..1-9已知隨機變量X的分布函數(shù)為求：①系數(shù)k；②X落在區(qū)間內(nèi)的概率；③隨機變量X的概率密度。解：第①問利用右連續(xù)的性質(zhì)k＝1第②問第③問1-10已知隨機變量X的概率密度為〔拉普拉斯分布,求：①系數(shù)k②X落在區(qū)間內(nèi)的概率③隨機變量X的分布函數(shù)解：第①問第②問隨機變量X落在區(qū)間的概率就是曲線下的曲邊梯形的面積。第③問1-11某繁忙的汽車站,每天有大量的汽車進出。設(shè)每輛汽車在一天內(nèi)出事故的概率為0.0001,若每天有1000輛汽車進出汽車站,問汽車站出事故的次數(shù)不小于2的概率是多少？汽車站出事故的次數(shù)不小于2的概率答案1-12已知隨機變量的概率密度為求：①系數(shù)k？②的分布函數(shù)？③？第③問方法一：聯(lián)合分布函數(shù)性質(zhì)：若任意四個實數(shù),滿足,則方法二：利用1-13已知隨機變量的概率密度為①求條件概率密度和？②判斷X和Y是否獨立？給出理由。先求邊緣概率密度、注意上下限的選取1-14已知離散型隨機變量X的分布律為3670.20.10.7求：①X的分布函數(shù)②隨機變量的分布律1-15已知隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求：①隨機變量的概率密度？②隨機變量的概率密度？分析:①②答案:1-16已知隨機變量和相互獨立,概率密度分別為 , 求隨機變量的概率密度？解：設(shè)求反函數(shù),求雅克比J＝－11-17已知隨機變量的聯(lián)合分布律為求：①邊緣分布律和？②條件分布律和？分析：泊松分布P19〔1－48解：①②即X、Y相互獨立1-18已知隨機變量相互獨立,概率密度分別為。又隨機變量證明：隨機變量的聯(lián)合概率密度為因為|J|＝1,故已知隨機變量相互獨立,概率密度分別為1-19已知隨機變量X服從拉普拉斯分布,其概率密度為求其數(shù)學(xué)期望與方差？解:1-20已知隨機變量X可能取值為,且每個值出現(xiàn)的概率均為。求：①隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差？②隨機變量的概率密度？③Y的數(shù)學(xué)期望和方差？①③答案:②Y3122748P1/51/51/52/5離散型隨機變量的概率密度表達(dá)式P12,1-25式其中為沖激函數(shù)1-22已知兩個隨機變量的數(shù)學(xué)期望為,方差為,相關(guān)系數(shù)?，F(xiàn)定義新隨機變量為求的期望,方差以及它們的相關(guān)系數(shù)？0.131-23已知隨機變量滿足,皆為常數(shù)。證明：①；②；③當(dāng)且時,隨機變量正交。①②③1-25已知隨機變量相互獨立,分別服從參數(shù)為和的泊松分布。①求隨機變量X的數(shù)學(xué)期望和方差？②證明服從參數(shù)為的泊松分布。解：①泊松分布特征函數(shù)的定義由<1-17題用過>可得②根據(jù)特征函數(shù)的性質(zhì),XY相互獨立,表明Z服從參數(shù)為的泊松分布1-26已知隨機變量的聯(lián)合特征函數(shù)為求：①隨機變量X的特征函數(shù)②隨機變量Y的期望和方差解：①②1-28已知兩個獨立的隨機變量的特征函數(shù)分別是和,求隨機變量特征函數(shù)？解：特征函數(shù)的性質(zhì)：相互獨立隨機變量和的特征函數(shù)等于它們特征函數(shù)之積X、Y獨立,因此有和獨立獨立的等價條件〔充分必要條件①②③1-29已知二維高斯變量中,高斯變量的期望分別為,方差分別為,相關(guān)系數(shù)為。令寫出二維高斯變量的概率密度和特征函數(shù)的矩陣形式,并展開；證明相互獨立,皆服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。解：,,系數(shù)矩陣,線性變換,故也服從高斯分布,故不相關(guān),高斯變量不相關(guān)和獨立等價,獨立1-30已知二維高斯變量的兩個分量相互獨立,期望皆為0,方差皆為。令其中為常數(shù)。①證明：服從二維高斯分布；②求的均值和協(xié)方差矩陣；③證明：相互獨立的條件為。復(fù)習(xí)：n維高斯變量的性質(zhì)1.高斯變量的互不相關(guān)與獨立是等價的2.高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布。3.高斯變量的邊緣分布仍服從高斯分布解：①②③相互獨立、二維高斯矢量因此互不相關(guān)只要證為對角證即1-31已知三維高斯隨機矢量均值為常矢量,方差陣為證明：相互獨立。復(fù)習(xí)：n維高斯變量的性質(zhì)1.高斯變量的互不相關(guān)與獨立是等價的2.高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布。3.高斯變量的邊緣分布仍服從高斯分布思路：設(shè)隨機矢量由性質(zhì)可得為三維高斯變量,求得方差陣為對角陣1-32已知三維高斯隨機變量各分量相互獨立,皆服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求和的聯(lián)合特征函數(shù)？