1為了使氮氖激光器的相干長度達到1KM，它的單色性W應(yīng)為多少?解答：設(shè)相干時間為T，則相干長度為光速與相干時間的乘積，即根據(jù)相干時間和譜線寬度的關(guān)系A(chǔ)v又因為A根據(jù)相干時間和譜線寬度的關(guān)系A(chǔ)v又因為Av=632.8nm由以上各關(guān)系及數(shù)據(jù)可以得到如下形式:單色性=Av入 632.8nm=i= =6.328x10-由以上各關(guān)系及數(shù)據(jù)可以得到如下形式:單色性=Av入 632.8nm=i= =6.328x10-10L 1x1012nmc8一質(zhì)地均勻的材料對光的吸收系數(shù)為0.01mm-1，光通過10cm長的該材料后，出射光強為入射光強的百分之幾?如果一束光通過長度為1M地均勻激勵的工作物質(zhì)，如果出射光強是入射光強的兩倍，試求該物質(zhì)的增益系數(shù)。解答：設(shè)進入材料前的光強為I0，經(jīng)過z距離后的光強為I(z)，根據(jù)損耗系數(shù)dI(z) 1~^~x黃)的定義，可以得到U：I(z)=10exp(-az)則出射光強與入射光強的百分比為:出x100%=(exp-az)x100%-e-《.01mm-1x100mm)x100%=36.8%I0cdi(z) 1根據(jù)小信號增益系數(shù)的概念：g0=—d丁xi(z)，在小信號增益的情況下，上式可通過積分得到I(z)=I(z)=Iexpg0znexpg0z=1I()ln I 0—zi() II(z) ng0z-ln ng010 10ln2 =6.93x10-4mm-110001.試利用往返矩陣證明共焦腔為穩(wěn)定腔，即任意傍軸光線在其中可以往返無限多次，而且兩次往返即自行閉合。證：設(shè)光線在球面鏡腔內(nèi)的往返情況如下圖所示:其往返矩陣為:r1r其往返矩陣為:r1r1V1-2LR22 2 2L-[—+—(1-——)]

R R Rr2L 22L2 2 2L-[—+—(1-——)]

R R R-[H-(1-H)(1-/)]

R RR1 1 2 7由于是共焦腔，往返矩陣變?yōu)閞-1

-1J若光線在腔內(nèi)往返兩次可以看出，光線在腔內(nèi)往返兩次的變換矩陣為單位陣，所以光線兩次往返即自行閉合。于是光線在腔內(nèi)往返任意多次均不會溢出腔外，所以共焦腔為穩(wěn)定腔。2試求平凹、雙凹、凹凸共軸球面腔的穩(wěn)定條件。解答如下：共軸球面腔的1Q+D)三1-2L-2L+2L，如果滿足-1<1(a+D)<12 RRRR 21 2 12則腔是穩(wěn)定腔，反之為非穩(wěn)腔，兩者之間存在臨界腔，臨界腔是否是穩(wěn)定腔，要具體分析。

下面我們就根據(jù)以上的內(nèi)容來分別求穩(wěn)定條件。1（A ,2L2L2L]2L對于平凹共軸球面腔，-^A+D）=1— — +^^=1-2 RRRRR所以，如果-所以，如果-1<1-■<1，則是穩(wěn)定腔。R2因為L和R2均大于零,所以不等式的后半部分、一i …「L4一，……、，一八iL…D …一定成立，因此，只要滿足三-<1，就能滿足穩(wěn)定腔的條件，因此，—<1就是平凹腔的R R穩(wěn)定條件。類似的分析可以知道，凸凹腔的穩(wěn)定條件是：R1<°

