1、 . PAGE 16 . .高三數(shù)學(xué)立體幾何專題(文科)1.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的點(diǎn).（）證明：PB / 平面AEC；（）設(shè)AP=1，AD=，三棱錐P-ABD的體積V=，求A點(diǎn)到平面PBD的距離.2.如圖，四棱錐PABCD中，ABCD，AB2CD，E為PB的中點(diǎn)(1)求證：CE平面PAD；(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論，若不存在，請說明理由3如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAC平面ABCD，且PAAC，PAAD2，四邊形ABCD滿足BCAD，ABAD，ABBC1.點(diǎn)E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PB，P

2、C上的點(diǎn)，且eq f(PE,PB)eq f(PF,PC)(0)(1)求證：EF平面PAD； (2)當(dāng)eq f(1,2)時，求點(diǎn)D到平面AFB的距離4.如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形(1)證明：平面A1BD平面CD1B1；(2)若平面ABCD平面B1D1C直線l，證明：B1D1l.5.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：APGH.6.如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點(diǎn)證明：(1)CDAE；(2)PD

3、平面ABE.7.(2018北京通州三模,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PAB為等邊三角形,E是PB中點(diǎn),平面AED與棱PC交于點(diǎn)F.(1)求證:ADEF; (2)求證:PB平面AEFD;(3)記四棱錐P-AEFD的體積為V1,四棱錐P-ABCD的體積為V2,直接寫出 QUOTE 的值.8.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB60且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G為AD的中點(diǎn)(1)求證：BG平面PAD；(2)求證：ADPB；(3)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF平面

4、ABCD？并證明你的結(jié)論9.(2016高考北京卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求證：DC平面PAC；(2)求證：平面PAB平面PAC； (3)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF？說明理由10.如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)P，C)，平面ABE與棱PD交于點(diǎn)F.(1)求證：ABEF；(2)若AFEF，求證：平面PAD平面ABCD.11.如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，PAABBCeq r(3)，ADCD1，ADC120，點(diǎn)M是AC與BD的交點(diǎn)，點(diǎn)N在線段PB上，且PNeq

5、f(1,4)PB.(1)證明：MN平面PDC；(2)求直線MN與平面PAC所成角的正弦值12.(2016高考四川卷)如圖，在四棱錐PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDeq f(1,2)AD(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M，使得直線CM平面PAB，并說明理由；(2)證明：平面PAB平面PBD13(2016高考江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求證：(1)直線DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.14.【2014,19】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.（

6、1）證明：（2）若,求三棱柱的高.15.(2017天津,文17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD平面PDC,AD BC, PDPB, AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值;(2)求證:PD平面PBC;(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.16.(2016高考浙江卷)如圖，在三棱臺ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求證：BF平面ACFD；(2)求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值17.(2018全國)如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧eq xto(CD)所在平面垂直，M是eq xto(C

7、D)上異于C，D的點(diǎn)(1)證明：平面AMD平面BMC.(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC平面PBD？說明理由立體幾何中的翻折問題18.如圖(1)，在直角梯形ABCD中，ADBC，BADeq f(,2)，ABBCeq f(1,2)ADa，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到圖(2)中A1BE的位置，得到四棱錐A1BCDE.(1)證明：CD平面A1OC；(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時，四棱錐A1BCDE的體積為36eq r(2)，求a的值19.如圖1，在直角梯形ABCD中，ADC90，ABCD，ADCDeq f(1,2)AB2，E為AC的中點(diǎn)，將ACD沿AC折起，使折

8、起后的平面ACD與平面ABC垂直，如圖2.在圖2所示的幾何體DABC中：(1)求證：BC平面ACD；(2)點(diǎn)F在棱CD上，且滿足AD平面BEF，求幾何體FBCE的體積20如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，過點(diǎn)E、F的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形EFGH.(1)求證：A1ED1F；(2)判斷A1D與平面的關(guān)系高三數(shù)學(xué)立體幾何專題(文科)1解析：（）設(shè)AC的中點(diǎn)為O， 連接EO. 在三角形PBD中，中位線EO/PB，且EO在平面AEC上，所以PB/平面AEC. （）AP=1，作AHPB角PB于H，由題意可知BC平

9、面PAB，BCAH，故AH平面PBC又，故A點(diǎn)到平面PBC的距離.2.(1)證明：如圖所示，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH，因為E為PB的中點(diǎn)， 所以EHAB，EHeq f(1,2)AB，又ABCD，CDeq f(1,2)AB 所以EHCD，EHCD，因此四邊形DCEH是平行四邊形， 所以CEDH，又DH平面PAD，CE平面PAD， 所以CE平面PAD(2)如圖所示，取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF， 所以AFeq f(1,2)AB， 又CDeq f(1,2)AB，所以AFCD，又AFCD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，所以CFAD，又CF平面PAD，所以CF平面PAD，由(1)可知CE平面P

