1、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解對(duì)數(shù)的概念，能夠進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；了解常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的意義；能夠熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；了解換底公式及其推論，能夠運(yùn)用換底公式及其推論進(jìn)行對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明.能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)、體會(huì)換底公式在解題中的作用.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念對(duì)數(shù)的概念如果，01baNaa?，且，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作：logaN=b.其中 a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).要點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式logaN=b中各字母的取值范圍是：a0且a?1， N0， b?R.對(duì)數(shù)？log0aNa?，且al具有下列性質(zhì)：0和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即0N?；1的對(duì)數(shù)為

2、0，即log10a?；底的對(duì)數(shù)等于1，即log1aa?.3 .兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，NNlglog10簡(jiǎn)記作以e (e是一個(gè)無理數(shù)，2.7182e?)為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，loglneNN簡(jiǎn)記作4.對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知：對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)指數(shù)式對(duì)數(shù)式指數(shù)對(duì)救學(xué)真數(shù)ab=N1 ogftN=b化.它們的關(guān)系可由下圖表示.尋T由此可見a，b，N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化.要點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知? loglog010aaMNaaMN? ?，且，、正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和;?log

3、loglogaaaMNMN?推廣：?121212loglogloglogakaaakkNNNNNNNNN?IllIllIIIIll?、兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；logloglogaaaMMNN?正數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)；loglogaaMM?要點(diǎn)詮釋：利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都 存在時(shí)等式才能成立.如：log2 (-3) (-5)=log2 (-3) +log2 (-5)是不成立的， 因?yàn)殡m然log2 (-3) (-5)是存在的，但log2.(-3)與log2 (-5)是不存在的.不能將和、差、積、商、幕的對(duì)

4、數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、幕混淆起來，即下 面的等式是錯(cuò)誤的：loga (M?N) =logaM?logaN，loga (M N) =logaM logaN，logaNMNMaaloglog?.要點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1.對(duì)數(shù)恒等式：log aNaNNb?logOpNa2 .換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在a，aU1，M0的前提下有:(1) )(loglogRnMMnaa ?令 logaM=b，則有 ab=M，(ab) n=Mn，即 nbnMa?)(，即 naMbnlog?，即：MM loglog?.(2 ) )1,(logloglog?ccaMMcca，令 logaM=b，則有

5、 ab=M，則有)1,0(loglog?ccMacbc艮P Mabccloglog?， 艮口 aMbccloglog?艮即 )1,(logloglog?ccaMMcca當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的 靈活性.而且由(2)還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論 :)1,0,1,0(log1log?bbaaabba .【典型例題】類型一、對(duì)數(shù)的概念例1.求下列各式中X的取值范圍： log(5)x?； (2) log(2) x ?； (3) “、log(1) x ?.2；(1)x ?，、/2(1)x ?【答案】(1) 5x?； (2) 1,2xx?且；(3) 1x?

6、且 0,1xx?【解析】(1)由題意50 x?, 5x?，即為所求.由題意 2 0,10,11,xxx?且即 2,1,2,xxx?且 1,2xx?且由題意 2(1)0,10,11,xxx?且解得 1x?且 0,1xx?.【總結(jié)升華】在解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，一定要注意：對(duì)數(shù)真數(shù)大于零，對(duì)數(shù)的底數(shù) 大于零且不等于1.舉一反三：【變式1】函數(shù)21log(2)xyx?的定義域?yàn)?-【答案】1|12xxx?且類型二、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例2.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：2log164?； (2) 13log273?； (3、一 ) 3log3x?； (4) 35125?； (5) 1122?；(6

7、) 2193?.【解析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化.4216?； (2一 ) 3127 3?； (3)? 33x?； (4) 5log1253?； (5)21log12?； (6) 13log92?.【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的 互化又是解決問題的重要手段.舉一反三：【變式1】求下列各式中x的值：(1) 161log2x?(2) log86x?(3) lg1000=x(4) 2-2lnex?【答案】(1_ ) 14； (2) 2； (3) 3； (4)-4.【解析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求出x.(1) iii2()21222 1(

8、16)(4)444X?；(2-)11116636662 8()(8)(2)22XXX?，所以；10 x=1000 = 103，于是 x=3；(4一 -)由 22222lnln4 2Xxexeeex?,得，即所以【高清課堂：對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算369068例1】【變式2】計(jì)算:222log4;log8;log32并比較.【解析】222log4log22;?322log8log23; ?522log32log25?.類型三、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例3 .不用計(jì)算器計(jì)算：vlog203log27lg25lg47(9.8) ?【答案】132 -【解析】原式 323log3lg(254)21?-23lg103

