一道數(shù)學試題的背景、構思及解法探討——關于廣東高考數(shù)學中“幾何證明選講”的命題思想解讀湛江師范學院附屬中學王曉湛江市2011年普通高考測試（二）數(shù)學試卷中，幾何證明選講題是文理同題.該題實際上是源自于2007年湛江市第一次模擬測試理科數(shù)學選做題.時隔四年，再次出現(xiàn)在同類試卷上.由于該題相對靈活，解題思路多樣，引起了不少師生的關注.筆者作為該題的設計者，對試題的命題思路和作用及其社會效應等曾進行過多方面的思考，尤其是想透過試題來理解廣東高考數(shù)學選作題的命題方向，從而更好地解讀新課程高考考綱的基本思想和要求，以及給中學教學和備考帶來有效信息及必要的引導.同時，筆者作為一線教師，在給學生講評試卷時，發(fā)現(xiàn)學生對該題有多種不同解法，其中不少方法是命題時沒想到的.本文在此結合試題的命制過程加以整理和闡述，希望能給高考一線的師生提供參考.一、試題的背景與構思設計1．命題的背景和要求2007年廣東省進入高中新課程的第一屆高考，根據(jù)當時的考綱要求，文理數(shù)學選修系列4中的考查內(nèi)容為選修4－1和選修4－4中二選一.其時為了照顧選修不同內(nèi)容的考生以及體現(xiàn)公平公正的原則，高考命題規(guī)定在這兩個專題內(nèi)容上是各出一道題，由考生選擇其中之一解答，而且這兩道題都是以填空題的形式出現(xiàn)，這就是廣東省高考中的選做題.而作為幾何證明選講內(nèi)容的選作題來說，除了考查的知識點必須是考綱指定的內(nèi)容之外，如何以填空題的形式來考查考生的幾何證明思想和邏輯推理能力，這是命題者所面臨的課題.從近幾年的廣東省高考試題來看，其考查的范圍基本上是局限于平面幾何部分，尤其是以三角形和圓為主要考查對象.在試題的設計上，大多是以求值為問題的結論，考生解答時，必須通過一定的推理論證才會有正確答案.這樣便較好地體現(xiàn)了“幾何證明”的考查目標和功能.2．模擬試題的構思和設計根據(jù)以上背景并結合筆者所在地區(qū)的實際情況（本地區(qū)各學校的課程計劃中基本上不開設《幾何證明選講》課程），2007年的高考考生大多數(shù)在初中階段已經(jīng)有較扎實的平面幾何基礎，因此選作幾何證明選講試題的考生仍然占有相當大的比例，所以命制好這道題對本地區(qū)的高考備考和復習指導具有重要的導向作用.當時筆者在接到命題任務后，深感責任重大.按照命題組的要求，要出好一道既符合考生實際，難度適中，又要有一定的區(qū)分度與新意的原創(chuàng)題，實在不容易.為此，筆者結合教材反復研讀考綱和課標，不斷尋找相關素材.其中一個基本思路就是從平面幾何的一些重要定理中挖掘命題信息.于是便想到了Menelaus定理，即BADCEF定理：如圖，在△BADCEFAC、AB、BC所在直線上，若D、E、F三點共線，則有.（證明略）由于教科書和考綱中都沒有出現(xiàn)Menelaus定理，因此考慮只要將此定理的條件作適當?shù)母脑?，便可成為一道較理想的試題.于是筆者對該定理的條件作了如下調(diào)整：首先進行特殊化處理，如上圖，設AD＝AC，AE＝BE，為了不留痕跡，在原圖中連結BD，然后將A、D兩個頂點的字母對調(diào)，從而構造了一個新的三角形ABC，這樣一道試題便脫穎而出：BADCEF題目：如圖1，在△ABC中，D是ACBADCEFAE交干BC于F，則．二、試題的多種解法與探討圖1基于以上命題思路，本題可以直接由Menelaus定理得出圖1結論（詳見解法一）.下面僅從“幾何證明選講”的考查目標出發(fā)，提出幾種常見的解法如下：BADCEF解法一：（利用BADCEF∵，，∴.圖2解法二：（利用面積比）如圖2，連結FD，則圖2BADCEF，BADCEF∴.BADCEBADCEFG圖3∵，∴.解法四：如圖4，取FC的中點G，連結GD，則GD∥FA，圖4且，從而EF∥DG，；圖4BADCEFH∴BG＝2BF.∴BF＝FG＝BADCEFH解法五：如圖5，過D作DH∥CF，DH與AF交于H，則有HD∥FC，且，從而BF∥HD，又BE＝ED，∴△BFE≌△DHE，圖5∴，故.圖5BABADCEFMN△BNE≌△DME，∴，又△BNF∽△CEF，故.圖6圖6誠