1、第五章 彈性力學(xué)問(wèn)題的建立和一般原理 5-1 彈性力學(xué)的基本方程及其邊值問(wèn)題 5-2 按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題 5-3 按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問(wèn)題 5-4 彈性力學(xué)問(wèn)題的一般原理 5-5 彈性力學(xué)的簡(jiǎn)單問(wèn)題 5-1 彈性力學(xué)的基本方程及其邊值問(wèn)題 彈塑性力學(xué)的任務(wù)是研究各種具體幾何尺寸的彈性、彈塑性體在各種幾何約束及承受不同外力作用時(shí)，發(fā)生于其內(nèi)部的應(yīng)力分布與變形（或位移）規(guī)律。 彈塑性力學(xué)所求解的大多數(shù)問(wèn)題都是超靜定問(wèn)題，因此其基礎(chǔ)理論的建立來(lái)自三個(gè)方面的客觀規(guī)律： （1）平衡方程； （2）幾何方程； （3）本構(gòu)方程。 1平衡（運(yùn)動(dòng)）微分方程：（51）式中 為單位體積的質(zhì)量。若式（51）不等于零，

2、則表示物體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（如彈性波的傳播問(wèn)題），則根據(jù)達(dá)朗伯原理需增加括號(hào)內(nèi)慣性力一項(xiàng)。 2幾何方程： (52) 幾何方程不涉及材料的變形，對(duì)于任何連續(xù)體，不論是彈性體、彈塑性體都是成立的。3本構(gòu)方程（物理方程）：（1）用應(yīng)力表示應(yīng)變的表達(dá)式為：（54）3本構(gòu)方程（物理方程）：（2）用應(yīng)變表示應(yīng)力的表達(dá)式為：（54）應(yīng)變協(xié)調(diào)方程： 總之，當(dāng)物體發(fā)生變形時(shí)，不論彈性變形或塑性變形問(wèn)題，共有 3 個(gè)平衡微分方程，6 個(gè)幾何方程和 6 個(gè)本構(gòu)方程，共計(jì) 15 個(gè)獨(dú)立方程（統(tǒng)稱泛定方程）。而問(wèn)題共計(jì)有 、 15個(gè)基本未知函數(shù)。 因此，在給定邊界條件時(shí)，問(wèn)題是可以求解的。彈塑性靜力學(xué)的這種問(wèn)題在數(shù)學(xué)

3、上稱為求解邊值問(wèn)題。 任何一個(gè)固體力學(xué)參量在具體受力物體內(nèi)一般都是體內(nèi)各點(diǎn)（x, y, z）的函數(shù)，它們滿足的方程相同。然而由于物體幾何尺寸的不同，載荷大小與分布的不同，必然導(dǎo)致物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力、應(yīng)變與位移的大小和變化規(guī)律是千變?nèi)f化的，也就是說(shuō)，單靠這些方程是不足以解決具體問(wèn)題的。 從力學(xué)觀點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，所有滿足方程的應(yīng)力、應(yīng)變和位移，也應(yīng)該同時(shí)滿足物體（表面）與外界作用的條件，也即應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件； 而從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)上來(lái)說(shuō)，就是要滿足具體問(wèn)題的定解條件，也即邊界條件(或初始條件)。 于是，彈塑性力學(xué)的基本方程組和邊界條件一起構(gòu)成了彈塑性力學(xué)邊值問(wèn)題的提法。4邊界條件：（1）應(yīng)力邊界條件： （

4、55）（2）位移邊界條件： （56（3）混合邊界條件： （55）通常在求解彈塑性靜力學(xué)問(wèn)題時(shí)，已知的條件是： (1) 物體的形狀、尺寸和材料的物性參數(shù)； (2) 物體所受的載荷（包括體力和面力），以及物體的約束條件。根據(jù)具體問(wèn)題邊界條件類型的不同，常把邊值問(wèn)題分為以下三類： 第一類邊值問(wèn)題：給定物體的體力和面力，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)，即所謂邊界應(yīng)力已知的問(wèn)題。 第二類邊值問(wèn)題：給定物體的體力和物體表面各點(diǎn)的位移，求在平衡狀態(tài)下的應(yīng)力場(chǎng)和物體內(nèi)部的位移場(chǎng)，即所謂邊界位移已知的問(wèn)題。 第三類邊值問(wèn)題：在物體表面上，一部分邊界(S)上給定面力，其余部分邊界Su上給定位移(或在一部分邊界上既