9、2?一 3132322?【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)恒等式NaN?中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù) lOgaN形式；其值為真數(shù).舉一反三：【變式D求loglogloggbcNa?的值3，Cf，且不等于1，N)【答案】N【解析】將幕指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為幕的幕，再進(jìn)行運(yùn)算.logloglogloglogloglogloglog()()ca5cclogloglogloglogloglogloglog()()ca5ccN5ccNNaabCN?類型四、積、商、冪的對(duì)數(shù)【高清課堂：對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算369068例3】例4.2353zyxaaalog,log,log例4.2353(1)log;(2)log();

10、(3)log;(4)logaaaaxyxyxxyzyzz【解析】(1 ) loglogloglogaaaaxyxyzz?；(2 ) 3535log()loglog3log5logaaaaaxyxyxy?；(3廠 T ) 1logloglog()logloglog2xxyzxyzyz?；工(4 了 ) 23logaxyz =2311log()log2logloglog23aaaaaxyzxyz?.【總結(jié)升華】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途 徑，因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們.在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于 零；二要注意積、商、幕的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和

11、、差、積得運(yùn)算.舉一反三：【變式1】求值 1log864log325log21025?(2) lg2 lg50+ (lg5)2(3)lg25 + lg2 lg5 0+ (lg2) 2【答案】(1) 22； (2) 1； (3) 2.【解析】(1) 1log864log325log21025?.220184082log35log2 6225?原式=lg2 (1 + lg5) + (lg5) 2=lg2 + lg2lg5+ (lg5) 2=lg2 + lg5 (lg2 + lg5)=lg2 + lg5 = 1 (3)原式=2lg5+lg2 (1 + lg5) + (lg2) 2= 2lg5 + l

12、g2 + lg2lg5 + lg2) 2=1 + lg5 + lg2 (lg5 + lg2) =1 + lg5 + lg2 = 2.類型五、換底公式的運(yùn)用例 5.已知 18log9,185ba?，求 36log45. 【答案】2aba?【解析】，-解法一：18log9,185ba?，18log5b?, 于是181818183618181818log45log(95)log9log5log4518log36log(182)1lo181818183618181818g221log9ababa ?. ，-解法二：18log9,185ba?，18log5b?，于是于是18181818362181818

13、18Iog45log(95)log9log5log45.18log362log18log918181818362181818182log9aba? ，-解法三：18log9,185ba?, lg9lg18,lg5lg18ab?, 362lg4 5lg(95)lg9lg5lg18lg18log4 518lg3 62lg18lg92lg18lg1 82lg9ababaa?.解法四：18log9a：?, 189.a?又 185,4559181818bbaab?/?.令 EX?,則 3645項(xiàng)京？，即 2.1818一 1836()18,()18,339x x?abxab?21818log.9xab?2

14、1818log18log92ababxa?.【總結(jié)升華】(1)利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng) 用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種 形式.解決這類問題要注意隱含條件“l(fā)og1aa?”的靈活運(yùn)用.舉一反三：【變式 1】求值：(1)2log2)(log3log3(log9384?； (2)32log9一 log278?；(3 ) &log529?.【答案】(1) 54； (2) 109； (3) 3 25【解析】 ( 1) 一 ) 2log2)(log3log3(log9384?452log233log65)22lo

15、g2)(log33log23log()9log2log2)(log8log3lolog3log4log3lg( 3233223.31?;3 2 222；(2)(2)32log9log278?9103lg32lg52lg33 lg22 7lg32lg8lg9lg?；(3)法3110g529?(3)法3110g529?3333110g2(10g5)llog25252333325?法二： 9。睥 一 939925 ?. 心 3llog52 ?99121og2521og25?類型六、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例6. (2016春陜西期中)計(jì)算3433 1 6 5 4 0 loglog8145?71gl421g

16、lg71gl83?(3 ) ) 361og431og32 (loglog42122 TOC o 1-5 h z 35 9V 4 7 3531og211og2?,【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)數(shù)和批數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【答案】(1 ) 278； (2) 0； (3) 3； (4)44.解析(1)334()44333亶542542727 () loglog () log0814534588?原式=2lg(27)2 (Ig71g3) lg71g(32)?=lg21g7 21g7 21g31g7 21g31g2 0?M=381og) 61og431og5 (log) 61og431og5 (log222222逐?3533552725244 ?.353531og211og21og21og231?舉一反三：【變式1】計(jì)算下列各式的值?； (2)(1 ) ?； (2)33(lg2)31g21g5(lg5)?Q?.【答案】(1) 3； (2) 1.【解析】(1)原式99= -221g521g21g5 (21g21g5) lg2?=22lgl0 (Ig