1、立體幾何中二面角的平面角的定位安慶懷寧立體幾何中二面角的平面角的定位安慶懷寧3月20日空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容，解決立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵在于三定：定性分析定位作圖定量計(jì)算，其中定性是定位、定量的根底，而宣那么是定位、定性的深化，在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般來(lái)說(shuō)，對(duì)其平面角的定位是問(wèn)題解決的先決一步，可是，從以往的教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把握不住其定位的根本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯(cuò)誤地定其位，使問(wèn)題的解決徒勞無(wú)益，本文就是針對(duì)這一點(diǎn)，來(lái)談一談平日教學(xué)中體會(huì)。一、重溫二面角的平面角的定義如圖1，、是由出發(fā)的兩個(gè)平面,是上任意一點(diǎn),，且；D，

2、且D。這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即D是二面角的平面角，從中不難得到以下特征：、過(guò)棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；、其平面角所在平面與其兩個(gè)半平面均垂直；另外，假如在上任取上一點(diǎn)A，作ABD垂足為B,那么由特征可知AB.突出、D、AB，這便是另一特征；、表達(dá)出一完好的垂線定理或逆定理的環(huán)境背景。對(duì)以上特征進(jìn)展剖析由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的平面角的定位可化歸為“定點(diǎn)或“定線面的問(wèn)題。特征說(shuō)明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)，耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨意取，但又總是不隨意取定的，它必須與問(wèn)題背景互相溝通，給計(jì)算提供方便。例1正三棱錐VAB側(cè)棱長(zhǎng)為a，高為b，求側(cè)面與

3、底面所成的角的大校由于正三棱錐的頂點(diǎn)V在底面AB上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)H交AB于，且AB，那么V為側(cè)面與底面所成二面角的平面角如圖2。正因?yàn)檎忮F的特性，解決此問(wèn)題，可以取AB的中點(diǎn)為其平面角的頂點(diǎn)，而且使背景突出在面V上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造得天獨(dú)厚的條件。特征指出，假如二面角的棱垂直某一平面與、的交線，而交線所成的角就是的平面角，如圖。由此可見(jiàn)，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面。例2矩形ABD，AB=3，B=4，沿對(duì)角線BD把ABD折起，使點(diǎn)A在平面BD上的射影A落在B上，求二面角AB-的大校這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后“變與“不變。

4、結(jié)果在平面圖形中過(guò)A作AEBD交BD于、交B于E，那么折疊后A、E與BD的垂直關(guān)系不變。但A與E此時(shí)變成相交兩線段并確定一平面，此平面必與棱垂直。由特征可知，面AE與面ABD、面BD的交線A與E所成的角，即為所求二面角的平面角。另外，A在面BD上的射影必在E所在的直線上，又題設(shè)射影落在B上,所以E點(diǎn)就是A，這樣的定位給下面的定量提供了優(yōu)質(zhì)效勞。事實(shí)上，A=ABAD/BD=3*4/5=12/5，A=E=BtgBD，而B=AB2/BD=9/5,tgBD，故A=27/20。在RtAA中，AA=90所以sAA=A/A=9/16，tyAA=ars9/16即所求的二面ars9/16。通過(guò)對(duì)例2的定性分析、

5、定位作圖和定量計(jì)算，特征從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面“擺平，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角?！捌矫鎴D形與“立體圖形相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量。特征顯示，假如二面角的兩個(gè)半平面之一，存在垂線段AB，那么過(guò)垂足B作的垂線交于，連結(jié)A，由三垂線定理可知A；或者由A作的垂線交于，連結(jié)B，由三垂線定理逆定理可知B，此時(shí)，AB就是二面角的平面角，如圖。由此可見(jiàn)，地面角的平面角的定位可以找“垂線段。例3在正方體ABDA1B11D1中，棱長(zhǎng)為2，E為B的中點(diǎn)。求面B1D1E與面積BB11所成的二面角的大校例3的環(huán)境背景說(shuō)明，面B1D

6、1E與面BB11構(gòu)成兩個(gè)二面角，由特征可知，這兩個(gè)二面角的大小必定互補(bǔ)，下面，如果思維由特征監(jiān)控,背景中的線段1D1會(huì)使眼睛一亮,我們只須由1(或D1)作B1E的垂線交B1E于,然后連結(jié)D1(或1),即得面D1BE與面1B1E所成二面角的平面角1D1，如圖，計(jì)算可得1=4*51/2/5。在RtD11中，tg1D=D11/1=51/2/2。故所求的二面角角為artg51/2/2或-artg=51/2/2三、三個(gè)特征的關(guān)系以上三個(gè)特征提供的思路在解決詳細(xì)總是時(shí)各具特色，其標(biāo)的是分別找“點(diǎn)、“垂面、“垂線段。事實(shí)上，我們只要找到其中一個(gè)，另兩個(gè)就接踵而來(lái)。掌握這種關(guān)系對(duì)進(jìn)步解題技能和培養(yǎng)空間想象力非

7、常重要。1、交融三個(gè)特征對(duì)思維的監(jiān)控，可有效地克制、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性。例3將棱長(zhǎng)為a的正四面體的一個(gè)面與棱長(zhǎng)為a的正四棱錐的一個(gè)側(cè)面吻合，那么吻合后的幾何呈現(xiàn)幾個(gè)面？這是一道競(jìng)賽題，考生答“7個(gè)面的占99.9%，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？如圖，過(guò)兩個(gè)幾何體的高線VP、VQ的垂足P、Q分別作B的垂線，那么垂足重合于，且為B的中點(diǎn)，P延長(zhǎng)過(guò)A，Q延長(zhǎng)交ED于R。由特征，AR為二面角ABR平面角，結(jié)合特征、，可得VAR為平行四邊形，VA/BE，所以V、A、B、E共面，同理V、A、D共面，所以這道題的答案應(yīng)該是5個(gè)面！2、三個(gè)特征，雖然客觀存在，互相聯(lián)絡(luò)，但在許多同題中卻表現(xiàn)得模糊而冷漠三個(gè)“標(biāo)的均藏而不露，在這種形勢(shì)下，逼你去作，那么作誰(shuí)？由特征，有了“垂線段便可定位。例4RtAB的兩直角邊A=2，B=3，P為斜邊上一點(diǎn)，沿P將此直角三角形折成直二面角APB，當(dāng)AB=71/2時(shí)，求二面角PAB的大校作法一：APB為直角二面角，過(guò)B作BDP交P的延長(zhǎng)線于D，那么BDDAP。過(guò)D作DEA，垂足為E，連BE。DEB為二面角APB的平面角。作法二：過(guò)P點(diǎn)作PDP交B于D，那么PD面AP。過(guò)D作DEA，垂足為E，邊PE，DEP為二面角PAB的平面角。再說(shuō)，定位是為了定理，求角的大小往往要化歸到一個(gè)三角形中去解，有了“垂線段就可把它化歸為解一個(gè)直角三角形。由此可