思路：是線性變換故也服從高斯分布,求得就可以寫出聯(lián)合特征函數(shù),線性變換,故也服從高斯分布N維高斯變量的聯(lián)合特征函數(shù)2、已知隨機變量<X,Y>的聯(lián)合概率密度為<1>條件概率密度<2>X和Y是否獨立？給出理由。解題思路：解：<1><2>X和Y不相互獨立4、已知<X1,X2,X3>是三維高斯變量,其期望和方差為求：<1><X1,X2>的邊緣特征函數(shù)。<2><Y1,Y2>的聯(lián)合概率密度高斯變量的線性變換后仍服從高斯分布所以<X1,X2>、服從高斯分布<1><2>2-1已知隨機過程,其中為常數(shù),隨機變量服從標(biāo)準(zhǔn)高斯分布。求三個時刻的一維概率密度？解：<離散型隨機變量分布律>2-2如圖2.23所示,已知隨機過程僅由四條樣本函數(shù)組成,出現(xiàn)的概率為。圖2.23習(xí)題2-2在和兩個時刻的分布律如下：1 2 6 35 4 2 11/8 1/4 3/8 1/4求？ 2－232-4已知隨機過程,其中皆為隨機變量。①求隨機過程的期望和自相關(guān)函數(shù)？②若已知隨機變量相互獨立,它們的概率密度分別為和,求的一維概率密度第②問方法一：用雅克比做〔求隨機變量函數(shù)的分布步驟：t時刻,為兩個隨機變量的函數(shù)①設(shè)二維的隨機矢量②求反函數(shù)③求雅克比行列式J,得到|J|④利用公式⑤由聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度⑥t為變量,則得到方法二：用特征函數(shù)定義和性質(zhì)〔獨立變量和的特征函數(shù)等于各特征函數(shù)的乘積做〔特征函數(shù)和概率密度一一對應(yīng)2-5已知為平穩(wěn)過程,隨機變量。判斷隨機過程的平穩(wěn)性？隨機過程非平穩(wěn)2-6已知隨機過程,其中隨機過程寬平穩(wěn),表示幅度；角頻率為常數(shù)；隨機相位服從的均勻分布,且與過程相互獨立。①求隨機過程的期望和自相關(guān)函數(shù)？②判斷隨機過程是否寬平穩(wěn)？①與過程相互獨立2-8已知平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為,求過程的均方值和方差？2-10已知過程和,其中隨機變量獨立,均值都為0,方差都為5。①證明和各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)；②求兩個過程的互相關(guān)函數(shù)？①2-11已知過程和各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn),且。①求的自相關(guān)函數(shù)？②若和獨立,求？③若和獨立且均值均為0,求第①問兩個聯(lián)合平穩(wěn)的過程的互相關(guān)函數(shù)第②問兩平穩(wěn)過程獨立第③問和獨立且均值均為02-12已知兩個相互獨立的平穩(wěn)過程和的自相關(guān)函數(shù)為令隨機過程,其中是均值為2,方差為9的隨機變量,且與和相互獨立。求過程的均值、方差和自相關(guān)函數(shù)？隨機變量A,與和相互獨立可以證明過程平穩(wěn)2-14已知復(fù)隨機過程式中為n個實隨機變量,為n個實數(shù)。求當(dāng)滿足什么條件時,復(fù)平穩(wěn)？復(fù)過程復(fù)平穩(wěn)條件①②2-16已知平穩(wěn)過程的均方可導(dǎo),。證明的互相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)分別為若為寬平穩(wěn)〔實過程,則也是寬平穩(wěn)〔實過程,且與聯(lián)合寬平穩(wěn)。2-17已知隨機過程的數(shù)學(xué)期望,求隨機過程的期望？2-18已知平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)。求：①其導(dǎo)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)和方差？②和的方差比？不含周期分量補充題：若某個噪聲電壓是一個各態(tài)歷經(jīng)過程,它的一個樣本函數(shù)為,求該噪聲的直流分量、交流平均功率解：直流分量、交流平均功率各態(tài)歷經(jīng)過程可以用它的任一個樣本函數(shù)的時間平均來代替整個過程的統(tǒng)計平均再利用平穩(wěn)過程自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)方法二：2-19已知隨機過程,其中是均值和方差皆為1的隨機變量。令隨機過程求的均值、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和方差？解：1． 求均值,利用隨機過程的積分運算與數(shù)學(xué)期望運算的次序可以互換2.求自相關(guān)函數(shù)3.