一、離散型二、連續(xù)型（和的分布）下頁§3.3

二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型下頁§3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1．已知(X,Y)的聯(lián)合分布律,-1,0,2,3,5,且求Z=X+Y的概率分布.解：Z=X+Y的所有可能取值為P{Z=-1}=P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=1/10,P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-1,Y=1}=1/20,P{Z=2}=P{X+Y=2}=P{X=-1,Y=3}+P{X=2,Y=0}=3/20+3/10,P

1/101/209/2004/10Z-10235下頁一、離散型同理，P{Z=3}=0，P{Z=5}=4/20.所求分布律為

1/101/203/203/1004/10-12

013XY例1．已知(X,Y)的聯(lián)合分布律,-1,0,2,例2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為l1與l2的Possion分布，令Z=X+Y，試求Z的分布律.解：由隨機(jī)變量X與Y的取值都是0,1,2,…,可知Z=X+Y的取值也是0,1,2,…,對(duì)于n=0,1,2,…,有即Z=X+Y服從參數(shù)為l1+l2的Possion分布.下頁例2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且分別服下頁二、連續(xù)型問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).根據(jù)分布函數(shù)定義有對(duì)z求導(dǎo)，得Z的概率密度fZ(z)為x+y=zxyo令u=x+y,則y=u-x,dy=du,于是有下頁二、連續(xù)型問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求下頁問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).Z的概率密度fZ(z)為二、連續(xù)型卷積公式若X,Y相互獨(dú)立，則f(x,y)=fX(x)·fY(y)，代入上式得由對(duì)稱性可得下頁問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y例3．設(shè)X和Y是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X～N(0,1),Y～N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.解：由于X,Y互相獨(dú)立，由卷積公式得下頁卷積公式從而有，Z=X+Y～N(0,2).例3．設(shè)X和Y是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X～N(0解:下頁解:下頁下頁下頁下頁方法小結(jié)：⒈

確定非零聯(lián)合密度對(duì)應(yīng)的積分變量的區(qū)間：①確定fX(x),fY(z-x)各自的非零定義域A與B；②A與B的交集即為所求.⒉

確定積分變量的積分限：①將A與B的交集映射成平面坐標(biāo)系中的區(qū)域；②根據(jù)(變常數(shù))z的變化，確定x的變化范圍.記憶要點(diǎn)：

連續(xù)類型巧計(jì)算，技巧在于積分限；邊緣密度非零域，交集映射便可見.下頁方法小結(jié)：記憶要點(diǎn)：技巧在于積分限；邊緣密度非零域，交集解:下頁解:下頁下頁下頁作業(yè)：

71頁

18補(bǔ)充題：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，fX(x)和fY(y)如下，用卷積公式求Z=X+Y的概率密度函數(shù).結(jié)束作業(yè)：71頁

18下頁補(bǔ)充題：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，fX(x)和fY(y)如下，用卷積公式求Z=X+Y的概率密度函數(shù).解:下頁補(bǔ)充題：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，fX(x)和fY(y)解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計(jì)算.①當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)z(z)=0；②當(dāng)z>2時(shí)，F(xiàn)z(z)=1；下頁③當(dāng)0≤z≤1時(shí)，解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計(jì)算.④當(dāng)1<z≤2時(shí)，下頁解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況所以，現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計(jì)算.下頁解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).所以，現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四一、離散型二、連續(xù)型（和的分布）下頁§3.3

二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型下頁§3.3二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1．已知(X,Y)的聯(lián)合分布律,-1,0,2,3,5,且求Z=X+Y的概率分布.解：Z=X+Y的所有可能取值為P{Z=-1}=P{X+Y=-1}=P{X=-1,Y=0}=1/10,P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-1,Y=1}=1/20,P{Z=2}=P{X+Y=2}=P{X=-1,Y=3}+P{X=2,Y=0}=3/20+3/10,P

1/101/209/2004/10Z-10235下頁一、離散型同理，P{Z=3}=0，P{Z=5}=4/20.所求分布律為

1/101/203/203/1004/10-12

013XY例1．已知(X,Y)的聯(lián)合分布律,-1,0,2,例2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為l1與l2的Possion分布，令Z=X+Y，試求Z的分布律.解：由隨機(jī)變量X與Y的取值都是0,1,2,…,可知Z=X+Y的取值也是0,1,2,…,對(duì)于n=0,1,2,…,有即Z=X+Y服從參數(shù)為l1+l2的Possion分布.下頁例2.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且分別服下頁二、連續(xù)型問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).根據(jù)分布函數(shù)定義有對(duì)z求導(dǎo)，得Z的概率密度fZ(z)為x+y=zxyo令u=x+y,則y=u-x,dy=du,于是有下頁二、連續(xù)型問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求下頁問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z).Z的概率密度fZ(z)為二、連續(xù)型卷積公式若X,Y相互獨(dú)立，則f(x,y)=fX(x)·fY(y)，代入上式得由對(duì)稱性可得下頁問題：設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為f(x,y),求Z=X+Y例3．設(shè)X和Y是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X～N(0,1),Y～N(0,1)，求Z=X+Y的概率密度.解：由于X,Y互相獨(dú)立，由卷積公式得下頁卷積公式從而有，Z=X+Y～N(0,2).例3．設(shè)X和Y是兩個(gè)互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且X～N(0解:下頁解:下頁下頁下頁下頁方法小結(jié)：⒈

確定非零聯(lián)合密度對(duì)應(yīng)的積分變量的區(qū)間：①確定fX(x),fY(z-x)各自的非零定義域A與B；②A與B的交集即為所求.⒉

確定積分變量的積分限：①將A與B的交集映射成平面坐標(biāo)系中的區(qū)域；②根據(jù)(變常數(shù))z的變化，確定x的變化范圍.記憶要點(diǎn)：

連續(xù)類型巧計(jì)算，技巧在于積分限；邊緣密度非零域，交集映射便可見.下頁方法小結(jié)：記憶要點(diǎn)：技巧在于積分限；邊緣密度非零域，交集解:下頁解:下頁下頁下頁作業(yè)：

71頁

18補(bǔ)充題：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，fX(x)和fY(y)如下，用卷積公式求Z=X+Y的概率密度函數(shù).結(jié)束作業(yè)：71頁

18下頁補(bǔ)充題：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，fX(x)和fY(y)如下，用卷積公式求Z=X+Y的概率密度函數(shù).解:下頁補(bǔ)充題：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，fX(x)和fY(y)解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY(y)如下,求Z=X+Y的密度函數(shù).現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計(jì)算.①當(dāng)z<0時(shí)，F(xiàn)z(z)=0；②當(dāng)z>2時(shí)，F(xiàn)z(z)=1；下頁③當(dāng)0≤z≤1時(shí)，解：用分布函數(shù)法例6.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,fX(x)和fY現(xiàn)考慮f(x,y)>0的區(qū)域與x+y≤z的取值，分四種情況計(jì)算.④當(dāng)1<z≤2時(shí)，下頁解：用分布函數(shù)法