1、建 模 案 例 選 講:水 塔 水 流 量 估 計(jì) 問(wèn) 題計(jì) 算 機(jī) 學(xué) 院 崔 志 明共十九頁(yè) 某居民區(qū)有一供居民用水的園柱形水塔，一般可以通過(guò)測(cè)量其水位來(lái)估計(jì)水的流量， 但面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最低水位時(shí)，水泵(shubng)自動(dòng)啟動(dòng)向水塔供水，到設(shè)定的最高水位時(shí)停止供水，這段時(shí)間無(wú)法測(cè)量水塔的水位和水泵(shubng)的供水量 通常水泵每天供水一兩次，每次約兩小時(shí).水塔(shut)水流量估計(jì)問(wèn)題共十九頁(yè)水塔水流量估計(jì)(gj)問(wèn)題 水塔是一個(gè)高12.2米，直徑17.4米的正園柱按照設(shè)計(jì)，水塔水位降至約8.2米時(shí)，水泵自動(dòng)啟動(dòng)(qdng)，水位升到約10.8米時(shí)水泵停止工作 表

2、1 是某一天的水位測(cè)量記錄，試估計(jì)任何時(shí)刻（包括水泵正供水時(shí)）從水塔流出的水流量，及一天的總用水量共十九頁(yè)水塔水流量估計(jì)(gj)問(wèn)題共十九頁(yè)流量估計(jì)(gj)的解題思路擬合(n h)水位時(shí)間函數(shù)確定流量時(shí)間函數(shù)估計(jì)一天總用水量共十九頁(yè) 測(cè)量記錄看，一天有兩個(gè)供水時(shí)段（以下稱(chēng)第1供水時(shí)段和第2供水時(shí)段），和3個(gè)水泵(shubng)不工作時(shí)段（以下稱(chēng)第1時(shí)段t=0到t=8.97，第2次時(shí)段t=10.95到t=20.84和第3時(shí)段t=23以后）擬合水位時(shí)間(shjin)函數(shù)共十九頁(yè) 對(duì)第1、2時(shí)段的測(cè)量數(shù)據(jù)直接分別作多項(xiàng)式擬合，得到水位(shuwi)函數(shù)為使擬合曲線比較光滑，多項(xiàng)式次數(shù)不要太高，一般在

3、36由于第3時(shí)段只有3個(gè)測(cè)量記錄，無(wú)法對(duì)這一時(shí)段的水位(shuwi)作出較好的擬合共十九頁(yè) 對(duì)于第1、2時(shí)段只需將水位函數(shù)求導(dǎo)數(shù)即可，對(duì)于兩個(gè)供水時(shí)段的流量，則用供水時(shí)段前后（水泵不工作時(shí)段）的流量擬合得到，并且(bngqi)將擬合得到的第2供水時(shí)段流量外推，將第3時(shí)段流量包含在第2供水時(shí)段內(nèi)確定(qudng)流量時(shí)間函數(shù)共十九頁(yè) 總用水量等于兩個(gè)水泵(shubng)不工作時(shí)段和兩個(gè)供水時(shí)段用水量之和，它們都可以由流量對(duì)時(shí)間的積分得到。一天(y tin)總用水量的估計(jì)共十九頁(yè)算法(sun f)設(shè)計(jì)與編程1、擬合(n h)第1、2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流量2、擬合供水時(shí)段的流量3、估計(jì)一天總用水量4

4、、流量及總用水量的檢驗(yàn)共十九頁(yè) 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測(cè)量記錄（水泵啟動(dòng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第1時(shí)段各時(shí)刻的流量(liling)可如下得：1） c1=polyfit（t（1：10），h（1：10），3）； %用3次多項(xiàng)式擬合第1時(shí)段水位，c1輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2）a1=polyder（c1）； % a1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp1=0：0.1：9； x1=-polyval（a1，tp1）； % x1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為a1）在tp1點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp1時(shí)刻的流量 MATLAB(llgj1)4）流量(liling)函數(shù)為： 1、擬合第1時(shí)段的水位，并導(dǎo)出

5、流量共十九頁(yè) 設(shè)t，h為已輸入的時(shí)刻和水位測(cè)量記錄（水泵啟動(dòng)(qdng)的4個(gè)時(shí)刻不輸入），第2時(shí)段各時(shí)刻的流量可如下得：1） c2=polyfit(t(10.9:21),h(10.9:21),3)； %用3次多項(xiàng)式擬合第2時(shí)段水位，c2輸出3次多項(xiàng)式的系數(shù)2） a2=polyder(c2)； % a2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c2）導(dǎo)數(shù)的系數(shù) 3）tp2=10.9:0.1:21; x2=-polyval(a2,tp2); % x2輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為a2）在tp2點(diǎn)的函數(shù)值（取負(fù)后邊為正值），即tp2時(shí)刻的流量MATLAB(llgj2)4）流量(liling)函數(shù)為： 2、擬合第2時(shí)段的水位，并導(dǎo)出流

