1、排列組合1、排列：從N 不同元素中，任取M 個(gè)元素（被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從N個(gè)不同元素中取出 M個(gè)元素的一個(gè)排列。2、組合：從N個(gè)不同元素中取出M個(gè)元素并成一組，叫做從 N個(gè)不同元素中取出M個(gè)元素的一個(gè)組合（不考慮元素順序）3、分步計(jì)數(shù)原理（也稱乘法原理）：完成一件事，需要分成 n個(gè)步驟，做第1步有ml種不 同的方法，做第2步有m2種不同的方法做第 n步有mn種不同的方法。那么完成這件事 共有N= mix m2xx mn種不同的方法。4、分類計(jì)數(shù)原理：完成一件事有n類辦法，在第一類辦法中有mi種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法在第 n類辦法中有mn種不同的

2、方法，那么完成這件事共有N= m1+ m2+ + mn種不同的方法。思路：1.首先明確任務(wù)的意義注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮題型一、排隊(duì)（使用捆綁與插空思維） ：七個(gè)同學(xué)排成一橫排照相：（ 1）某甲不站在排頭也不能在排尾的不同排法有多少種第一步先讓六個(gè)人排好： 6*5*4*3*2*1=720第二步：讓甲自由選擇中間的空擋 5 個(gè)中的一個(gè)，共有5 中選法所以： 720*5=3600（ 2）某乙只能在排頭或排尾的不同排法有多少種？第一步：確定乙在哪個(gè)位置排頭排尾選其一C2取1 = 2第二步：剩下的 6個(gè)人滿足P原則P66=7

3、20總數(shù)是 720X2= 1440（ 3）甲不在排頭或排尾，同時(shí)乙不在中間的不同排法有多少種？3120“坐板凳” ：先讓甲乙做好的方法有： 5+4+4+4+4+5=26其他人：排序坐： 5*4*3*2=12026 X 120 = 3120（ 4 ）甲、乙必須相鄰的排法有多少種？甲乙看成一個(gè)元素，排列6*5*4*3*2=720720*2=1440(5)甲必須在乙的左邊(不一定相鄰)的不同排法有多少種？ (2520)一共是7個(gè)位置，甲出現(xiàn)在乙的左邊和出現(xiàn)在乙的右邊的概率是一樣的。根據(jù)左右概率相等的原則則排在左邊的情況種數(shù)是5040+2= 25205、生產(chǎn)某種產(chǎn)品100件，其中有2件是次品，現(xiàn)在抽取

4、 5件進(jìn)行檢查.先兩件次品拿出來再?gòu)?8件中取出3件合格品(4) “其中至少有一件次品”的抽法有多少種？全部排列，然后去掉沒有次品的排列情況就是至少有1種的題型二，擋板的使用10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法？把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共 C(9.7)=36種題型三，錯(cuò)裝信封把n張信紙與n個(gè)已寫好相應(yīng)地址的信封任意打亂。問：所有信紙全都裝錯(cuò)了信封的情況有多少種N= 1封2封 3封4封 5封 6封(熟記前面 6個(gè))012944 256公式為：設(shè)有編號(hào)為1, 2, 3,

5、4, 5的五個(gè)球和編號(hào)為1, 2, 3, 4, 5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投放入五個(gè)盒內(nèi)，要求每個(gè)盒內(nèi)投放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投放方法的總數(shù)為A. 20 種 B. 30 種 C. 60 種 D. 120 種某省決定對(duì)所轄8 個(gè)城市的黨政一把手進(jìn)行任職交流， 要求把每個(gè)干部都調(diào)到另一個(gè)城市去擔(dān)任相應(yīng)的職務(wù)問共有多少種不同的干部調(diào)配方案？（14833）同室四人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡則四張賀年卡的不同分配方式有 A 6種 B 9種 C 11 種 D 23種有 5 個(gè)客人參加宴會(huì)，他們把帽子放在衣帽寄放室內(nèi)，宴會(huì)結(jié)束后每人戴了

