1、第三章 彈性與塑性應力應變關(guān)系Prof. Wang JX彈性與塑性應力應變關(guān)系彈性狀態(tài)一維：胡克定律三維：廣義胡克定律塑性狀態(tài)應變與應力及變形歷史有關(guān)應力與應變增量的關(guān)系增量理論比例變形時：全量理論屈服條件第三章 彈性與塑性應力應變關(guān)系拉伸與壓縮時的應力應變曲線彈塑性力學中常用的簡化模型彈性應力應變關(guān)系廣義胡克定律兩個常用的屈服條件增量理論應力與應變增量的關(guān)系全量理論（形變理論）德魯克公設(shè)和伊柳辛公設(shè)Prof, Wang JX31 拉伸與壓縮時的應力 - 應變曲線一、低碳鋼拉伸時的應力-應變曲線osePA0l0PABCDEOB：彈性階段spsesssbBC：屈服階段CD：強化階段DE：局部變形

2、階段塑性階段CssssProf, Wang JX一、低碳鋼拉伸時的應力-應變曲線oseABCDEspsesssbCssssJ.Bauschinger效應：強化材料隨著塑性變形的增加，屈服極限在一個方向提高而在相反方向降低的效應。理想J.Bauschinger效應：屈服極限在一個方向提高的數(shù)值與在相反方向降低的的數(shù)值相等。Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 二、真應力-應變曲線ose材料不可壓縮：sAeAsTAAA1oBProf, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 三、壓縮時的應力應變曲線對數(shù)應變：

3、PD0H0DH體積不變：真應力：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 壓縮應力應變曲線的作法（1）記錄各試件在每次壓縮后的載荷和尺寸。（2）作各試件的真應力與對數(shù)應變曲線。abc（3）將真應力與對數(shù)應變曲線轉(zhuǎn)換為真應力與D/H的曲線。（4）將真應力與D/H的曲線外推到D/H為零，再轉(zhuǎn)換為真應力與對數(shù)應變曲線。Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 32 彈塑性力學常用的簡化模型1. 理想彈性力學模型符合材料的實際情況。數(shù)學表達式足夠簡單。力學模型的要求：se2. 理想彈塑性力學模型sesses

4、Prof, Wang JX32 彈塑性力學常用的簡化模型3. 線性強化彈塑性力學模型see=1sessesEE1（雙線性強化力學模型）4. 冪強化力學模型n：強化指數(shù)：0 n 1An=1n=032 彈塑性力學常用的簡化模型6. 線性強化剛塑性力學模型ssse（剛塑性力學模型）5. 理想塑性力學模型seE1ss33 彈性應力應變關(guān)系廣義虎克定律一、單拉下的應力-應變關(guān)系二、純剪的應力-應變關(guān)系xyzsxxyz x yE：彈性模量m ：泊松比G：剪切彈性模量Prof, Wang JX三、空間應力狀態(tài)下的應力 - 應變關(guān)系依疊加原理,得: xyzszsytxysx廣義虎克定律Prof, Dr. Wa

5、ng JX: Plasticity and Elasticity 體積應變：體積應力：體積應變與三個主應力的和成正比。體積應變與平均應力成正比。體積彈性模量Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 偏量形式的廣義虎克定律應力圓與應變圓成比例應力偏量與應變偏量成正比應力主軸與應變主軸相重合Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 在彈性變形階段，應力Lode參數(shù)與應變Lode參數(shù)相等，應力主軸與應變主軸重合，應力

6、偏量與應變偏量成正比。Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 四、用應變分量表示應力形式的廣義胡克定律Lame常數(shù)Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 五、主應力 - 主應變關(guān)系六、平面狀態(tài)下的應力-應變關(guān)系:s1s3s2Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 平面應力狀態(tài)的廣義虎克定律Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 34 兩個常用的屈服條件一、塑性力學的基本概念1. 塑性力學的研究內(nèi)容

7、：研究材料塑性變形和作用力之間關(guān)系（本構(gòu)關(guān)系）。研究在塑性變形后物體內(nèi)部應力分布規(guī)律。2. 塑性力學的特點：應力與應變的關(guān)系是非線性的。（與材料有關(guān)）應力與應變之間沒有一一對應的關(guān)系。（與加載歷史有關(guān)）在變形體中有彈性變形區(qū)和塑性變形區(qū)。（分界線）區(qū)分加載和卸載過程。（加載使用塑性應力應變關(guān)系，卸載使用廣義胡克定律。）Prof, Wang JX3. 塑性條件（屈服條件）：屈服條件是材料處于彈性狀態(tài)或塑性狀態(tài)的判斷準則。單向拉伸時的屈服條件：考慮應力的組合對材料是否進入塑性狀態(tài)的影響。彈性狀態(tài)進入塑性狀態(tài)ss空間應力狀態(tài)：應力空間：以應力為坐標軸的空間。應力空間中每一點都代表一個應力狀態(tài)。Pro