6、量共十九頁(yè)在第1供水時(shí)段（t=911）之前（即第1時(shí)段）和之后（即第2時(shí)段）各取幾點(diǎn)，其流量已經(jīng)得到，用它們擬合第1供水時(shí)段的流量為使流量函數(shù)在t=9和t=11連續(xù)，我們簡(jiǎn)單地只取4個(gè)點(diǎn)，擬合3次多項(xiàng)式（即曲線必過(guò)這4個(gè)點(diǎn)），實(shí)現(xiàn)(shxin)如下： xx1=-polyval（a1，8 9）； %取第1時(shí)段在t=8,9的流量 xx2=-polyval（a2，11 12）； %取第2時(shí)段在t=11,12的流量 xx12=xx1 xx2； c12=polyfit（8 9 11 12，xx12，3）； %擬合3次多項(xiàng)式 tp12=9：0.1：11； x12=polyval（c12，tp12）； %

7、x12輸出第1供水時(shí)段 各時(shí)刻的流量MATLAB(llgj3)擬合的流量(liling)函數(shù)為：3、擬合供水時(shí)段的流量共十九頁(yè) 在第2供水時(shí)段之前取t=20，20.8兩點(diǎn)的流水量，在該時(shí)刻之后（第3時(shí)段）僅有3個(gè)水位記錄，我們用差分得到流量，然后用這4個(gè)數(shù)值擬合第2供水時(shí)段的流量如下： dt3=diff（t(22：24)）； %最后(zuhu)3個(gè)時(shí)刻的兩兩之差 dh3=diff（h(22：24)）； %最后3個(gè)水位的兩兩之差 dht3=-dh3./dt3； %t(22)和t(23)的流量 t3=20 20.8 t(22) t(23)； xx3=-polyval(a2，t3(1：2)，dht3

8、)； %取t3各時(shí)刻的流量 c3=polyfit（t3，xx3，3）； %擬合3次多項(xiàng)式 t3=20.8：0.1：24； x3=polyval（c3，tp3）；% x3輸出第2供水時(shí)段 （外推至t=24）各時(shí)刻的流量MATLAB(llgj4)擬合(n h)的流量函數(shù)為：共十九頁(yè) 第1、2時(shí)段和第1、2供水時(shí)段流量的積分之和，就是一天總用水量雖然諸時(shí)段的流量已表為多項(xiàng)式函數(shù)，積分可以解析地算出，這里仍用數(shù)值積分計(jì)算(j sun)如下： y1=0.1*trapz(x1)； %第1時(shí)段用水量（仍按高 度計(jì)），0.1為積分步長(zhǎng) y2=0.1*trapz(x2)； %第2時(shí)段用水量 y12=0.1*tr

9、apz(x12)； %第1供水時(shí)段用水量 y3=0.1*trapz(x3)； %第2供水時(shí)段用水量 y=（y1+y2+y12+y3）*237.8*0.01； %一天總用水量（ ） 計(jì)算結(jié)果：y1=146.2, y2=266.8, y12=47.4, y3=77.3，y=1250.4MATLAB(llgjz) 3、一天(y tin)總用水量的估計(jì)共十九頁(yè)計(jì)算出的各時(shí)刻的流量可用水位(shuwi)記錄的數(shù)值微分來(lái)檢驗(yàn)用水量y1可用第1時(shí)段水位(shuwi)測(cè)量記錄中下降高度968-822=146來(lái)檢驗(yàn)，類(lèi)似地，y2用1082-822=260檢驗(yàn)供水時(shí)段流量的一種檢驗(yàn)方法如下：供水時(shí)段的用水量加上水

10、位上升值260是該時(shí)段泵入的水量，除以時(shí)段長(zhǎng)度得到水泵的功率（單位時(shí)間泵入的水量），而兩個(gè)供水時(shí)段水泵的功率應(yīng)大致相等第1、2時(shí)段水泵的功率可計(jì)算如下： p1=(y12+260)/2； %第1供水時(shí)段水泵的功率 （水量仍以高度計(jì)） tp4=20.8：0.1：23； xp2=polyval（c3，tp4）； % xp2輸出第2供水時(shí)段 各時(shí)刻的流量 p2=(0.1*trapz(xp2)+260)/2.2； %第2供水時(shí)段水泵的功率 （水量仍以高度計(jì)）計(jì)算結(jié)果：p1=154.5 ，p2=140.1MATLAB (ll)4、流量(liling)及總用水量的檢驗(yàn)共十九頁(yè)計(jì)算結(jié)果流量(liling)函數(shù)為：共十九頁(yè)流量(liling)曲線見(jiàn)圖 n=(3,4)n=(5,6)共十九頁(yè)內(nèi)容摘要建 模 案 例 選 講:。2）a1=polyder（c1）。% a1輸出多項(xiàng)式（系數(shù)為c1）導(dǎo)數(shù)的系數(shù)。設(shè)