1、1.4空間向量的應(yīng)用習(xí)題課用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲”（1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；（2）通過向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問題；（3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（化為向量問題）（進(jìn)行向量運(yùn)算）（回到圖形）復(fù)習(xí)引入向量的有關(guān)知識：直線的方向向量：與直線平行的非零向量平面的法向量：與平面垂直的向量兩向量數(shù)量積的定義：ab=|a|b|cos兩向量夾角公式：cos =復(fù)習(xí)引入夾角問題復(fù)習(xí)引入1、如果平面的一條斜線與它在這個(gè)平面上的射影的方向向量分別是a=(1,0

2、,1)，b=（0,1,1），那么這條斜線與平面所成的角是_ .2、已知兩平面的法向量分別m=(0,1,0),n=(0,1,1)，則兩平面所成的角為_ .600450鞏固練習(xí)例1圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30.已知禮物的質(zhì)量為1kg,每根繩子的拉力大小相同.求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小(重力加速度g取9.8m/s2,精確到0.01N)例題講評分析：因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以降落?根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小.8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量.解：設(shè)水平面的單位

3、法向量為n,其中每一根繩子的拉力均為F.因?yàn)?30,所以F在n上的投影向量為| F|n.所以8根繩子拉力的合力F合=8| F|n=4 |F|n.又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣?，所以|F合|=|G禮物|=19.8=9.8(N).所以|4 |F|n|=9.8. 所以|F|= 1.41(N).例題講評例2.如圖,在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F.(1)求證：PA/平面EDB;(2)求證：PB平面EFD;(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計(jì)算兩個(gè)平面的夾角，這些問題

4、都可以利用向量方法解決.由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側(cè)棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，用向量及坐標(biāo)表示問題中的幾何元素，進(jìn)而解決問題。例題講評解：以D為原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.例題講評解：以D為原點(diǎn)，DA,DC,DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=1.二面角的平面角如圖，設(shè)二面角 的大小為 其中AB 學(xué)習(xí)新知DCLBA 例1：如圖3，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處。從A，B到直線l （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和b ,C

5、D的長為c , AB的長為d。求庫底與水壩所成二面角的余弦值。 ABCD圖3例題講評解：如圖，根據(jù)向量的加法法則于是，得設(shè)向量 與 的夾角為 ， 就是庫底與水壩所成的二面角。因此ABCD圖3 例1：如圖3，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處,乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A,B到直線l （庫底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和b ,CD的長為c ,AB的長為d。求庫底與水壩所成二面角的余弦值.所以庫底與水壩所成二面角的余弦值為例題講評如圖，二面角-l-的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段BD與AC分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2 ,求平面與平面的夾角.鞏固

6、練習(xí) 如圖，60的二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的長. BACD 注:利用本題中的向量關(guān)系我們還可以倒過來求二面角的大小.鞏固練習(xí)1.PA,PB,PC是從點(diǎn)P出發(fā)的三條射線,每兩條射線的夾角均為60,那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是( )提高練習(xí)課本第38頁第2題鞏固練習(xí)2.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，求異面直線AN,CM所成角的余弦值。課本第41頁第2題鞏固練習(xí)2.如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,M,N分別是AD,BC的中點(diǎn)，求異面直線AN,CM所成角的余弦值。方法3放入長方體中建立空間直角坐標(biāo)系求解課本第41頁第2題鞏固練習(xí)3.如圖，ABC和DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,CBA=DBC=120.求：(1)直線AD與直線BC所成角的大小；(2)直線AD與平面BCD所成角的大?。?3)平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值.課本第38頁第4題鞏固練習(xí)3.如圖，ABC和DBC所在平面垂直，且AB=BC=BD,CBA=DBC=120