習(xí)題一1設(shè)總體的樣本容量，寫出在下列4種情況下樣本的聯(lián)合概率分布.1）3）；2）；4）；.解設(shè)總體的樣本為1）對總體，，其中：2）對總體其中：3）對總體4）對總體2為了研究玻璃產(chǎn)品在集裝箱托運過程中的損壞情況，現(xiàn)隨機抽取20個集裝箱檢查其產(chǎn)品損壞的件數(shù)，記錄結(jié)果為：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，寫出樣本頻率分布、經(jīng)驗分布函數(shù)并畫出圖形.解設(shè)1.1：代表各箱檢查中抽到的產(chǎn)品損壞件數(shù)，由題意可統(tǒng)計出如下的樣本頻率分布表表1.1頻率分布表i01234個數(shù)673220.30.350.150.10.1經(jīng)驗分布函數(shù)的定義式為：，據(jù)此得出樣本分布函數(shù)：圖1.1經(jīng)驗分布函數(shù)3某地區(qū)測量了95位男性成年人身高，得數(shù)據(jù)(單位：cm)如下：組下限組上限人數(shù)165167169171173175177167169171173175177179102123221153試畫出身高直方圖，它是否近似服從某個正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形.解圖1.2數(shù)據(jù)直方圖它近似服從均值為172，方差為5.64的正態(tài)分布，即.4設(shè)總體X的方差為4，均值為，現(xiàn)抽取容量為100的樣本，試確定常數(shù)k，使得滿足.解因k較大，由中心極限定理,：所以：查表得：，.5從總體中抽取容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率.解6從總體中分別抽取容量為10與15的兩個獨立的樣本，求它們的均值之差的絕對值大于0.3的概率.解設(shè)兩個獨立的樣本分別為：與，其對應(yīng)的樣本均值為：和.由題意知：和相互獨立，且：，7設(shè)是總體的樣本，試確定C，使得.解因，則，且各樣本相互獨立，則有：所以：查卡方分位數(shù)表：c/4=18.31，則c=73.24.8設(shè)總體X具有連續(xù)的分布函數(shù)，是來自總體X的樣本，且，定義隨機變量：試確定統(tǒng)計量的分布.解由已知條件得：，其中.因為互相獨立，所以也互相獨立，再根據(jù)二項分布的可加性，有，.9設(shè)1）是來自總體X的樣本，試求。假設(shè)總體的分布為：2)3)4)解1)2)3)4)10設(shè)為總體的樣本，求與。解又因為,所以：11設(shè)來自正態(tài)總體，定義：，計算.解由題意知，令：，則12設(shè)是總體的樣本，為樣本均值，試問樣本容量應(yīng)分別取多大，才能使以下各式成立：1）；2）；3）。解1)，所以：2)令：所以：計算可得：3)查表可得：，而取整數(shù)，.13設(shè)和是兩個樣本，且有關(guān)系式：（均為常數(shù)，），試求兩樣本均值和之間的關(guān)系，兩樣本方差和之間的關(guān)系.解因：所以：即：14設(shè)是總體的樣本.1)試確定常數(shù)，使得，并求出；2)試確定常數(shù)解1）因：，使得，并求出和.，標(biāo)準(zhǔn)化得：，且兩式相互獨立故：可得：，，.2）因：，，所以：，可得：.15設(shè)分別是分布和分布的分位數(shù)，求證.證明設(shè)，則：所以：故：.16設(shè)是來自總體的一個樣本，求常數(shù)，使：.解易知，則；同理，則又因：，所以與相互獨立.所以：計算得：c=0.976.17設(shè)為總體的容量的樣本，為樣本的樣本均值和樣本方差，求證：1）；2）；3）.解1）因：，所以：，又：且：與相互獨立所以：~2）由1）可得：3）因：，所以：18設(shè)為總體的樣本，為樣本均值，求，使得.解所以：查表可得：，即.19設(shè)為總體的樣本，試求：的密度函數(shù)；1）的密度函數(shù)；2）解因：，所以的密度函數(shù)為：，由定理：20設(shè)為總體；的樣本，試求：1）2）解21設(shè)為總體的一個樣本，試確定下列統(tǒng)計量的分布：1）；2）；3）解1）因為：所以：，且與相互獨立，由抽樣定理可得：2）因為：，且與相互獨立，所以：3）因為：，所以：且，與相互獨立，由卡方分布可加性得：.22設(shè)總體服從正態(tài)分布，樣本來自總體，是樣本方差，問樣本容量取多大能滿足？解由抽樣分布定理：,,查表可得：，.23從兩個正態(tài)總體中分別抽取容量為20和15的兩獨立的樣本，設(shè)總體方差相等，分別為兩樣本方差，求.解設(shè)分別為兩樣本的容量，為總體方差，由題意，又因分別為兩獨立的樣本方差：所以：.24設(shè)總體，抽取容量為20的樣本，求概率1）；2）.解1）因，且各樣本間相互獨立，所以：故：2）因：,所以：25設(shè)總體，從中抽取一容量為25的樣本，試在下列兩種情況下的值：1）已知；2）未知，但已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差解1）.2）26設(shè)為總體的樣本，為樣本均值和樣本方差，當(dāng)時，求：1）2）3）確定C，使解1）.2）其中,則3）其中，所以：，則,計算得：.27設(shè)總體的均值與方差存在，若為它的一個樣本，是樣本均值，試證明對，相關(guān)系數(shù).