R2>L，且勺+R2<L。雙凹腔的穩(wěn)定條件是：R1>L，R2>L（第一種情況）R]<L，R2<L且R1+R2>L（第二種情況）LR=R=R>- （對稱雙凹腔）1 2 2求解完畢。6.試求出方形鏡共焦腔面上TEM30模的節(jié)線位置，這些節(jié)線是等距分布的嗎?解：在厄米高斯近似下，共焦腔面上的TEM30模的場分布可以寫成（五）,（羽?。?JH31v五xIe-（l入/兀） I令X=4,：2兀/（L九）x，則I式可以寫成- —-x2+y2v3°（x,y）=C30H31X）e（L九/兀）式中H3（X）為厄米多項式，其值為3（x）=8X3-12X由于厄米多項式的零點就是場的節(jié)點位置，于是令H3（X）=0，得X1=0;X2=<3/2;X3=-、；373考慮到3=m'L九/兀，于是可以得到鏡面上的節(jié)點位置0s

"0—3；X1 "0—3；X1 2 20s3與2os所以，TEM模在腔面上有三條節(jié)線，其1坐標位置分別在。和士瓜/2處，節(jié)線之間30 0s位置是等間距分布的，其間距為每os/2；而沿y方向沒有節(jié)線分布。7求圓形鏡共焦腔7EM7求圓形鏡共焦腔7EM和模在鏡面上光斑的節(jié)線位置。2002解答如下：圓形鏡共焦腔場函數(shù)在拉蓋爾一高斯近似下，可以寫成如下的形式u(r,(p)=Cmn mnI*Jcosm(psinm(p(這個場對應(yīng)于，兩個三角mn函數(shù)因子可以任意選擇,但是當(dāng)m為零時，只能選余弦，否則整個式子將為零)對于；u(r,(p)=C20 20 ：G12rV201CO、I0sJu(r,(p)=Cmn mnI*Jcosm(psinm(p(這個場對應(yīng)于，兩個三角mn函數(shù)因子可以任意選擇,但是當(dāng)m為零時，只能選余弦，否則整個式子將為零)對于；u(r,(p)=C20 20 ：G12rV201CO、I0sJCD20p320Os0scos2(p

sin2(p并且、(2rAl①：)0s=1,代入上式，得到u(r,(p)=C20 20v;2rV__l2_5cos2(psin2(p'我們?nèi)∮嘞翼棥鶕?jù)題中所要求的結(jié)果,我們?nèi)_l2_e峭cos2(p=0,就能求出鏡面上節(jié)線的位置。既71cos2(p=0n(p=一71cos2(p=0n(p=一,(p1 423兀~4對于7期。2,可以做類似的分析。u(r,(p)=C02 027AoZjo2C02u(r,(p)=C02 027AoZjo2C020s7__l2_P032。0sCLo0221(020sZjo2Zjo2=1--+—,代入上式并使光波場為零，得到C02 340s0suG,(p)=C02 02回。uG,(p)=C02 02回。mJ4r22r41-——+——32 340s 0s/2e%二0顯然，只要L213:J0s4r2 2r4 八顯然，只要L213:J0s4r2 2r4 八=1 + =0即滿足上式32 340s0s最后鏡面上節(jié)線圓的半徑分別為:0s解答完畢。8.今有一球面腔，R1=1.5m,R2=-1m,L=80cm。試證明該腔為穩(wěn)定腔；求出它的等價共焦腔的參數(shù)；在圖上畫出等價共焦腔的具體位置。解：該球面腔的g參數(shù)為g=1--=0.471R1—=1.8R2由此，g1g之二0.85，滿足諧振腔的穩(wěn)定性條件0<g1g2<1，因此，該腔為穩(wěn)定腔。兩反射鏡距離等效距離和等價共焦腔的焦距L(R-L)Z= 2 (L-R)+(L-R)-L(R-L)z= 1 (L-R)+(L-R)12=-1.31m=-0.51m共焦腔中心O點的分別為=0.50mL(R-L)(R-L)(R+R-L)