6、一頂帽子回家回家后，他們的妻子都發(fā)現(xiàn)他們戴了別人的帽子問 5 個(gè)客人都不戴自己帽子的戴法有多少種？（ 44）題型三，圓周排列圓周排列數(shù)為直線排列數(shù)/ 排列之個(gè)數(shù)，另，項(xiàng)鏈排列數(shù)就是環(huán)狀排列數(shù)除以 2五對(duì)夫婦圍圓桌而坐, 試問男女相間坐的方法數(shù)為何 ?先直線排列：先讓男的坐定 5個(gè)位置：5X 4X3X2,女的再隔空插進(jìn)去：5X4X3X2男女位置可以互換：因此直線排列為：5X 4X3X2X5X4X3X2X 2圓周排列，再除以元素10, 結(jié)果為 2880五對(duì)夫婦圍圓桌而坐, 試問每對(duì)夫妻相鄰而坐的方法數(shù)為何 ?先直線排列：夫妻綁定： 2*2*2*2*25 對(duì)夫妻 5 個(gè)元素全排列： 5*4*3*2所

7、以，圓周排列為：5*4*3*2*2*2*2*2*2/5五對(duì)夫婦共10 人，圍一圓桌而坐，求下列各條件的坐法有幾種： （1） 夫婦相鄰且男女相間隔。 （2） 每對(duì)夫婦相對(duì)。5 位先生先坐，有 （5 1） ! =4!（種）坐法, TOC o 1-5 h z 上述每種坐法中， 5 位太太只有2 種坐法 （ 都坐自己先生的左方或右方） ，故共有4! X2 = 48 （種）坐法（2）解一、C1先讓一對(duì)夫婦入坐，坐法只有1種，再讓其余4對(duì)夫婦入坐，有4!種坐法上述每種坐法中，其余4對(duì)夫婦的每對(duì)夫婦可互換位置，方法有24種故共有1X4! X 24= 384 （種）坐法解二、先選 1 人入坐，對(duì)面的人就固定了

8、，有1 種，從 8 個(gè)人再選 1 人入坐，有8 種，再?gòu)氖Ｏ碌?6 人中選 1 人，有 6 種，接著從剩下的 4 人中選 1 人，有 4 種，最后從剩下的 2 人中選 1 人，有 2 種。8*6*4*2=384 種。有 8 個(gè)不同顏色的珠子, 全部串成一項(xiàng)圈 , 試問其方法數(shù)有多少種 ?8 個(gè)全排列，再除以（ 8*2 ）其他具有代表意義的排列組合題目：1、從1、2、3、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有 個(gè)。設(shè)a,b,c 成等差，2b=a+c,可知b由a,c決定，又 2b是偶數(shù)，a,c同奇或同偶，即：從 1, 3, 5,，19或2, 4, 6, 8,，20 這十

9、個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列， 由此就可確定等差數(shù)列， 因而本題為 C（10,2）*2*2=1802、 在一塊并排的 10 壟田地中，選擇二壟分別種植A， B 兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A， B 兩種作物的間隔不少于6 壟，不同的選法共有 種。第一類：A 在第一壟，B 有3種選擇；第二類：A 在第二壟，B 有2種選擇；第三類：A 在第三壟，B 有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種。3、從6 雙不同顏色的手套中任取4 只，其中恰好有一雙同色的取法有 。（A）240 （B）180 （C）120 （D）60（一）從 6 雙中選出一雙同色的手套，有6 種方法；（二）從剩下的十只手套

10、中任選一只，有10 種方法。（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8 種方法；(四)由于選取與順序無關(guān)，因而(二) (三)中的選法重復(fù)一次，因而共240 種。4、身高互不相同的 6 個(gè)人排成 2 橫行 3 縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為 。每一縱列中的兩人只要選定， 則他們只有一種站位方法， 因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C(6.2)*C(4.2)*C(2.2)=90 種。5、在 11 名工人中，有5 人只能當(dāng)鉗工， 4 人只能當(dāng)車工，另外2 人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從 11 人中選出 4 人當(dāng)鉗工，

