4)」=r(E)=4.所以r(A)+r(E-A)=4.由于r(A)=3.故r(E—A)=1.于是特征值0對(duì)應(yīng)1個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向址,而特征值1對(duì)應(yīng)3個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向Itt,從而4階矩陣A共有4個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向配因此,A可相似對(duì)角化,且A的全部特征值為0.1」」,從而A,+E的全部特征值為1,2,2,2.于是,|A4+E|=1X2X2X2=8.應(yīng)選C..【答案】B【分析】由于A-1 0 0IAE-B|= 0A-2=(A-l)(A-2)(A+2),0 -2A因此B的特征值為1,2,-2.由于4'-jB合同.故二次型x'Ax的規(guī)范形為4+后一病.應(yīng)選R
.【答案】B【分析】若B'AB正定.則對(duì)任意”維非零實(shí)列向此如有(fta)7(W)=/(*AB)a>0,從而B(niǎo)aW0.即“元齊次線性方程組Bx=0只有零解.故r(B)=n.反之,若r(B)=",則對(duì)任意”維非零實(shí)列向量明有ftaX0.因?yàn)锳是m階正定矩陣.所以(Bb)tA(Ba)>0,即0r(BIB)a>0.顯然B'/W是對(duì)稱矩陣,故B'AB是正定矩陣.因此B'AB正定的充分必要條件為r(B)=n.應(yīng)選R二、填空題.【答案】52【分析】2.【答案】5"n!【分析】令g(H)=(x+4)"cos(j2-1)?JPJfix')=(x—1)"g(.r).于是故⑴=a”!g(l)=5"?!..【答案】1/(疝/一《?,)+('.其中('為任意常數(shù)【分析】微分方程.v"-2y'+2y=0的特征方程為/-2「+2=0.特征根為n.z=1土i.故該微分方程的通解為y=e^CGcosi+Czsinj).由初值條件_y(0)=0.£(0)=1得G=0,C2=1.因此.sinjt.于是j.y(x)dx=Jt/sin.rdLr=-Je^cKcos.r)=Fcos/+卜cos.rdr=—crcos1+卜d(sin幻=-e1cos/十小sinx-Je*sin/dr.故j.v(z)dr= sin.rdr=ye1(sinx-cos +C,其中C為任意常數(shù)..【答案】cos1-2sin1+1【分析】由題設(shè)知JCr)=(平)’=生箜手皿(Gr)dr=亨+C.【答案】2【分析】記〃=/皿=”+、,則*=1y+/(u.zOZI./=f(u.R)+
由ch||=lOdLr—5dy,得/J-=10亨J=1=-5.又/(1,3)=—3,于是1>=2 fy=2 ">=2J3/:(l,3)+£(l,3)=5,1一3+2/(l,3)=-5,故£(1,3)=2,/t(1.3)=-l..【答案】4+1【分析】由于―6.啖一,?,%”)=―嗝,收,…,%)=—故向量I可由向量組01,。2 “線性表示,從而I也可由向量組內(nèi),6,…,a,y線性表示?故r(ai*02 業(yè)丫)=r(a],儂,…,%,1/,P)—r(ai,。士,…心,y)=4+L三、解答題.【解】函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?-8,+8)./(%)=x2j]ln(1+/)d/—jJln(l+/)dz,/(x)=2工[1水1+/)山+/111(1+/)—/1水1+/)=2xjjn(l+t2)dz,
fix)=2j'ln(1+12)d/+2xln(1+jr2).令/(x)=0得n=0,4=1./(0)=—jjzln(l+/)d,=J產(chǎn)ln(l+F)dr=Ijln(l+z2)d<z3)=4Ct3ln(l+f)jr-4f等&=4ln2-弓['—-^2\+1d/3 Io3Jol+- 3 3Jo1H-r=lin2-i£(z2-i+i+?)dz=lin2_f(l?_/+arc,anz)L1., 2,1., 2,K2=yln2--(T-7_L]n2—工+良
3 6 9;ln(l+/)d/=-2fln(l+產(chǎn)汕VO,所以八1)=0為極小值.TOC\o"1-5"\h\z/(0)=41n2一*+4為極大值.3 0y.(1)【解】易知?當(dāng)z=0時(shí),y=0,對(duì)方程ev+4內(nèi)+j2=1兩邊關(guān)于才求導(dǎo),得?①+仃+4燈'+2/=0, ①①式關(guān)于/求導(dǎo),得 yQ+(£)2+8y+40"+2=0. ②將X=0,y=。代人①,②式.得y'(0)=0,/(0)=—2<0,因此,函數(shù)在t=0處取得極大值.(2)【證】當(dāng)工£(0,十8)時(shí),恒有y<0.若不然,則4到+>=1—/&0,矛盾.進(jìn)一步,由2](2?+外=>+1一1>0,可知2y+工>0.再由上述的①式得爐=T%/)V0,
e*+4z因此y=?a)在(0,+8)上單調(diào)遞減..【解】記t時(shí)刻容器的水深為N"),則注入的水的體積為V(/)=Jn/2(w)dww水面的面積為
由題意.分離變量,得S(z)=業(yè)9=7由題意.分離變量,得S(z)=業(yè)9=7r/[z(D]dtdS(D山號(hào)=3.應(yīng).2=工dzf(z,) 3d/("=2小f(z)6于是J需=打也得In|f(z)|=~z-\-InCit/(z)=±6。和=Ce6x(z)0),o又底面積為16ncm?,即y(0)=4,得C=4?即/(c)=4c?(z)0).20.【證】令儀"=則函數(shù)的r)在[0,1]上連續(xù),且歡0)=/(0)+1=-1<0,又/E/(x)4-x-l-l]dr=f/⑺必+,=0+弓=得>0,由枳分中值定理知,。在此£(0,1),jo Jo LLC使得([/(力+i+lldr=/(J7))+/()+1.故6/o)=e*?r/(.ro)+4+l]>0,于是?由零點(diǎn)定理知,存在Xie(0,Ho)?使得中5)=0.又「(1)=e1匚/⑴+21=0,且6工)在Cn,11上連續(xù).在(4.1)內(nèi)可導(dǎo),故由羅爾定理可知,至少存在一點(diǎn)se(4.du(0.1).使得/(Q=0.即-e-e[/(e)+e+1]++1]=o.也即/(e)-/(e)-e=o.21.【解】設(shè)口(Cr,y)I3+,42y.yV工
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