~~1KL-R：)+(L-RJ］；~~=0.50m根據(jù)計算得到的數(shù)據(jù)，在下圖中畫出了等價共焦腔的具體位置。20.激光器的諧振腔有兩個相同的凹面鏡組成，它出射波長為九的基模高斯光束，今給定功率計，卷尺以及半徑為。的小孔光闌，試敘述測量該高斯光束公焦參數(shù)f的實驗原理及步驟。解：一、實驗原理通過放在離光腰的距離為z的小孔（半徑為。）的基模光功率為(III)(III)2aL(I)P(z)=P(1-e0(z))(I)TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"式中，P0為總的光功率，P(z)為通過小孔的光功率。記P=P(z)，則有0 “、 2a2 1①2(z)=——P— (II)ln(—^-)P-P0 1注意到對基模高斯光束有 .、兀32(z) zz2/兀32="f+7"F在(II)式的兩端同時乘以兀/九，則有￡z2

f+—

f解此關(guān)于f的二次方程，得(IV)因為a、P0、P1、z都可以通過實驗測得，所以由(III)及(IV)式就可以求得基模高斯光束的共焦參數(shù)f。二、實驗步驟.如上圖所示，在高斯光束的軸線上某一點B處放入于光軸垂直的光闌(其孔半徑為a),用卷尺測量出B到光腰0(此題中即為諧振腔的中心)的距離z;.用激光功率計測出通過小孔光闌的光功率P；1.移走光闌，量出高斯光束的總功率P；0.將所得到的數(shù)據(jù)代入（111）及（IV）式即可求出f（根據(jù)實際情況決定（IV）式根號前正負號的取舍）舍）。11短波長（真空紫外、軟X射線）譜線的主要加寬是自然加寬。試證明峰值吸收截面為證明：根據(jù)P144頁吸收截面公式4.4.14可知，在兩個能級的統(tǒng)計權(quán)重f1=f2的條件下，在自然加寬的情況下，中心頻率V0處吸收截面可表示為:AV2 1O二一21 12 4兀2V2Av0N上式AvN上式AvN（P133頁公式4.3.9）又因為A21把A21和AvN的表達式代入1式，得到:卜O=—021 2兀證畢。（驗證過）12已知紅寶石的密度為3.98g/cm3，其中Cr2O3所占比例為0.05%（質(zhì)量比），在波長為694.3nm附近的峰值吸收系數(shù)為0.4cm-1，試求其峰值吸收截面（T=300K）。解：分析：紅寶石激光器的Cr3+是工作物質(zhì)，因此，所求峰值吸收截面就是求Cr3+的吸收截面。

根據(jù)題中所給資料可知:Cr2O3的質(zhì)量密度為3.98g/cm3X0.05%=1.99X10-3g/cm3,摩爾質(zhì)量為52X2+16X3=152g/mol設(shè)Cr3+的粒子數(shù)密度為n,則n=2X（1.99X10-3/152）X6.02X1023=1.576X1019/cm3根據(jù)a=o/n可知，ao=—12 An根據(jù)n^n1+n2,n _皿根據(jù)a=o/n可知，ao=—12 An根據(jù)n^n1+n2,n _皿△n=n-n,且=ekt,

12n1其中hvKT6.62x10_34x3x108694.3x10-91.38x10_23x300a知E2能級粒子數(shù)密度接近于零，可求出An=n[=1.756X1019/cm3，代入到。口=而，可求出：o12a 0.4/cm_1An1.576x1019/cm3=2.55x10_20cm2解答完畢。1激光器的工作物質(zhì)長為/，折射率“，諧振腔腔長為L，諧振腔中除工作物質(zhì)外的其余部分折射率為“?，工作物質(zhì)中光子數(shù)密度為N，試證明對頻率為中心頻率的光竺=AnocN——N-c，其中L=叩l+^（L-l）dt21LL證明：已知在工作伍之中單位體積內(nèi)的平均光子數(shù)為N，設(shè)諧振腔其余部分中的單位體積內(nèi)的平均光子數(shù)為N'，光束均勻（光強均勻）且截面為s，則腔內(nèi)總的光子數(shù)變化率為:d《SI+N'S（L_l）） NSl+N'S（L-1） =AnouNSl- dt 21 tR（1）其中Tw+T（Ll）_L-c -c又