8、f, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 應力路徑：應力空間中應力變化的曲線。AB根據(jù)不同的應力路徑進行實驗，可確定從彈性階段進入塑性階段的分界限。CDE分界面分界面：區(qū)分彈性區(qū)和塑性區(qū)的分界面。屈服條件：描述分界面的數(shù)學表達式。（屈服函數(shù)）工程上使用的屈服條件：Tresca 屈服條件, Mises屈服條件。Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 二、Tresca （特雷斯卡）屈服條件（1864，法國） 在物體中，當最大剪應力達到某一極限值時，材料便進入塑性狀態(tài)。1. 主應力次序已知時：單向拉伸時：ss

9、純剪切應力狀態(tài)時：tProf, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity s1s2s30二、Tresca 屈服條件2. 主應力次序未知時：三個式子中，只要一個式子取等號，材料便進入塑性狀態(tài)。幾何表示：正六棱柱面平面：通過坐標原點的等傾面將s1 ，s2 ，s3向平面投影 s1s2s3120012000二、Tresca 屈服條件s1s2s3o平面上的屈服軌跡：正六邊形。3. 平面應力狀態(tài)：s1s20在主應力次序已知時使用方便。當主應力次序未知時，數(shù)學表達式不連續(xù)，使用不便。三、Mises 屈服條件（1913，德國）s1s2s30 xyProf, Dr. Wang

10、 JX: Plasticity and Elasticity 三、Mises 屈服條件s1s2s30 xyMises條件的常用形式：（1）應力張量第二不變量形式：單向拉伸時：純剪切時：三、Mises 屈服條件Mises條件的常用形式：（1）應力張量第二不變量形式：單向拉伸時：純剪切時：三、Mises 屈服條件Mises條件的常用形式：（2）應力強度形式：應力強度達到單伸時材料的屈服極限時，材料便進入塑性狀態(tài)。（A.A.Ilinshin）（4）等傾面上的剪應力形式： （A.L.Nadai）（3）彈性形變比能形式： （Hencky）三、Mises 屈服條件平面應力問題的Mises條件：s1s20平

11、面應變問題的Mises條件？四、兩種屈服條件的比較：（1）單向拉伸時重合：s1s2s30 xyTresca 六邊形內(nèi)接于Mises 圓（2）純剪切時重合：Tresca 六邊形外切于Mises 圓15.5%13.4%Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 四、兩種屈服條件的比較：（3）薄壁管軸向拉伸和內(nèi)壓作用下的實驗比較：15.5%pFFs2s11.101.0511.15M10-1T四、兩種屈服條件的比較：（4）薄壁管軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)作用下的實驗比較：FFMMts四、兩種屈服條件的比較：（4）薄壁管軸向拉伸和扭轉(zhuǎn)作用下的實驗比較：15.5%FFMM

12、1010.60.4MTP97表31例1：試定出在 z 方向受約束的平面應變問題的屈服條件。 m =0.5解：Mises 屈服條件：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 例1：試定出在 z 方向受約束的平面應變問題的屈服條件。 m =0.5Tresca 屈服條件：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 例2：薄壁筒軸向拉伸應力 s 和內(nèi)壓 p 作用，內(nèi)半徑為：r 。壁厚為：t 。 寫出 M 和 T 條件。psss2s1解：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Ela

13、sticity 作業(yè)：31，32，38Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 34 塑性應力與應變增量的關(guān)系 增量理論（流動理論）一、理想彈塑性材料的 Prandtl Reuss 理論理想彈塑性力學模型sesseseepee1. 在塑性區(qū)，應變增量由彈性和塑性兩部分組成。Prof, Wang JX0增量理論一、理想彈塑性材料的 Prandtl Reuss 理論2. 體積變化是彈性的，在塑性區(qū)，體積不變（體積不可壓縮）。（體積應變?yōu)榱悖?. 彈性應變偏量的增量服從廣義胡克定律，塑性應變偏量的增量與應力偏量成比例。比例因子，隨載荷、變形程度、點的位

14、置而變。增量理論4. 應力分量滿足 Mises 屈服條件。物理意義：塑性應變偏量的增量與應力偏量的主軸重合(主方向重合)。在某一瞬時塑性應變偏量的增量與應力偏量成比例(相似)。增量理論增量理論比例因子與材料的屈服極限及變形程度有關(guān)。PrandtlReuss 理論增量理論塑性功增量表示的 PR 理論塑性功增量：增量理論塑性功增量表示的 PR 理論塑性耗散能二、理想剛塑性材料的 Levy Mises 理論理想剛塑性力學模型ssseeepee 01. 在塑性區(qū)，可忽略彈性變形，總應變等于塑性應變。2. 體積不變（體積不可壓縮）。（體積應變?yōu)榱悖㏄rof, Dr. Wang JX: Plasticit