5、給定外力又給定位移)的條件下求解上述問(wèn)題，即所謂混合邊值問(wèn)題。在求解彈塑性邊值問(wèn)題時(shí)，有三種不同的解題方法，即： (1) 位移法 即以位移分量作為基本未知量，來(lái)求解邊值問(wèn)題。 此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換成用位移分量來(lái)表示。 通常給定位移邊界條件的邊值問(wèn)題，宜用此法。 (2) 應(yīng)力法 即以應(yīng)力分量作為基本未知量，來(lái)求解邊值問(wèn)題。 此時(shí)將一切未知量和基本方程都轉(zhuǎn)換成用應(yīng)力分量來(lái)表示。 通常當(dāng)給定應(yīng)力邊界條件時(shí)，宜用此法。 (3) 混合法 即以一部分位移分量和一部分應(yīng)力分量作為基本 未知量，來(lái)混合求解邊值問(wèn)題。顯然，這種方法適宜于求 解混合邊值問(wèn)題。（1）逆解法：設(shè)位移或應(yīng)力的函數(shù)式是已知的，

6、然 后代入上述有關(guān)方程中求得應(yīng)變和應(yīng)力或應(yīng)變 和位移，并且要求滿足邊界條件。如果驗(yàn)證能 滿足或近似滿足一切基本方程與邊界條件，就 可把所選取的解作為所要求的解。在彈塑性力學(xué)解題方法中還經(jīng)常采用如下方法: （2）半逆解法：也稱湊合解法。所謂半逆解法就是在 未知量中，先根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)假設(shè)一部分應(yīng)力或 位移為已知，然后在基本方程和邊界條件中，求 解另一部分，這樣便得到了全部未知量。在具體 計(jì)算中對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題經(jīng)常先利用材料力學(xué)中對(duì)同 類型問(wèn)題的初等解作為近似解，建立應(yīng)力（或位 移）函數(shù)再代入彈性力學(xué)的基本方程中逐步修正 得到精確解。 5-2 按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題 為用位移作為基本未知量，必須將泛定方

7、程改用位移 u、v和 w 來(lái)表示。為此，由幾何方程再利用物理關(guān)系可得： 經(jīng)推導(dǎo)可得下列用位移表示的平衡微分方程，也稱拉梅位移方程，其形式為：拉梅位移方程式（5-11）可縮記為：（5-12）用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件為： 按位移求解彈性力學(xué)問(wèn)題歸結(jié)為：在求解問(wèn)題時(shí)，要使所求的位移函數(shù) u、v、w 在物體內(nèi)部滿足拉梅位移方程式，在邊界上滿足邊界條件（5-15）或滿足直接給出的位移邊界條件，再將所求得的位移分量代入幾何方程求出應(yīng)變和代入本構(gòu)方程求出應(yīng)力。 應(yīng)力邊界條件可以用位移分量來(lái)表示，單從這一點(diǎn)上講，按位移求解問(wèn)題是普遍適用的方法。特別是在數(shù)值解中位移解法得到了廣泛的應(yīng)用，例如在有限單元法、差

8、分法等數(shù)值計(jì)算方法中，得到了很好地應(yīng)用。例5-1 設(shè)有半空間體，單位體積的質(zhì)量為 ，在水平邊界面上受均布?jí)毫?q 的作用，試用位移法求各位移分量和應(yīng)力分量，并假設(shè)在 z = h處 z 方向的位移 w = 0，如圖5-1所示。 解 由于載荷和彈性體關(guān)于z軸對(duì)稱，并且是半空間體，可以假設(shè)： 因此體積應(yīng)變?yōu)椋?（1） 而：（2）將式(1)、(2)代入拉梅方程式(5-11)的前兩式后，可得恒等式，而第三式則為：（3） 或：（4）式 (5) 中常數(shù) A、B可由邊界條件確定。在邊界上有：代入式應(yīng)力邊界條件的前兩式得恒等式，第三式為： （6）或：將(4)式積分后得：（5）化簡(jiǎn)后得：（7）（8）由前面所得 w

9、 的表達(dá)式(5)可得： 由上式和條件 ，得：將常數(shù) A 和 B 代入 w 的表達(dá)式 (5) 后，得位移解為：（11）（12）得應(yīng)力解為：5-3 按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問(wèn)題 對(duì)于在物體的邊界上給定了表面力的問(wèn)題，除可以按位移求解外，也可以按應(yīng)力去求解，此時(shí)以六個(gè)應(yīng)力分量作為基本未知量，從基本方程中消去位移和應(yīng)變，得到關(guān)于應(yīng)力的偏微分方程組。 首先，待求的應(yīng)力分量應(yīng)滿足平衡微分方程，僅平衡微分方程還不足以求解應(yīng)力分量，必須建立有關(guān)應(yīng)力的補(bǔ)充方程。 第三章已推導(dǎo)得應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 ： 經(jīng)進(jìn)一步推導(dǎo)可得用應(yīng)力分量表示的六個(gè)變形協(xié)調(diào)方程： 為貝爾特拉米-米歇爾(Beltrami-Michell)方程。 當(dāng)體力為

