1、 基礎知識：一、二次函數(shù)定義：形如yax2bxc(a0)的函數(shù)叫二次函數(shù).二次函數(shù)的有關性質 a0時，開口向上 開口方向 a0時，開口向下 對稱軸方程 x 自然定義域：R 定義域 指定定義域：Da0y0 xx0ya0圖象 x x二次函數(shù)的解析式 一般式：yax2bxc 頂點式：ya(xm)2n，其中(m，n)是二次函數(shù)圖象的頂點 交點式：ya(xx1)(xx2)，其中x1、x2是一元二次方程ax2bxc0的兩實根二、二次方程當f(x)ax2bxc中，f(x)0時，即得到二次方程 ax2bxc0其解的幾何意義即為二次函數(shù)的圖象與x軸的交點橫坐標.根的判別式b24ac0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根

2、；0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；0時，方程無實數(shù)根，但有兩個共軛的虛數(shù)根根與系數(shù)的關系(韋達定理)x1x2，x1x2二次方程根的分布根的位置圖象位置等價條件ax2bxc0(a0)若有二根x11，x21則f0 若有二根x1，x2(2，3)則 f0 f0 0 (2，3)三、一元二次不等式y(tǒng)0 xy0 xa0y0 xx0 x1 x2一元二次不等式ax2bxc0(或0)的解集，即函數(shù)f(x)ax2bxc的自變量的取值范圍，使其函數(shù)值f(x)0(或0)的自變量的取值范圍. 0 0 0例題：y0 x選擇填空題 f(x)x2bxc對任意實數(shù)t都有f(2t)f(2t)，那么( )A.fffB.fffC.fff

3、D.fff解：由題意，f(x)的圖象關于直線x2對稱，且圖象開口向上，畫出示意圖，由圖象知fff，選A x2 已知ylog(x22x)在區(qū)間(，0)上單調遞增，則a的取值范圍是( )A.a1B.1a1C.aR且a0D.a1或a1解：由函數(shù)的單調性的定義知：x在(，0)上增大時，函數(shù)值y隨之增大，故有以下過程：x: 0ux22x:0故必有0a21 1a1且a0.選B 已知函數(shù)ylog(x26x7)，則y( )A.有最大值沒有最小值B.有最小值沒有最大值C.有最大值也有最小值D.沒有最大值也沒有最小值解： ux26x72，)而定義域要求u0，即u(0，) blog0.5u b(，).選D填空題方程

4、x22|x|a(aR)有且僅有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_.解：令y1x22|x|，y2a則y1，其函數(shù)圖象如下：思考：a為何(范圍)值時，方程無實數(shù)根？有四個實數(shù)根？有三個實數(shù)根？關于x的方程x22ax90的兩個實數(shù)根分別為、，則(1)2(1)2的最小值是_.解：方程有實數(shù)根，故4a2490 a3或a3又2a，9 y(1)2(1)2 ()22()22 4a24a16 a3或a3 y8(a3時取等號) ymin8已知函數(shù)yx24ax2a30的圖象與x軸無交點，求關于x的方程|a1|1的根的范圍.分析：由于圖象與x軸沒有交點， 所以0，解得a的取值范圍 又對于每一個a值，原方程都是一

5、元一次方程，但由于a是變化的，可知，x是a的二次函數(shù)，又再轉化為二次函數(shù)在有限制的區(qū)間內(nèi)的值域問題.解： yx24ax2a30的圖象與x軸無交點，所以(4a)24(2a30)0解得：2.5a3當a(2.5，1時，方程化為x(a3)(2a) a2a6(當a(1，3)時，方程化為x(a3)aa23a(4，18)綜上所述：x(，18)設a，b為實常數(shù)，k取任意實數(shù)時，函數(shù)y(k2k1)x22(ak)2x(k23akb)的圖象與x軸都交于點A(1，0). 求a、b的值； 若函數(shù)與x軸的另一個交點為B，當k變化時，求|AB|的最大值.分析：由A在曲線上，得k的多項式對k恒成立，即可求的a，b的值.解：由

6、已知條件，點A(1，0)在函數(shù)圖象上，故(k2k1)2(ak)2(k23akb)0整理得：(1a)k(b12a2)0 對kR，上式恒成立 1a0且b12a20從而a1，b1y(k2k1)x22(k1)2x(k23k1)設B(，0)，則|AB|1|(k2k1)x2-2(k1)2x(k23k1)0的兩個根為1、，由韋達定理1整理得：(1)k2(3)k(1)01時，得2k0 k01時， kR， 0即(3)24(1)20得：1且1綜合得：1 21 |AB|1|0，2即|AB|的最大值為2.設實數(shù)a、b、c滿足a2bc8a70 b2c2bc6a60 求a的取值范圍.分析：如何將含有三個變量的兩個方程組成

7、的方程組問題，轉化為只含有a的不等式，是解決本題的關鍵，仔細分析觀察方程組的特點，發(fā)現(xiàn)可以利用a來表示bc及bc，從而用韋達定理構造出a為變量的一元二次方程，由0建立a的不等式.解：由得：bca28a7 由得：(bc)2a22a1 即bc(a1) 由得b，c為方程x2(a1)x(a28a7)0的兩個實數(shù)根，由于b，cR，所以0即：(a1)24(a28a7)0即：a210a90得：1a9設二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的兩個根x1、x2滿足0 x1x2.當x(0，x1)時，證明xf(x)x1；.設函數(shù)f(x)的圖象關于直線xx0對稱，證明:x0.分析：由于涉及方程根的問題，故需用韋達定理來分析和解決.證明:.令F(x)f(x)x.因為x1、x2是方程f(x)x0的根，得 F(x)a(xx1)(xx2)當x(0，x1)時，由于x1x2，xx10，xx20得(xx1)(xx2)0，又a0，得 F(x)a(xx1)(xx2)0即xf(x).而x1f(x)x1xF(x)x1xa(xx1)(xx2)(x1x)1a(xx2)因為0 xx1x2所以x1x0，1a(xx2)1a0得 x1f(x)0即 f(x)x1.依題意知x0.因為x1，x2是方程f(x)x0的根，即x1，x2是方程ax2(b1)xc0的根，所以 x1x2