1、南京理工大學(xué)課程考核論文課程名稱：高等數(shù)值分析論文題 目： 基于 matlab 的函數(shù)插值方法性能比較姓名：xxx學(xué)號：xxxxxxxxxx成績：任課教師評語:簽名:2016年5月5日摘要函數(shù)插值是指已知某函數(shù)的在若干離散點上的函數(shù)值或者導(dǎo)數(shù)信息，通過求解該函數(shù)中待定形式的插值函數(shù)以及待定系數(shù)，使得該函數(shù)在給定離散點上滿足約束。本文首先介紹了五種插值方法：線性插值、lagrange插值、newdun插值、三次樣條插值和三次B樣條插值，并從五種插值法的基本思想和具體實例仿真入手，探討了五種插值 法的優(yōu)缺點。通過對五種插值法的對比研究及實際應(yīng)用的總結(jié)，從而使我們在以后的應(yīng)用中能夠更好、更快的解決問

2、題 。關(guān)鍵字插值法對比matlab目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 摘要2. HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 0引言4. HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 1插值問題的提出、發(fā)展史及簡單應(yīng)用 4 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 插值問題的提出4. HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 插值法的發(fā)展史4. HYPERL

3、INK l bookmark18 o Current Document 插值法的簡單應(yīng)用 4. HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 2五種插值法的定義5. HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 線性插值法5. HYPERLINK l bookmark20 o Current Document Lagrange 插值法 5. HYPERLINK l bookmark30 o Current Document Newton 插值法6. HYPERLINK l bookmark32 o Current Docu

4、ment 三次樣條插值法6. HYPERLINK l bookmark36 o Current Document B樣條插值6. HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 五種插值法的 matlab仿真實現(xiàn) .8. HYPERLINK l bookmark45 o Current Document 五種插值方法性能對比 1.1 HYPERLINK l bookmark47 o Current Document 結(jié)束語12 HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 參考文獻120引言近半世紀由于計算機的廣泛使用和

5、造船、航空、精密機械加工等世紀問題的需要，使插值法在理論上和實踐上得到進一步發(fā)展，尤其是20世紀40年代后期發(fā)展起來的樣條插值等，更獲得廣泛應(yīng)用，稱為計算機圖形學(xué)的基礎(chǔ)。插值是指已知某函數(shù)的在若干離散點上的函數(shù)值或者導(dǎo)數(shù)信息，通過求解該函數(shù)中待定形式的插值函數(shù)以及待定系數(shù)， 使得該函數(shù)在給定離散點上滿足約束。 插值函數(shù)又叫作基函 數(shù)，如果該基函數(shù)定義在整個定義域上，叫作全域基，否則叫作分域基。1插值問題的提出、發(fā)展史及簡單應(yīng)用插值問題的提出許多實際問題都用函數(shù)來表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系，其中相當(dāng)一部分函數(shù)是通過實驗或觀測得到的。雖然 f(x應(yīng)某個區(qū)間la,b】上是存在的，有的還是連續(xù)的，但卻

6、只能給出 b,b】上一系列點Xj的函數(shù)值y = f(x (i =0,1,2這只是一張函數(shù)表.有的函數(shù)雖有解析 表達式，但由于計算復(fù)雜，使用不方便，通常也造一個函數(shù)表，如大家熟悉的三角函數(shù)表、對數(shù)表、平方根和立方根表 .為了研究函數(shù)的變化規(guī)律，往往需要求出不在表中的函數(shù)值.因此，我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個既能反映函數(shù)f(x)的特性，又便于計算簡單函數(shù)p(x ),用p(x M似f(x )。通常選一類較簡單的函數(shù)(如代數(shù)多項式或分段代數(shù)多項式) 作為f(x ),并使p(x )= f (xi對(i =0,1,2)成立.這樣確定的p(x)就是我們希望得到的 插值函數(shù)。插值法的發(fā)展史插值法是一種古老的

7、數(shù)學(xué)方法，它來自生產(chǎn)實踐.早在一千多年前的隋唐時期制定歷法時就應(yīng)用了二次插值，隋唐劉焯將等距點二次插值應(yīng)用于天文計算.但插值理論都是在17世紀微積分產(chǎn)生以后才逐漸發(fā)展的，牛頓的等距節(jié)點插值公式及均差插值公式都是當(dāng)時的重要成果。插值法的簡單應(yīng)用在現(xiàn)代機械工業(yè)中用計算機程序控制加工機械零件，根據(jù)設(shè)計可給出零件外形曲線的某些型值點僅1=% li =0,1,2,n ),加工時為控制每步走刀方向及步數(shù)，就要算出零件外形曲線 其他店的函數(shù)值，才能加工出外表光滑的零件。2五種插值法的定義本章比較了五種插值方法，首先介紹了各種插值法的定義。2.1線性插值法線性插值法是指使用連接兩個已知量的直線來確定在這兩個已