10、零或?yàn)槌Ａ繒r(shí)，貝爾特拉米-米歇爾(Beltrami-Michell)方程，可簡(jiǎn)化為： 按應(yīng)力求解彈性力學(xué)問(wèn)題就歸結(jié)為：所求的應(yīng)力分量應(yīng)滿足平衡微分方程(5-2)和變形協(xié)調(diào)方程(5-16)，應(yīng)力分量在邊界上應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件式(5-8)。 在求得應(yīng)力分量后，通過(guò)彈性本構(gòu)方程求得應(yīng)變分量，再根據(jù)幾何方程求出位移。 例5-2 當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，若應(yīng)力分量為： 驗(yàn)證此組應(yīng)力分量能否作為彈性力學(xué)問(wèn)題的可能解。解: 一組應(yīng)力分量能否作為彈性力學(xué)問(wèn)題的可能解，需驗(yàn)證它是 否滿足平衡微分方程和用應(yīng)力表示的變形諧調(diào)方程。 現(xiàn)將給定的應(yīng)力分量代入下式，各式均能滿足。再將給定的應(yīng)力分量代入平衡微分方程，前兩式恒等地滿足

11、，而第三式成為：故此組應(yīng)力分量不能作為彈性力學(xué)問(wèn)題的可能解。例5-3 長(zhǎng)度為l 的等直桿件，其截面為2b2h，桿端受彎矩M的作用，不計(jì)體力，如圖5-2所示。試求應(yīng)力分量。解: 用半逆解法。建立如 圖所示坐標(biāo)系，據(jù)材料 力學(xué)中關(guān)于梁純彎曲時(shí)應(yīng)力的分析，可設(shè)梁內(nèi)任一點(diǎn)處應(yīng)力狀 態(tài)的六個(gè)獨(dú)立應(yīng)力分量除 外，其余均為零，也即： （1） 將式(1)代入平衡微分方程，得：（2）亦即與 x 無(wú)關(guān)，它僅是坐標(biāo) y 和 z 的函數(shù)。再將式(1)代入變形協(xié)調(diào)條件式(5-17)得： 得： （3）將式(4)代入式(3)第三式，得：（5）由式(3)第一式得：（4）將式 (4) 再代入式 (3) 第二式，得：（6） 因此

12、，式(4)可寫成： （7）式(7)中 c1, c2, c3 為待定常數(shù)，由問(wèn)題的邊界條件來(lái)確定。 若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在橫截面的形心上，并設(shè)oxz平面為彎矩M作用平面，則在平行于Oyz 的平面上，梁自由端處局部邊界上應(yīng)滿足的靜力合成積分形式的邊界條件為：（8）將式 （7） 代入式 （8）確定待定常數(shù)，再代入式（8）得該問(wèn)題的應(yīng)力分量為： （9）5-4 疊加原理、圣維南原理疊加原理 描述 作用在物體上的兩組外力(包括表面力和體積力)的總和在物體內(nèi)部所產(chǎn)生的效果(應(yīng)力、應(yīng)變及位移等)，等于此兩組外力分別作用效果的總和。 或者說(shuō)物體受兩組載荷共同作用時(shí)的應(yīng)力或位移場(chǎng)就等于每組載荷單獨(dú)作用時(shí)的應(yīng)力或位移場(chǎng)之

13、和，且與加載順序無(wú)關(guān)。疊加原理Chapter 6.5設(shè)第一組載荷為體力 和面力 ，第二組為體力和面力 ，它們引起的應(yīng)力和位移場(chǎng)分別為 和及 和 ，且僅考慮線彈性小變形情況，則聯(lián)合載載引起的應(yīng)力和位移場(chǎng)為具體闡述為：疊加原理Chapter 6.5下面以應(yīng)力解法為基礎(chǔ)證明疊加原理的正確性：將疊加后的載荷代入應(yīng)力解法各個(gè)方程后有： 代入平衡方程 應(yīng)力協(xié)調(diào)方程 力邊界條件疊加原理Chapter 6.5由于上述各式是線性微分方程或是代數(shù)方程，根據(jù)線性方程的性質(zhì)將上述各式改寫成：由前提假設(shè)， 和 分別是載荷 和單獨(dú)作用時(shí)的解，根據(jù)它們滿足的平衡方程，B-M方程和力邊界條件可直接判斷上述各式的等號(hào)是成立的。

