1、約束條件第一、填空題1組成優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的三要素是設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)2.函數(shù)f(x,x)=x2+x2一4xx+5在X二1212120點(diǎn)處的梯度為一120海賽矩陣2一4一42目標(biāo)函數(shù)是一項(xiàng)設(shè)計(jì)所追求的指標(biāo)的數(shù)學(xué)反映，因此對(duì)它最基本的要求是能用來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)的優(yōu)劣，,同時(shí)必須是設(shè)計(jì)變量的可計(jì)算函數(shù)。建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型的基本原則是確切反映工程實(shí)際問(wèn)題，的基礎(chǔ)上力求簡(jiǎn)潔。5約束條件的尺度變換常稱(chēng)規(guī)格化，這是為改善數(shù)學(xué)模型性態(tài)常用的一種方法。6隨機(jī)方向法所用的步長(zhǎng)一般按法來(lái)確定，此法是指依次迭代的步長(zhǎng)按一定的比例遞增的方法。7最速下降法以一負(fù)梯度方向作為搜索方向，因此最速下降法又稱(chēng)為梯度法，其收斂速度較

2、。二元函數(shù)在某點(diǎn)處取得極值的充分條件是Vf(X)=0必要條件是該點(diǎn)處的海賽矩陣正0定9拉格朗日乘子法的基本思想是通過(guò)增加變量將等式約束優(yōu)化問(wèn)題變成無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，這種方法又被稱(chēng)為升維法。10改變復(fù)合形形狀的搜索方法主要有反射，擴(kuò)張，收縮，壓縮11坐標(biāo)輪換法的基本思想是把多變量的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量的優(yōu)化問(wèn)題在選擇約束條件時(shí)應(yīng)特別注意避免出現(xiàn)相互矛盾的約束，另外應(yīng)當(dāng)盡量減少不必要的約束。目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1,空間中描述出來(lái)，為了在n維空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。數(shù)學(xué)規(guī)劃法的迭代公式是Xk+i=Xk+adk_，其核心是建立搜索方向,和k計(jì)

3、算最佳步長(zhǎng)15協(xié)調(diào)曲線(xiàn)法是用來(lái)解決設(shè)計(jì)目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的。16.機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)的一般過(guò)程中，建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型是首要和關(guān)鍵的一步，它是取得正確結(jié)果的前提。二、名詞解釋1凸規(guī)劃對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題minf(X)s.tgj(X)0(j=1,2,3,m)若f(X)、gj(X)(j=1,2,3,m)都為凸函數(shù)，貝y稱(chēng)此問(wèn)題為凸規(guī)劃。2可行搜索方向是指當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值下降，且不會(huì)越出可行域。設(shè)計(jì)空間：n個(gè)設(shè)計(jì)變量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間，它是所有設(shè)計(jì)方案的組合4.可靠度產(chǎn)品在規(guī)定的條件，規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成規(guī)定功能的概率.5收斂性是指某種迭代程序產(chǎn)生的序列&k(k二。丄)收斂

4、于limXk+1=X*kfg6非劣解：是指若有m個(gè)目標(biāo)f(X)(i=1,2,m)，當(dāng)要求m-1個(gè)目標(biāo)函數(shù)值不變壞時(shí),i找不到一個(gè)X，使得另一個(gè)目標(biāo)函數(shù)值f(X)比f(wàn)(X*),則將此X*為非劣解。ii黃金分割法：是指將一線(xiàn)段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng)與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段長(zhǎng)度的比值?？尚杏颍簼M(mǎn)足所有約束條件的設(shè)計(jì)點(diǎn)，它在設(shè)計(jì)空間中的活動(dòng)范圍稱(chēng)作可行域。維修度在規(guī)定的條件下使用的產(chǎn)品發(fā)生故障后，在規(guī)定的維修條件下，在規(guī)定的維修時(shí)間t內(nèi)修復(fù)完畢的概率1、設(shè)計(jì)變量答：在優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)程中，一組需要優(yōu)選的、作為變量來(lái)處理的獨(dú)立設(shè)計(jì)參數(shù)(或需要優(yōu)選的參數(shù)，它們的數(shù)值在優(yōu)化設(shè)計(jì)過(guò)程中是變化的一組獨(dú)立

5、的設(shè)計(jì)參數(shù))2、目標(biāo)函數(shù)答：在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，用來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案優(yōu)劣程度、并能夠用設(shè)計(jì)變量所表達(dá)成的函數(shù)，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)(或用設(shè)計(jì)變量來(lái)表達(dá)所追求目標(biāo)的函數(shù))3、設(shè)計(jì)約束答：在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量取值的限制條件，稱(chēng)為約束條件和設(shè)計(jì)約束(或?qū)υO(shè)計(jì)變量取值限制的附加設(shè)計(jì)條件)4、最優(yōu)點(diǎn)、最優(yōu)值和最優(yōu)解答：選取適當(dāng)優(yōu)化方法，對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，可解得一組設(shè)計(jì)變量，記作：x*=xl*,x2*,x3*,.,xn*T使該設(shè)計(jì)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)F(x*)為最小，點(diǎn)x*稱(chēng)為最優(yōu)點(diǎn)(極小點(diǎn))。相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值F(x*)稱(chēng)為最優(yōu)值(極小值)。一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解包著最優(yōu)點(diǎn)(極小點(diǎn))和最優(yōu)值(極小值)。把最優(yōu)點(diǎn)和最優(yōu)值