11、4 人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法?第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工， C(5.2)*C(4.4)=10第二類：這兩人有一個(gè)去當(dāng)鉗工， C(2.1)*C(5.3)*C(5.4)=100第三類：這兩人都不去當(dāng)鉗工， C(5.4)*C(6.4)=75因而共有 185 種。6、現(xiàn)有印著0， l ， 3 ， 5， 7 ， 9 的六張卡片，如果允許9 可以作 6 用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?分析：抽出的三個(gè)數(shù)中有9 的話才可能用 6 替換，因而必須分類。有 0 無 96*4 = 24有 9 無 0 6*6*2=72有 9 有 04*4*2=32無 9 無 04X6=24因此共有 15

12、2 種方法。 5*5*4*2-4*4*3=1527、停車場(chǎng)劃一排12 個(gè)停車位置，今有8 輛車需要停放， 要求空車位連在一起，不同的停車方法是 種。把空車位看成一個(gè)元素，和 8 輛車共九個(gè)元素排列，因而共有P(9.8) 種停車方法。8 、 對(duì)某件產(chǎn)品的 6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試， 至區(qū)分出所有次品為止。 若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能?本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品， 并且是最后一個(gè)次品， 因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。第一步：第五次測(cè)試的有C(4.1) 種可能；第二步：前四次有一件正品有C(6.1) 種可能。第三步：前四次有

13、P(4.4) 種可能。C(4.1)*C(6.1)*P(4.4)9、某人射擊8 槍，命中 4 槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況?連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的 5 個(gè)空中選出 2 個(gè)的排列，即 P(5.2).10、上有編號(hào)為l , 2, 3,，10十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉， 但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只， 在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下， 求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種 ?即關(guān)掉的燈不能相鄰， 也不能在兩端。 又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別， 因而問題為在7 盞亮著的燈形

14、成的不包含兩端的 6 個(gè)空中選出 3 個(gè)空放置熄滅的燈。共 C(6.3)=20 種方法。11、同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法?三個(gè)相同的紅球,有4彳固空，兩個(gè)不同的白球，可以一彳固一彳固插，也可以 2彳固一起插、P(4.2)+P(4.1)*2=2012、女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法?分析：首先不考慮男生的站位要求，共P(9.9) 種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了P(5.5)次。因而有 P(9.9)/P(5.5)=9 X 8X 7X 6=3024種。若男生從右至左按從高到矮的順序， 只有一種站法， 同理也

15、有 3024 種，綜上，有6048 種。用數(shù)字 0， 1， 2， 3， 4， 5 組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)?可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)?可組成多少個(gè)能被3 整除的四位數(shù) ?將(1) 中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第85 項(xiàng)是什么 ?( 1 )有 P(6,4)-P(5,3) 個(gè)。( 2 )分為兩類：0 在末位，則有p(5,3) 種0 不在末位，則有c(2,1)c(4,1)p(4,2) 種。共 p(5,3)+c(2,1)c(4,1)p(4,2) 種。( 3 )先把四個(gè)相加能被3 整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來，即先選0， 1 ， 2， 30， 1 ， 3， 50，

16、 2 ， 3， 40, 3, 4, 51, 2, 4, 5它們排列出來的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：4X c(3,1)p(3,3)+p(4,4)=96 種。(4)將(1)中的四位數(shù)按從小到大的順序排成一數(shù)列，問第 85項(xiàng)是什么？(類似的題目09年考過)首位為1的有p(5,3)=60個(gè)。前兩位為20的有p(4,2)=12個(gè)。前兩位為21的有p(4,2)=12 個(gè)。因而第85項(xiàng)是前兩位為23的最小數(shù)，即為2301。13、不同的書 TOC o 1-5 h z (1)分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法？(2)分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？(3)分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆

17、三本，有多少種不同的分法？(4)甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法？(5)分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法？(1)分給甲乙丙三人，每人兩本，有多少種不同的分法？ C(6.2)C(4.2)(2)分成三堆，每堆兩本，有多少種不同的分法？C(6.2)C(4.2)/P(3.3)(3)分成三堆，一堆一本，一堆兩本，一堆三本，有多少種不同的分法？C(6.3)C(3.2)(4)甲一本，乙兩本，丙三本，有多少種不同的分法？ C(6.3)C(3.2) TOC o 1-5 h z (5)分給甲乙丙三人，其中一人一本，一人兩本，第三人三本，有多少種不同的分法？C(6.3