8、知量之間的一個未知量的值的方法。假設(shè)我們已知坐標 根據(jù)圖中所示，我們得到(x0,y2五種插值法的定義本章比較了五種插值方法，首先介紹了各種插值法的定義。2.1線性插值法線性插值法是指使用連接兩個已知量的直線來確定在這兩個已知量之間的一個未知量的值的方法。假設(shè)我們已知坐標 根據(jù)圖中所示，我們得到(x0,y0)與(xi,yi),要得到x0,xi區(qū)間內(nèi)某一位置x在直線上的值。則直線上，兩點間的任意一點y- yox- xoa =yi - yo xi - xox對應(yīng)的y值可以求出：y = i - a yo + a yi-(2i)-(22)這樣通過a就可以直接得到V。Lagrange 插值法Lagrang

9、e插值法是在節(jié)點上給出節(jié)點基函數(shù)，然后做基函數(shù)的線性組合，組合系數(shù)為節(jié)點函數(shù)值，這種插值多項式稱為拉格朗日插值公式。下面討論n+i個節(jié)點x0 cxixn的n次插值多項式Ln(x)，假定它滿足條件Ln xj = yjj =0,i, ,n (2 - 3)為了構(gòu)造Ln(x ),先定義n次插值基函數(shù).定義：若n次多項式lj(x)(j =0,i，n n+i個節(jié)點x0 xixn上滿足條件ik = i .lj(xk)=，(j,k = 0,i，n、2 - 4)0,krj就稱這n+i個n次多項式lo(x)li(x)，ln(x)為節(jié)點xo,xi，xn上的n次插值基函數(shù).推導(dǎo)可得n次插值基函數(shù)為lk(x)= (x-

10、x0 -(x-XkJx-Xkdx - Xn)(k = 0,i，,n). (2- 5)xk-xoxk-x-xk-xki xk-xn滿足上式的插值多項式可表示nLn x =、ydk x (2- 6)k=0n由 lk(x 2定義知 Ln(Xj)=Z y&(Xj)=yj(j=0,1，n).k=0形如(2 - 6)式的插值多項式 Ln(x)稱為Lagrange插值多項式。Newton插值法利用插值基函數(shù)很容易得到拉格朗日插值多項式，公式結(jié)構(gòu)緊湊，在理論分析中甚為方便，但當(dāng)插值節(jié)點增減時全部插值基函數(shù)均要隨之變化，整個公式也將發(fā)生變化，這在實際計算中是很不方便的，為了克服這一缺點，提出了牛頓插值。牛頓插值

11、通過求各階差商，遞推得到的一個公式：fn X = f X0 + f X0,X1 X - x0 + fx0,x1,x2 X - X0 X- X1 + ?+ fX0,Xn X- X0 X - Xn- 1-(2)我們稱fn x為牛頓Newton插值多項式。E x = f x - N n x = f Lxo , x1x n | . x - x j , x 三 a, b I (2 - 8)為插值余項.三次樣條插值法設(shè)在區(qū)間Nb】上取n+1個節(jié)點a = x0 : x1 : xn = b給定這些點函數(shù)值 yi = f (xi )若函數(shù)Sx瞞足條件：S(X )=yi,i =0,1,2,n;在每個區(qū)間 及，xi

12、由( =0,1,2,，n )上是3次多項式；S Xi )三C2 a,b 1;取下列邊界條件之一：(i )第一邊界條件：S(X0)= f&0)S(Xn)= f M )；(ii )第二邊界條件：S(X0)= f&0)S (Xn)= f 8 )或 S(X0)= S (Xn)= 0 ；(iii)周期邊界條件：Sk X0 =Sk Xn ,k =1,2,稱S僅為3次樣條插值函數(shù)。B樣條插值B樣條基函數(shù)的定義：給定參數(shù)u軸上的一個分割U =Ui(Ui Ui書),(i =0,1,2，m),由下列遞推關(guān)系定義的Ni,p(u)稱為U的p次(p+1階)B樣條基函數(shù)。1,ui u ui 1Ni3 0,U-Uiu i