證明所以：.28.設(shè)總體，從該總體中抽取簡單隨機樣本，是它的樣本均值，求統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望.解因，為該總體的簡單隨機樣本，令，則有可得：習(xí)題二1設(shè)總體的分布密度為：為其樣本，求參數(shù)的矩估計量和極大似然估計量.現(xiàn)測得樣本觀測值為：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數(shù)的估計值.解計算其最大似然估計：其矩估計為：所以：，；.2設(shè)總體X服從區(qū)間[0,]上的均勻分布，即1)求參數(shù)的矩估計量，為其樣本，和極大似然估計量2)現(xiàn)測得一組樣本觀測值：1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1，試分別用矩法和極大似然法求總體均值、總體方差的估計值.解1）矩估計量：最大似然估計量：無解.此時，依定義可得：2）矩法：極大似然估計：.3設(shè)是來自總體X的樣本，試分別求總體未知參數(shù)的矩估計量與極大似然估計量.已知總體X的分布密度為：1）未知未知2）3）未知4)未知5），其中參數(shù)未知6），其中參數(shù)未知7）未知8）解1）矩法估計：最大似然估計：.2)矩估計：最大似然估計：.3）矩估計：聯(lián)立方程：最大似然估計：,,無解，當(dāng)時，使得似然函數(shù)最大，依照定義，4)，同理可得.矩估計：，不存在最大似然估計：，無解；依照定義，.5)矩估計：即最大似然估計：，無解依定義有：.6)矩估計：解方程組可得：最大似然估計：無解，依定義得，解得.7)矩估計：最大似然估計：.8)矩估計：最大似然估計：.4.設(shè)總體的概率分布或密度函數(shù)為，其中參數(shù)已知，記，樣本來自于總體X，則求參數(shù)的最大似然估計量.解記則；.5設(shè)元件無故障工作時間X具有指數(shù)分布，取1000個元件工作時間的記錄數(shù)據(jù)，經(jīng)分組后得到它的頻數(shù)分布為：5152535455565組中值365245150100704525頻數(shù)如果各組中數(shù)據(jù)都取為組中值，試用最大似然法求參數(shù)的點估計..解最大似然估計：.6已知某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產(chǎn)的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命(單位：小時)為：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948設(shè)總體參數(shù)都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時以上的概率.解設(shè)燈泡的壽命為,,極大似然估計為：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)得到：.經(jīng)計算得，這個星期生產(chǎn)的燈泡能使用1300小時的概率為0.0075.7.為檢驗?zāi)撤N自來水消毒設(shè)備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水中大腸桿菌的個數(shù)(假定一升水中大腸桿菌個數(shù)服從Poisson分布)，其化驗結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/升01234561720102100升數(shù)試問平均每升水中大腸桿菌個數(shù)為多少時，才能使上述情況的概率為最大？解設(shè)為每升水中大腸桿菌個數(shù)，，，由3題（2）問知，的最大似然估計為，所以所以平均每升氺中大腸桿菌個數(shù)為1時，出現(xiàn)上述情況的概率最大.8設(shè)總體，試?yán)萌萘繛閚的樣本的點A的最大似然估計量.，分別就以下兩種情況，求出使1）若時；2）若均未知時.解1），的最大似然估計量為，所以.2）的最大似然估計量為，最大似然估計為，由極大似然估計的不變性，直接推出.9設(shè)總體X具有以下概率分布：x012341/31/301/61/61/41/41/41/40001/41/21/4求參數(shù)的極大似然估計量.若給定樣本觀測值：1，0，4，3，1，4，3，1，求最大似然估計值.解分別計算，時樣本觀測值出現(xiàn)的概率：由最大似然估計可得：.10設(shè)總體X具有以下概率分布：，求參數(shù)的最大似然估計量.解最大似然估計應(yīng)該滿足：結(jié)果取決于樣本觀測值.11設(shè)是總體X的樣本，設(shè)有下述三個統(tǒng)計量：指出中哪幾個是總體均值a=EX的無偏估計量，并指出哪一個方差最?。拷?，所以無偏，方差最小.12設(shè)總體，為其樣本，1）求常數(shù)，使為的無偏估計量；2）求常數(shù)，使解1）為的無偏估計量.令得.2）令.13設(shè)是來自總體X的樣本，并且EX=，DX=，是樣本均值和樣本方差，試確定常數(shù)，使是的無偏估計量.