15、y and Elasticity 增量理論3. 應變偏量的增量與應力偏量成比例。物理意義：應變增量與應力偏量的主軸重合(主方向重合)。在某一瞬時應變增量與應力偏量成比例(相似)。增量理論4. 應力分量滿足 Mises 屈服條件。LevyMises 理論增量理論 LM 理論的應用：1. 已知應變增量求應力偏量或主應力差：?增量理論 LM 理論的應用：2. 已知應力分量求應變增量的比值：?例1：試確定單向拉伸應力狀態(tài)、單向壓縮應力狀態(tài)、純剪切應力狀態(tài)的塑性應變增量之比（理想剛塑性材料）。解：單向拉伸應力狀態(tài)：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity

16、單向壓縮應力狀態(tài)：純剪切應力狀態(tài)：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 例2：薄壁圓筒，已知內(nèi)半徑為 R ，壁厚為 t ，承受內(nèi)壓為 p ，試塑性應變增量之比 （理想剛塑性材料）。szsq解：pProf, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 例3：已知一應力狀態(tài)： 求：解：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 例4 ：薄壁圓管受拉應力 作用，使用Mises條件，求受扭屈服時 此時塑性應變增量之比為多少？解：sztqzMises條件：Prof, Dr.

17、 Wang JX: Plasticity and Elasticity 應力路徑：（1）先拉至進入塑性狀態(tài)再扭至。（2）先扭后拉。（3）同時拉扭進入塑性狀態(tài)（保持不變）。st解：Mises條件：OABCOABC例5 ：不可壓縮彈塑性材料的薄壁圓管受軸向拉力和扭矩作用，使用Mises條件，求當 及時應力分量Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity （1）先拉再扭OABCOABC應力狀態(tài)：A進入塑性狀態(tài)應力狀態(tài)：C應變分量（體積不可壓縮）：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 塑性功增量：塑性功增量

18、表示的 PR 理論Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity （2）先扭后拉。OABCOABCProf, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity （3）同時拉扭進入塑性狀態(tài)（保持不變）。OABCOABCProf, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 34 塑性應力與應變的關(guān)系全量理論（形變理論）一、比例變形與簡單加載變形時，應變增量之比為常數(shù)。1. 比例變形：應變成比例Prof, Wang JX全量理論一、比例變形與簡單加載1. 比例變形：2. 比例加載：3. 簡單加載

19、： 簡單加載：單元體的應力分量之間的比值，在加載過程中保持不變，按同一參數(shù)單調(diào)增長。（應力主方向不變。）全量理論一、比例變形與簡單加載簡單加載的條件：（1）外載荷按比例增加。（2）體積不可壓縮。（3）應力與應變具有冪強化形式。（4）小變形。（可用平衡微分方程和幾何方程）二、單一曲線假設(shè)在簡單加載或偏離簡單加載不太大的條件下，應力強度與應變強度具有確定的關(guān)系，而且可以用單向拉伸曲線表示，與應力狀態(tài)無關(guān)。全量理論三、形變理論（ Hencky Iliushin 理論）1. 體積變化是彈性的，且與平均應力成正比。（塑性變形體積變化為零）。2. 應變偏量與應力偏量成比例。彈性階段：塑性階段：G與材料性質(zhì)

20、、塑性變形有關(guān)。全量理論全量理論體積不可壓縮：物理意義：應變與應力的主軸重合(主方向重合)。在某一瞬時應變與應力偏量成比例(相似)。 Iliushin 理論全量理論3. 應力強度與應變強度具有確定的關(guān)系，且可用單向拉伸實驗結(jié)果確定出該函數(shù)關(guān)系。4. 卸載應力：Hencky 理論：全量理論比例加載：全量理論 Hencky Iliushin 理論的應用：1. 已知應變狀態(tài)求應力偏量或主應力差：?全量理論2. 已知應力分量求應變分量：例1：已知一應力狀態(tài)： 求：解： Hencky Iliushin 理論：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity 例2：

21、薄壁圓筒，已知內(nèi)半徑為 R ，壁厚為 t ，承受內(nèi)壓為 p ，試求完全進入塑性狀態(tài)后主應變之比（材料不可壓縮）。szsq解：p若同時受軸向力F，材料的 ss 已知，欲保持直徑不變只產(chǎn)生軸向伸長，試求達到塑性狀態(tài)時內(nèi)壓力和軸向力。FFProf, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity p若同時受軸向力F，材料的 ss 已知，欲保持直徑不變只產(chǎn)生軸向伸長，試求達到塑性狀態(tài)時內(nèi)壓力和軸向力。FFszsq解：直徑不變：材料不可壓縮：屈服條件：Prof, Dr. Wang JX: Plasticity and Elasticity pFFszsq若同時受軸向力F，材料的 ss 已知，欲保持直徑不變只產(chǎn)生軸向伸長，試求達到塑性狀態(tài)時內(nèi)壓力和軸向力。Prof, Dr.