6、的總和通稱(chēng)為最優(yōu)解?；颍簝?yōu)化設(shè)計(jì)就是求解n個(gè)設(shè)計(jì)變量在滿(mǎn)足約束條件下使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值，即minf(x)=f(x*)xGRns.t.gu(x)W0,u=1,2,.,m；hv(x)=0,v=1,2,.,pf(a)。所以消去區(qū)間a,a，得到新的搜索區(qū)間a,b，1211即L,b=La,b=0.5056,1l。1第一次迭代：插入點(diǎn)a1=0.6944，a=0.5056+0.618(1-0.5056)=0.81112相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值f(a)=29.4962,f(a)=25.4690，12由于f(a)f(a),故消去所以消去區(qū)間a,a，得到新的搜索區(qū)間a,bl1211則形成新的搜索區(qū)間匚1，bLL,bL

7、（0.6944,11至此完成第一次迭代，繼續(xù)重復(fù)迭代過(guò)程，最終可得到極小點(diǎn)。3用牛頓法求目標(biāo)函數(shù)/（X）=16x12+25x2+5的極小點(diǎn)，設(shè)X（0）=22卜解：由X（0）=22卜，則Vf（X0）=IQ2f（）V2fX0丿=I1QfIQxQx21-1132Q2fdxdx12Q2fQx220因此可得：X1=X0-V2f32Qx1fQx250-1Vf（X0）=32x150 x213264100逆矩陣為15064100（X1）=5，從而經(jīng)過(guò)一次迭代即求得極小點(diǎn)X0卜，f（X*）=54.下表是用黃金分割法求目標(biāo)函數(shù)=a+的極小值的計(jì)算過(guò)程，請(qǐng)完成下表。a迭代序號(hào)aa1aby1比較y200.20.505

8、60.6944140.062629.496210.50560.69440.8111129.496225.4690 x*05、求二元函數(shù)f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=00T處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值？解：由于函數(shù)變化率最大的方向是梯度方向，這里用單位向量P表示函數(shù)變化率最大和數(shù)值是梯度的模I刃(x)II。求f(X,X2)在兀點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下：0120dxdx2x02x12x2-4-4-2=-2x0岡(叨=：(魯)2+(f二川112-4-2Tj5在X1-x2平面上畫(huà)出函數(shù)等值線(xiàn)和x0(0,0)點(diǎn)處的梯度方向P,如圖2-1所示。從圖中可以看出，在X點(diǎn)函數(shù)

9、變化率最大的方向P即為等值線(xiàn)的法線(xiàn)方向，也就是同0心圓的半徑方向。6、用共軛梯度法求二次函數(shù)f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2XX2的極小點(diǎn)及極小值?解：取初始點(diǎn)xo=1lb2x-2x4-4g0=Vf(xo)=124x-2x21x02do=-go=-2沿do方向進(jìn)行一維搜索，得1+a-410-2xi=xo+ado=01+4ao12a其中的%為最佳步長(zhǎng)，可通過(guò)f(xi)=min申(a),0(a)=00a1101a10求得+a-4-10-201+4a01_2a0為建立第二個(gè)共軛方向d,需計(jì)算xi點(diǎn)處的梯度及系數(shù)Po值，得g1=Vf(xi)=2x-2x-4124x-2x21-11x1從而

10、求得第二個(gè)共軛方向dl=-gl+卩再沿d1進(jìn)行一維搜索,其中的a1為最佳步長(zhǎng),求得=吐二AllgJI2200d0=1141_2-2-2+2a1+a3=1311+a_2_2_L221x2=x1+a1d1=通過(guò)f(x2)覽n吹),0(a)二021x2=計(jì)算x2點(diǎn)處的梯度2x-2x4o12=L4x-2x021x211g2=Vf(x2)說(shuō)明X2點(diǎn)滿(mǎn)足極值必要條件，再根據(jù)X2點(diǎn)的海賽矩陣G(x2)=是正定的，可知X2滿(mǎn)足極值充分必要條件。故X2為極小點(diǎn)，即x2而函數(shù)極小值為f(x*)=-8。7、求約束優(yōu)化問(wèn)題Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t.h(x)=x1+2x2-2=0的最優(yōu)解？解：該問(wèn)題的約束最優(yōu)解為x*=1.60.2】,/(x*)二0.8。由圖4-1a可知，約束最優(yōu)點(diǎn)x*為目標(biāo)函數(shù)等值線(xiàn)與等式約束函數(shù)(直線(xiàn))的切點(diǎn)。用間接解法求解時(shí)，可取卩2=0&轉(zhuǎn)換后的新目標(biāo)函數(shù)為(x,卩)=(x2)2+(x1)2+0.8(x+2x2)21212可以用解析法求mi