13、_n 1 _ uNi,p(u) = -Ni,p_i(u)p-Ni i,p i(u)(2- 10)ui 1 - uiui-p 1 - ui 1規(guī)定0 =00其中，p表示B樣條的次數(shù)(即為p+1階)，ui為節(jié)點，U為節(jié)點矢量。B樣條曲線的定義：設(shè)Po, p1,Pn為給定空間的n+1個控制頂點，U=“0,5,Um是m+1個節(jié)點矢量，稱下列參數(shù)曲線nC (u) - pi Ni,p(u) a u b(2 - 11) i =0為p次的B樣條曲線，折線 p0 , R,.,以為B樣條曲線的控制多邊形。其中次數(shù)p,控制頂點個數(shù)n+1,節(jié)點個數(shù)m+1具有如下關(guān)系：m=n+p+1取n=3,則有三次B樣條曲線的基函數(shù)

14、如下:三次B樣條曲線段P0,3取n=3,則有三次B樣條曲線的基函數(shù)如下:三次B樣條曲線段P0,3(t)為:(2 - 12)13)3五種插值法的matlab仿真實現(xiàn)程序簡介：將五種插值法寫在同一個程序中，并將結(jié)果顯示在同一個 figure中，可以更好的對比每一種插值法的性能。最后將五種插值法結(jié)果顯示在同一個分圖中，進行插值性能比較。程序中插值原函數(shù)：y = x2 ?sin x ,線性插值調(diào)用linear函數(shù)，三次樣條插值調(diào)用spline函數(shù)，三次 B樣條調(diào)用spapi函數(shù)。%-程序包括五種插值方法：線性插值、三次樣條插值、三次 B樣條插值、Lagrange插 值、Newton插值clcclear

15、 allclose allx=0:0.4:9;n=length(x);IK=randperm(n);x=x(IK);y=x.A2.*cos(x); m=length(y);IK=randperm(n);x=x(IK);y=x.A2.*cos(x); m=length(y);xi=0:0.02:9;method=linear,spline for k=1:1:2 subplot(3,2,k) yi=interp1(x,y,xi,char(method(k);yg=xi.A2.*cos(xi);plot(x,y,ko,xi,yi,r:,xi,yg,b);text(2,5,char(method(k

16、),Fontsize,12); xlim(min(x),max(x);endsubplot(3,2,3)sp2=spapi(3,x,y);fnplt(sp2,r:); hold on plot(x,y,ko,xi,yg,b);text(2,5,B-spline,Fontsize,12); xlim(min(x),max(x);% set(gcf,Color,w); % x0=xi;% s=0;fori=1:n%線性插值和三次樣條插值%計算理論值%畫數(shù)據(jù)點及繪制曲線%3次B樣條插值lagrangez=ones(1,length(x0);for j=1:nif j=iz=z.*(x0-x(j)./

17、(x(i)-x(j);%lagrange 插值基函數(shù)end ends=s+z*y(i);%lagrange 插值函數(shù)end y1=s; % newdun%計算均差表 YY=zeros(n,n); Y(:,1)=y.; for j=2:n for k=j:n Y(k,j)=(Y(k,j-1)-Y(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1);endend%計算牛頓插值公式M=length(x0);yn=zeros(1,M);for j=1:Mfori=1:nz=1;for k=1:i-1z=z*(x0(j)-x(k);endyn(j)=yn(j)+Y(i,i)*z;endend% 畫圖subp

18、lot(3,2,4)plot (x ,y ,ko,x0 ,y1 ,r: ,x0 ,yg ,b);text(2,5,Lagrange,Fontsize,12);xlim(min(x),max(x);subplot(3,2,5)plot (x ,y ,ko,x0 ,yn ,r: ,x0 ,yg ,b);text(2,5,Newton,Fontsize,12);xlim(min(x),max(x);subplot(3,2,6)plot (x ,y ,ko,x0 ,y1 ,y: ,x0 ,yn ,g,x0,yg,b);hold onsp1=csapi(x,y);%三次樣條函數(shù)fnplt(sp1,k); hold onsp2=spapi(3,x,y);%三次 B 樣條插值fnplt(sp2,r); legend (data ,lagrange,newdun,linear,三次樣條插值,三次 B 樣條插值); 程序運行結(jié)果如下：linear-100Lagrange-100-100uaia lagrange newdun-100 linearlinear-100Lagrange-100-100uaia lagrange newdun-100三次樣條插值三次 B