14、因而證明了疊加后的應(yīng)力場(chǎng)能滿足應(yīng)力解法的全部方程和邊界條件，由此疊加原理得證。同理可以類似證明位移疊加原理的正確性。疊加原理Chapter 6.5疊加原理小結(jié) 疊加原理用于位移邊界條件時(shí)要求總位移滿足給定的邊界條件，而 和 單獨(dú)不一定要滿足位移邊界條件。 對(duì)于大變形情況，幾何方程將出現(xiàn)非線性項(xiàng)，平衡方程也受到變形的影響，因?yàn)榀B加原理不再適用。例如：同時(shí)受軸向和橫向力的梁的縱橫彎曲問(wèn)題，薄壁構(gòu)件的彈性穩(wěn)定性問(wèn)題，板殼結(jié)構(gòu)的大撓度問(wèn)題。疊加原理Chapter 6.5 對(duì)于非線性彈性材料或彈塑性材料，本構(gòu)方程是非線性的；對(duì)于載荷隨變形而變化的非保守力系情況或邊界用非線性彈簧支撐的約束情況，邊界條件是

15、非線性的；疊加原理對(duì)這些情況都將失效。解的唯一性定理Chapter 6.6 無(wú)初應(yīng)力的線彈性問(wèn)題的解是唯一的 給“試湊”解法提供了理論基礎(chǔ)解的唯一性定理Chapter 6.6下面給出定理的證明（反證法）：先假設(shè)存在兩種不同的解，它們的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng) 及 都滿足基本微分方程和給定邊界條件。然后證明，對(duì)線性彈性問(wèn)題兩解之差必為零，因而只能有唯一解。解的唯一性定理Chapter 6.6 由前提假設(shè)， 及 是同一物體在同一載荷 及相同邊界條件下的兩個(gè)解，它們都滿足平衡方程 力邊界條件 位移邊界條件(在V內(nèi)) (在S上) (在Su上)解的唯一性定理Chapter 6.6 把以上左右兩式對(duì)應(yīng)相減，由疊加原

16、理可知，兩解之差 必然滿足無(wú)體力平衡方程 和齊次邊界條件解的唯一性定理Chapter 6.6將(1)式兩邊乘ui，對(duì)體積V積分，并利用高斯公式得 其中第一項(xiàng)面積分的積分域?yàn)镾= S+Su,根據(jù)(2)和(3)式，被積函數(shù)在邊界上總有一個(gè)因子ui或ijj為零，所以第一項(xiàng)等于零。再利用ij的對(duì)稱性和線彈性應(yīng)變能公式，上式可化為解的唯一性定理Chapter 6.6 對(duì)于線彈性問(wèn)題應(yīng)變能處處正定，故上式要求W=0，即兩解之差是ij0和ij0的無(wú)變形狀態(tài)，因而 于是證明了應(yīng)力場(chǎng)和應(yīng)變場(chǎng)的解是唯一的。 解的唯一性定理小結(jié)一般說(shuō)，位移場(chǎng) 和 之間還可能差一個(gè)剛體位移，但是絕大多數(shù)彈性力學(xué)問(wèn)題都給定足以限制剛體

17、運(yùn)動(dòng)的位移約束條件，因而位移場(chǎng)的解也是唯一的。 以上證明的前提是疊加原理、應(yīng)變能正定性和應(yīng)力張量對(duì)稱性。線彈性理論能自動(dòng)滿足這些條件，因?yàn)榫€彈性問(wèn)題的解是唯一的。 無(wú)論用什么方法求得的解，只要能滿足全部基本方程和邊界條件，就一定是問(wèn)題的真解。解的唯一性定理Chapter 6.6 不滿足唯一性定理的情況 (1) 材料非線性 (2) 幾何非線性 (3) 載荷與變形耦合問(wèn)題（邊界條件非線性） (4) 有初應(yīng)力的情況圣維南原理Chapter 6.7 靜力等效原理 若把作用在物體局部表面上的外力，用另一組與它靜力等效（合力與合力矩與它相等）的力系來(lái)代替，則這種等效處理對(duì)物體內(nèi)部應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)的影響將隨遠(yuǎn)離該局部作用區(qū)的距離增加而迅速衰減。 沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，僅為事實(shí)所驗(yàn)證圣維南原理Chapter 6.7 局部影響原理 由作用在物體局部表面上的自平衡力系（合力與合力矩為零）所引起的應(yīng)力和應(yīng)變，在遠(yuǎn)離作用區(qū)（距離遠(yuǎn)大于該局部作用區(qū)的線性尺寸）的地方將衰減到可以忽略不計(jì)的程度。 應(yīng)當(dāng)指出： 所謂“靜力等效”，就是有相同的主矢和主矩。 所謂“局部表面”，系指該表面的面積