解所以.14設(shè)有二元總體，為其樣本，證明：是協(xié)方差證明的無偏估計量.由于所以：，證畢.15設(shè)總體，樣本為，是樣本方差，定義，，試比較估計量,,哪一個是參數(shù)的無偏估計量？哪一個對的均方誤差最??？解1）所以是的無偏估計2）所以，可以看出最小.16設(shè)總體，為樣本，試證：與都是參數(shù)的無偏估計量，問哪一個較有效？解所以比較有效.是的兩個獨立的無偏估計量，并且17設(shè)，的方差是的方差的兩倍.試確定常數(shù)c1,c2，使得為的線性最小方差無偏估計量.解：設(shè)當(dāng)，上式達到最小，此時.18.設(shè)樣本來自于總體X，且(泊松分布)，求，并求C-R不等式下界，證明估計量是參數(shù)的有效估計量.解所以其C-R方差下界為所以是參數(shù)有效估計量.19設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，對可估計函數(shù)，求的有效估計量，并確定R-C下界.解因為似然函數(shù)所以取統(tǒng)計量得令=，所以是無偏估計量由定理2.3.2知T是有效估計量，由所以C-R方差下界為.20設(shè)總體X服從幾何分布：，對可估計函數(shù)，則1）求2）求的有效估計量；；3）驗證的相合性.解1）因為似然函數(shù)所以取統(tǒng)計量又因為.所以是的無偏估計量，取，由定理2.3.2得到，是有效估計量2）所以是相合估計量.21設(shè)總體X具有如下密度函數(shù)，是來自于總體X的樣本，是否存在可估計函數(shù)，請具體找出，若不存在，請說明為什么.以及與之對應(yīng)的有效估計量？如果存在和解因為似然函數(shù)所以令所以計量是的無偏估計量，取，由定理2.3.2得到，是有效估所以：是有效估計量.22設(shè)是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：1）求參數(shù)的極大似然估計量；2）試問極大似然估計是否是有效估計量？如果是，請求它的方差3）試問是否是相合估計量？和信息量；解1）得到最大似然估計量2）所以所以是無偏估計量，，由定理2.3.2得到是有效估計量信息量3）所以，T也是相合估計量.23設(shè)樣本來自總體，并且的區(qū)間估計為，問以多大的概率推斷參數(shù)取值于此區(qū)間.解設(shè)以概率的置信度為所以推斷參數(shù)取值于的置信區(qū)間為，在已知方差為1條件下，推斷參數(shù)，，得到即以概率推斷參數(shù)取值于.24從一批螺釘中隨機地取16枚，測得其長度(單位：cm)為：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設(shè)釘長分布為正態(tài)，在如下兩種情況下，試求總體均值的90%置信區(qū)間，1）若已知=0.01cm；解因為2）若未知；1）計算所以置信區(qū)間為2）計算所以置信區(qū)間為.25測量鋁的密度16次，測得試求鋁的比重的0.95的置信區(qū)間(假設(shè)鋁的比重服從正態(tài)分布).解這是正態(tài)分布下，方差未知，對于均值的區(qū)間估計：因為計算所以置信區(qū)間為.26在方差已知的正態(tài)總體下，問抽取容量n為多大的樣本，才能使總體均值的置信度為信區(qū)間長度不大于l？的置解均值的置信度為的置信區(qū)間為要使即.27從正態(tài)總體中抽取容量為n的樣本，如果要求其樣本均值位于區(qū)間(1.4,5.4)內(nèi)的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應(yīng)取多大？解，所以.28假設(shè)0.5,1.25,0.8,2.0是總體X的簡單隨機樣本值.已知1）求參數(shù)a的置信度為0.95的置信區(qū)間；2）求EX的置信度為0.95的置信區(qū)間..解1）服從正態(tài)分布，按照正態(tài)分布均值的區(qū)間估計，其置信區(qū)間為，由題意，從總體X中抽取的四個樣本為：其中，，代入公式，得到置信區(qū)間為2），由1）知道的置信區(qū)間為，所以置信區(qū)間為.29隨機地從A批導(dǎo)線中抽取4根，并從B批導(dǎo)線中抽取5根，測得其電阻()為：A批導(dǎo)線：0.143，0.142，0.143，0.137B批導(dǎo)線：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設(shè)測試數(shù)據(jù)分別服從和，并且它們相互獨立，又均未知，求參數(shù)的置信度為95%的置信區(qū)間.解由題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計：置信區(qū)間為計算得所以.30有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定值的方差依次為0.5419和0.6065，設(shè)的置信度為95%的置信區(qū)間.與分別為A、B所測量數(shù)據(jù)的總體的方差(正態(tài)總體)，求方差比/解由題意，這是兩正太總體方差比的區(qū)間估計：置信區(qū)間為計算得所以置信為.31隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=11(m/s)，設(shè)炮口速度服從