10、AD， 又CECFC，故平面CEF平面PAD，故存在AB的中點(diǎn)F滿足要求3.(1)證明eq f(PE,PB)eq f(PF,PC)(0)，EFBC.BCAD，EFAD.又EF平面PAD，AD平面PAD，EF平面PAD.(2)解eq f(1,2)，F(xiàn)是PC的中點(diǎn)，在RtPAC中，PA2，ACeq r(2)，PCeq r(PA2AC2)eq r(6)，PFeq f(1,2)PCeq f(r(6),2).平面PAC平面ABCD，且平面PAC平面ABCDAC，PAAC，PA平面PAC，PA平面ABCD，PABC.又ABAD，BCAD，BCAB，又PAABA，PA，AB平面PAB，BC平面PAB， BC

11、PB，在RtPBC中，BFeq f(1,2)PCeq f(r(6),2).連接BD，DF，設(shè)點(diǎn)D到平面AFB的距離為d，在等腰三角形BAF中，BFAFeq f(r(6),2)，AB1，SABFeq f(r(5),4)，又SABD1，點(diǎn)F到平面ABD的距離為1，由VFABDVDAFB，得eq f(1,3)11eq f(1,3)deq f(r(5),4)，解得deq f(4r(5),5)，即點(diǎn)D到平面AFB的距離為eq f(4r(5),5).4.證明(1)由題設(shè)知BB1DD1且BB1DD1，所以四邊形BB1D1D是平行四邊形， 所以BDB1D1.又BD平面CD1B1，B1D1平面CD1B1，所以B

12、D平面CD1B1.因為A1D1B1C1BC且A1D1B1C1BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，所以A1BD1C.又A1B平面CD1B1，D1C平面CD1B1， 所以A1B平面CD1B1.又因為BDA1BB，BD，A1B平面A1BD， 所以平面A1BD平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD平面CD1B1，又平面ABCD平面B1D1C直線l，平面ABCD平面A1BD直線BD，所以直線l直線BD，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四邊形BDD1B1為平行四邊形，所以B1D1BD，所以B1D1l.5.連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，因為PMMC，AOOC，所以PAMO，因為PA平面MB

13、D，MO平面MBD，所以PA平面MBD因為平面PAHG平面MBDGH，所以APGH.6.證明 (1)在四棱錐PABCD中，因為PA底面ABCD， CD平面ABCD，所以PACD，因為ACCD，且PAACA，所以CD平面PAC，而AE平面PAC，所以CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.因為E是PC的中點(diǎn)，所以AEPC.由(1)知AECD，且PCCDC，所以AE平面PCD而PD平面PCD，所以AEPD因為PA底面ABCD，所以PAAB又因為ABAD且PAADA，所以AB平面PAD，而PD平面PAD，所以ABPD又因為ABAEA，所以PD平面ABE.7.(1)證明 因為ABCD

14、為正方形,所以ADBC. 因為AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC.因為AD平面AEFD,平面AEFD平面PBC=EF, 所以ADEF.(2)證明 因為四邊形ABCD是正方形,所以ADAB.因為平面PAB平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,AD平面ABCD,所以AD平面PAB.因為PB平面PAB,所以ADPB.因為PAB為等邊三角形,E是PB中點(diǎn),所以PBAE.因為AE平面AEFD,AD平面AEFD,AEAD=A,所以PB平面AEFD.(3)解 由(1)知,V1=VC-AEFD,VE-ABC=VF-ADC= QUOTE VC-AEFD= QUOTE V1,VBC-AEFD

15、= QUOTE V1,則VP-ABCD=V1+ QUOTE V1= QUOTE V1, QUOTE .8.解 (1)證明：在菱形ABCD中，DAB60，G為AD的中點(diǎn)，所以BGAD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD(2)證明：如圖，連接PG.因為PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，所以PGAD由(1)知，BGAD，又PG BGG，所以AD平面PGB因為PB平面PGB，所以ADPB(3)當(dāng)F為PC的中點(diǎn)時，滿足平面DEF平面ABCD證明如下：取PC的中點(diǎn)F，連接DE、EF、DF.在PBC中，F(xiàn)EPB，在菱形ABCD中，GBDE.而FE平面DEF，DE平面DEF

16、，EFDEE，PB平面PGB，GB平面PGB，PBGBB，所以平面DEF平面PGB因為BG平面PAD，PG平面PAD，所以BGPG.又因為PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD又PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD9.【解】(1)證明：因為PC平面ABCD，所以PCDC.又因為DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.(2)證明：因為ABDC，DCAC，所以ABAC.因為PC平面ABCD，所以PCAB又因為PCACC，所以AB平面PAC.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(3)棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA平面CEF.理由如下：如圖，取PB中點(diǎn)F，

17、連接EF，CE，CF.又因為E為AB的中點(diǎn)，所以EFPA.又因為PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.10.證明(1)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABCD. 又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB平面PDC，又因為AB平面ABE，平面ABE平面PDCEF，所以ABEF.(2)因為四邊形ABCD是矩形，所以ABAD.因為AFEF，(1)中已證ABEF，所以ABAF.又ABAD，由點(diǎn)E在棱PC上(異于點(diǎn)C)，所以點(diǎn)F異于點(diǎn)D，所以AFADA，AF，AD平面PAD，所以AB平面PAD，又AB平面ABCD，所以平面PAD平面ABCD.11.(1)證明因為ABBC，ADCD， 所以