18、)C(3.2)P(3.3)分組問題是排列組合中的一個(gè)難點(diǎn)，主要有以下三種情況：1 .1非平均分組問題在非平均分組問題中，不管是給出組名或不給出組名，其分組的方法相同【例1】 把1 2個(gè)人分成如下三組，分別求出以下各種分組的方法數(shù)(1)分成甲、乙、丙三組，其中甲組7人、乙組3個(gè)、丙組2人 (2)分成三組，其中一組7人、一組3人、一組2人 解：(1)先從1 2人中任選7人為甲組，余下5人中任選3人為乙組，剩下2人為丙73 2組，則共有CiqQG種不同的分組方法（2）先從1 2人中任選7人為一組有種選0口種選法，再?gòu)挠嘞?人中任選3人有Q法，剩下的2人為一組，共有 G/G/G種不同的方法.【點(diǎn)評(píng)】

19、由于各組人數(shù)不同，這個(gè)問題屬于非平均分組問題，盡管第（1）個(gè)問題中給出了甲、乙、丙三個(gè)組，而第（2）個(gè)問題只是給出了各組人數(shù)而沒有具體指定組名，但分組 的方法數(shù)都是一樣的.易錯(cuò)點(diǎn)：誤把（1）的結(jié)果表示為1 .2平均分組問題上面的非平均分組問題中， 是否給出組名對(duì)結(jié)果沒有影響，但在平均分組問題中一定要注意問題是否給出了具體的組名，它們的結(jié)果是不同的【例2】 有6本不同的書，按下列要求分配，各有多少種不同的分法？（1 ）分給甲、乙、丙三人，每人兩本 （2）平均分成三份.解：（1）從6本書中任取2本給一個(gè)人，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本給另一個(gè)人，剩下的2本給最后一人，共有 AG Gj o種分法.（2）設(shè)

20、平均分成三堆有x種方法，再分給甲、乙、丙三人每人得2本，則應(yīng)有暖也.二 一C盧=15=1 5種不同的分法.【點(diǎn)評(píng)】 上面例子可以看出：兩個(gè)問題都是分成3堆，每堆2本，屬于平均分組問題, 而（1）分到甲、乙、丙三人，屬于到位問題，相當(dāng)于給出了甲、乙、丙三個(gè)指定的組，但（2）沒有給出組名，因而結(jié)果是不同的.n flfl fl一般地，把n、m個(gè)不同元素平均分到 m個(gè)不同的位置，有 &刖種方法，把n、m個(gè)不同元素平均分成 m組有ml種分法.2 222飛、飛易錯(cuò)點(diǎn)：錯(cuò)把（1）的結(jié)論寫為G,錯(cuò)把（2）的結(jié)論寫為 臬勒心,.3局部平均分組問題 TOC o 1-5 h z 某些分組問題中，有一部分組之間的元素

21、的個(gè)數(shù)相同，但又不是所有組的元素都相同，這樣的分組稱為局部平均分組.解決這問題同樣要考慮分組時(shí)是否給出了組名【例3】（1）把6本不同的書分給4人，兩人各得1本，另外兩人各得2本，有幾種分法？（2 ）把6本不同的書分成4份，兩份各1本，兩份各2本，有幾種分法？解析：我們先來研究：“兩個(gè)無區(qū)別的白球與兩個(gè)無區(qū)別的紅球排成一排的方法數(shù)”問題.如果這4個(gè)球各不相同，則有 5白種排法，由于白球和紅球各有 月七種排法，因此兩個(gè)白球 .與兩個(gè)紅球排成一排的排法有 內(nèi)2* ?種，下面來解決上述問題.（1 ）可按下面步驟完成：先將6本書分成1本、1本、2本、2本4個(gè)部分，然后讓四個(gè)人去全排列取書，即有4G q