求互協(xié)方差函數(shù)4.求方差2-20已知平穩(wěn)高斯過程的自相關(guān)函數(shù)為①②求當(dāng)固定時,過程的四個狀態(tài)的協(xié)方差矩陣？分析：高斯過程四個狀態(tài)的解：①②2-21已知平穩(wěn)高斯過程的均值為0,令隨機過程。證明2-22已知隨機過程,其中隨機相位服從上的均勻分布；可能為常數(shù),也可能為隨機變量,且若為隨機變量時,和隨機變量相互獨立。當(dāng)具備什么條件時,過程各態(tài)歷經(jīng)？分析：隨機過程各態(tài)歷經(jīng)要求為平穩(wěn)過程且解：①A為常數(shù)時為平穩(wěn)過程A為隨機變量時和隨機變量相互獨立為平穩(wěn)過程②③、隨機過程X<t>=A+cos<t+B>,其中A是均值為2,方差為1的高斯變量,B是〔0,2上均勻分布的隨機變量,且A和B獨立。求〔1證明X<t>是平穩(wěn)過程?！?X<t>是各態(tài)歷經(jīng)過程嗎？給出理由。〔3畫出該隨機過程的一個樣本函數(shù)?！?〔23-1已知平穩(wěn)過程的功率譜密度為,求：=1\*GB3①該過程的平均功率？=2\*GB3②取值在范圍內(nèi)的平均功率？解3-7如圖3.10所示,系統(tǒng)的輸入為平穩(wěn)過程,系統(tǒng)的輸出為。證明：輸出的功率譜密度為3-9已知平穩(wěn)過程和相互獨立,它們的均值至少有一個為零,功率譜密度分別為令新的隨機過程=1\*GB3①證明和聯(lián)合平穩(wěn)；=2\*GB3②求的功率譜密度？=3\*GB3③求和的互譜密度？=4\*GB3④求和的互相關(guān)函數(shù)？⑤求和的互相關(guān)函數(shù)解:3-11已知可微平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)為,其導(dǎo)數(shù)為。求互譜密度和功率譜密度？Ⅰ.平穩(wěn)過程維納－辛欽定理Ⅱ.2-17已知平穩(wěn)過程的均方可導(dǎo),。證明的互相關(guān)函數(shù)和的自相關(guān)函數(shù)分別為Ⅲ.傅立葉變換的微分性質(zhì)3-17已知平穩(wěn)過程的物理功率譜密度為,=1\*GB3①求的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)？畫出的圖形。=2\*GB3②判斷過程是白噪聲還是色噪聲？給出理由白噪聲的定義若平穩(wěn)隨機過程的均值為零,功率譜密度在整個頻率軸上均勻分布,滿足MACROBUTTONMTPlaceRefSEQMTEqn\h<3-SEQMTEqn\c\*Arabic70>其中為正實常數(shù),則稱此過程為白噪聲過程,簡稱白噪聲。4-4設(shè)有限時間積分器的單位沖激響應(yīng)h<t>=U<t>－U<t－0.5>它的輸入是功率譜密度為的白噪聲,試求系統(tǒng)輸出的總平均功率、交流平均功率和輸入輸出互相關(guān)函數(shù)白噪聲白噪聲4-5已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng),其輸入平穩(wěn)信號的自相關(guān)函數(shù)為,求系統(tǒng)輸出的直流功率和輸出信號的自相關(guān)函數(shù)？分析：直流功率＝直流分量的平方解:輸入平穩(wěn)輸出的直流分量輸出的直流功率4-7已知如圖4.21所示的線性系統(tǒng),系統(tǒng)輸入信號是物理譜密度為的白噪聲,求：=1\*GB3①系統(tǒng)的傳遞函數(shù)？=2\*GB3②輸出的均方值？其中4-11已知系統(tǒng)的輸入為單位譜密度的白噪聲,輸出的功率譜密度為求此穩(wěn)定系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)？解：4-12已知系統(tǒng)輸入信號的功率譜密度為設(shè)計一穩(wěn)定的線性系統(tǒng),使得系統(tǒng)的輸出為單位譜密度的白噪聲？解：4-14功率譜密度為的白噪聲作用于的低通網(wǎng)絡(luò)上,等效噪聲帶寬為。若在電阻上的輸出平均功率為。求的值？書P162,解：對于低通情況或者調(diào)用公式圖4.24習(xí)題4-184-18如圖4.24所示的線性系統(tǒng),系統(tǒng)輸入是零均值,物理譜密度為1的白噪聲,且。=1\*GB3①判斷和分別服從什么分布？給出理由。=2\*GB3②證明是嚴(yán)平穩(wěn)過程。=3\*GB3③求和的互相關(guān)函數(shù),的功率譜密度？=4\*GB3④寫出的一維概率密度表達(dá)式？=5\*GB3⑤判斷同一時刻,和是否獨立？給出理由。解：=1\*GB3①是白噪聲〔白噪聲帶寬無限,由定義,線性系統(tǒng),系統(tǒng)傳遞函數(shù),是個低通線性系統(tǒng)〔帶寬有限由4.5節(jié)結(jié)論2若系統(tǒng)輸入信號的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬,則輸出接近于高斯分布可知,為高斯過程。由4.5節(jié)結(jié)論1可知,為高斯過程。和服從高斯分布=2