18、BD垂直平分線段AC.又ADC120，所以MDeq f(1,2)ADeq f(1,2)，AMeq f(r(3),2). 所以ACeq r(3).又ABBCeq r(3)，所以ABC是等邊三角形，所以BMeq f(3,2)，所以eq f(BM,MD)3，又因為PNeq f(1,4)PB，所以eq f(BM,MD)eq f(BN,NP)3，所以MNPD.又MN平面PDC，PD平面PDC，所以MN平面PDC.(2)解因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPA，又BDAC，PAACA，PA，AC平面PAC，所以BD平面PAC.由(1)知MNPD，所以直線MN與平面PAC所成的角即直線PD與平

19、面PAC所成的角，故DPM即為所求的角在RtPAD中，PD2，所以sinDPMeq f(DM,DP)eq f(f(1,2),2)eq f(1,4)， 所以直線MN與平面PAC所成角的正弦值為eq f(1,4).12.【解】(1)取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD)，點(diǎn)M即為所求的一個點(diǎn)理由如下：因為ADBC，BCeq f(1,2)AD，所以BCAM，且BCAM，所以四邊形AMCB是平行四邊形，從而CMAB又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB(說明：取棱PD的中點(diǎn)N，則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)證明：由已知，PAAB，PACD，因為ADBC，BCeq f(1,2)AD，

20、所以直線AB與CD相交所以PA平面ABCD，從而PABD連接BM，因為ADBC，BCeq f(1,2)AD，所以BCMD，且BCMD所以四邊形BCDM是平行四邊形所以BMCDeq f(1,2)AD，所以BDAB又ABAPA，所以BD平面PAB又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD13.證明 (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC.在ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)， 所以DEAC，于是DEA1C1.又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1.因為A1C1平面A1B1C1，所以A

21、1AA1C1.又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1.因為B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，所以B1D平面A1C1F.因為直線B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F14.證明：()連接 BC1，則O為B1C與BC1的交點(diǎn)，AO平面BB1C1C. AOB1C， 2分 因為側(cè)面BB1C1C為菱形，BC1B1C，4分BC1平面ABC1，AB平面ABC1，故B1CAB. 6分()作ODBC，垂足為D，連結(jié)AD，AOBC，B

22、C平面AOD，又BC平面ABC，平面ABC平面AOD，交線為AD，作OHAD，垂足為H，OH平面ABC. 9分CBB1=60，所以CBB1為等邊三角形，又BC=1，可得OD=，由于ACAB1，由 OHAD=ODOA，可得OH=，又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC 的距離為，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。 12分另解(等體積法)：CBB1=60，所以CBB1為等邊三角形，又BC=1，可得BO=，由于ACAB1，AB=1，AC=，9分則等腰三角形ABC的面積為，設(shè)點(diǎn)B1到平面ABC的距離為d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。 12分15

23、.(1)解 如圖,由已知ADBC,故DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因為AD平面PDC, 所以ADPD.在RtPDA中,由已知,得AP= QUOTE ,故cosDAP= QUOTE .所以,異面直線AP與BC所成角的余弦值為 QUOTE .(2)證明 因為AD平面PDC,直線PD平面PDC, 所以ADPD.又因為BCAD,所以PDBC.又PDPB,所以PD平面PBC.(3)解 過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.因為PD平面PBC,故PF為DF在平面PBC上的射影,所以DFP為直線DF和平面PBC所成的角.由于ADB

24、C,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,可得DF= QUOTE =2 QUOTE , 在RtDPF中,可得sinDFP= QUOTE .所以,直線AB與平面PBC所成角的正弦值為 QUOTE 16.【解】(1)證明：延長AD，BE，CF相交于一點(diǎn)K，如圖所示因為平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，因此BFAC.又因為EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BFCK.所以BF平面ACFD(2)因為BF平面ACK，所以BDF是直線BD與平面ACFD所成的角在RtBFD中，BFe

25、q r(3)，DFeq f(3,2)，得cosBDFeq f(r(21),7)，所以直線BD與平面ACFD所成角的余弦值為eq f(r(21),7).17.(1)證明由題設(shè)知，平面CMD平面ABCD，交線為CD.因為BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，又DM平面CMD，故BCDM.因為M為eq xto(CD)上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DMCM.又BCCMC，BC，CM平面BMC，所以DM平面BMC.又DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)解當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時，MC平面PBD.證明如下：連接AC，BD，交于點(diǎn)O.因為ABCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn)連接OP，因為P為AM的中點(diǎn)，所以MCOP.又MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC平面PBD.18.(1)證明：在題圖(1)中，因為ABBCeq f(1,2)ADa， E是AD的中點(diǎn)，BADeq f(,2)，所以BEAC.(2分)即在題圖(2)中，BEA1O，BEOC，(3分)從而BE平面A1O