22、g=i 種.（2）先把6本書分成1本、1本、2本、2本的4堆，由于兩個(gè)1本與兩個(gè)2本是無區(qū)112 222別（沒有順序）的，因此，所求的分法數(shù)為產(chǎn)4）皿種.【點(diǎn)評(píng)】 兩個(gè)問題同屬局部平均分組問題，但（1 ）中指定分給了 4個(gè)人，相當(dāng)于指定了組名，而（2）沒有給出組名，因此分組的情況是不相同的.事實(shí)上，（1）中相當(dāng)于把4I 2 Nqq. % g本書分成兩份2本，兩份1本，共有212】 種分配方法，然后把它分給4個(gè)人 .在元素相同的組中， 若沒給出具體的組名， 則必須除以相同元素的組數(shù)的階乘，若把問題改為：把6本不同的書分成A、B、C、D四堆，其中A、B各2本，C、D各1本，則有幾種分法？該問題的分

23、法有4 & aG種分法.易錯(cuò)點(diǎn)：誤把（2 ）中的結(jié)論表示為C&G C& .因此，在解決分組問題中，要弄清以下幾點(diǎn)：分配對(duì)象是否明確（組名是否給出）？是否平均分配？是否局部平均分配？分配中有無順序關(guān)系？.擋板模型與分組問題擋板模型是解決排列組合問題的常用方法之一，且效果極佳，但有些分配問題如果不加分 析而亂套擋板模型，則極易出現(xiàn)誤解 .【例4】5個(gè)教師分配到3個(gè)班參加活動(dòng)，每班至少1人，有幾種不同的分法？錯(cuò)解： 把5個(gè)老師排成一排，中間投入四塊擋板：0| 0 | 0 | 0 | 0 ,只要在4塊擋板中任取2塊，一共有 G= 6種不同的方法.錯(cuò)因：5個(gè)教師是互不相同的，而用擋板時(shí)，要求這些元素必須

24、相同.即把問題改為：把5個(gè)名額分配給3個(gè)班，每班至少有1人.問有幾種不同的分法？ 5個(gè)名額是沒有區(qū)別順序的.可用擋板法解決.dq耳怦正解：先把5位老師分成三堆， 有兩類：1、1、3和1、2、2分別有 小 和 工： QC2cl 十QGG /種，再分到三個(gè)班里，共有=1 5 0種.【點(diǎn)評(píng)】 類似上面的分配問題，當(dāng)元素有區(qū)別時(shí)，要利用分組辦法解決，當(dāng)元素?zé)o區(qū)別 時(shí)，可用擋板模型來解決.擋板模型與雙排問題在元素?zé)o區(qū)別分配問題中，通?？紤]用擋板模型來解決，但一定要注意題目給出的條件， 否則極易出錯(cuò).【例5】 從5個(gè)班中選1 0人組成一個(gè)籃球隊(duì)（無任何要求），有幾種選法？錯(cuò)解： 選把1 0個(gè)指標(biāo)排好，寸1

25、入9塊擋塊：0|0|0|0|0|0|0|0|0|0然后在9塊擋板中任取4塊即可分成5份，有C =12 6種分法.錯(cuò)因：?jiǎn)栴}并沒有給出“每班至少1人”這個(gè)條件，而采用擋板解決時(shí)，實(shí)際上它就是要求每班至少有1人參加.事實(shí)上，這1 0個(gè)名額可給一個(gè)班，也可給兩個(gè)班正解：因?yàn)榘?。個(gè)指標(biāo)分成5個(gè)部分，只須4塊擋板，稱為第一類元素，1。個(gè)指標(biāo)為第二類元素，共14個(gè)元素.當(dāng)這些元素都有區(qū)別時(shí)共有 A 14種排法.14,10jfl d但1。個(gè)指標(biāo)，4塊擋板各組之間不管怎么變化，其實(shí)就是一種情況的共有10 d =q或1 o o 1種不同分法（或 5外5日）.【點(diǎn)評(píng)】 當(dāng)分組數(shù)超過3個(gè)時(shí)，若沒有給出“每組至少有1個(gè)”這個(gè)條件時(shí)，是不能用擋板法解