1、常微分方程主講人：劉祚秋副教授Lzq_MobTel1 如何建立微分方程（方程組）？如何建立微分方程（方程組）？2 如何求解常微分方程（方程組）？如何求解常微分方程（方程組）？3 微分方程的基本理論：解的存在性、唯微分方程的基本理論：解的存在性、唯一性、穩(wěn)定性和幾何意義？一性、穩(wěn)定性和幾何意義？4 初值問題和邊值問題初值問題和邊值問題主要內(nèi)容主要內(nèi)容本課程包括哪些內(nèi)容？目的：利用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析目的：利用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的一些最重要也是最基本的微分方

2、程問題。中出現(xiàn)的一些最重要也是最基本的微分方程問題。成績考核：平時(shí)作業(yè)（20%），考勤（15%）、課堂討論（5%），期末考試（閉卷考試、60%，）（作業(yè)、考勤、討論成績期末考前給出）答疑時(shí)間：課后或到辦公室（工學(xué)院B304H）本次課程主要內(nèi)容1、常微分方程的發(fā)展簡史2、什么是微分方程？3、微分方程一些應(yīng)用 1.1.19世紀(jì)中葉，主要由等人完成的奠定性工作：解的存在唯一 性定理，以及等人對線性常微分方程的系統(tǒng)性研究工作。 2.2.19世紀(jì)末，20世紀(jì)初，由和分別創(chuàng)立了常微分 方程定性理論和穩(wěn)定性理論，這些工作的主要特點(diǎn)是不用求出方程的解， 可直接從方程本身討論其解的性質(zhì)，這代表了一種嶄新的研究非

3、線 性方程的新方法，其思想和作法一直深刻地影響到今天 解決科學(xué)問題的過程解決科學(xué)問題的過程數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值問題數(shù)值問題程序設(shè)計(jì)程序設(shè)計(jì)數(shù)值解數(shù)值解解析解解析解第一步建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型一般是比較困難的，既需要建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型一般是比較困難的，既需要熟悉與問題有關(guān)的自然規(guī)律，又需要有一定的數(shù)學(xué)知識。熟悉與問題有關(guān)的自然規(guī)律，又需要有一定的數(shù)學(xué)知識。2222222222sinsinsin0,sin,0dmamgmldtdmlmgdtdgdtlglddt 所以即當(dāng)很小時(shí)令則有12cossin22CtCtlTg解析解：周期：一般情況單擺方程無解析解，

4、需數(shù)值求解。 假設(shè)假設(shè)什么是微分方程？ 建立數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型, ,當(dāng)問題涉及變量的變化率時(shí)當(dāng)問題涉及變量的變化率時(shí), ,該模型就是微分方程該模型就是微分方程. . 聯(lián)系著自變量聯(lián)系著自變量, ,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的等式. . 微分方程理論及方法是研究自然規(guī)律和社會微分方程理論及方法是研究自然規(guī)律和社會規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法. .什么是微分方程？它是怎樣產(chǎn)生的？什么是微分方程？它是怎樣產(chǎn)生的？ 客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動過程中量與量之間的關(guān)系 ( )( )dP tkP tdt0)sin(ttvsv微分方程的應(yīng)用 自然科學(xué)自然科學(xué): : 物理、化

5、學(xué)、生物、工程、航物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域?？蘸教?、醫(yī)學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域。 社會科學(xué)社會科學(xué): : 經(jīng)濟(jì)經(jīng)濟(jì)、金融等領(lǐng)域金融等領(lǐng)域 例如：牛頓第二定律、萬有引力定律、機(jī)械例如：牛頓第二定律、萬有引力定律、機(jī)械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價(jià)格的變化等。漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價(jià)格的變化等。例例1 鐳的衰變規(guī)律鐳的衰變規(guī)律微分方程舉例已知鐳的衰變速律與其質(zhì)量成正比，設(shè)已知鐳的衰變速律與其質(zhì)量成正比，設(shè)t t

6、0 0時(shí)刻，有時(shí)刻，有 克鐳，試確定時(shí)刻克鐳，試確定時(shí)刻t t鐳鐳剩余的質(zhì)量剩余的質(zhì)量0R解: 設(shè)設(shè)t t時(shí)刻鐳的質(zhì)量為時(shí)刻鐳的質(zhì)量為R R（t t）,)()(dttdRtR對時(shí)間的變化律是由于鐳元素的衰變律就:衰變律可得依題目中給出鐳元素的,kRdtdR0)0(RR.)(, 0隨時(shí)間的增加而減少是由于這里tRk 其 解 ： kteRtR0)(即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的. 將某物體放置于空氣中將某物體放置于空氣中, 在時(shí)刻在時(shí)刻0t時(shí)時(shí), 測得它的溫度為測得它的溫度為,1500Cu10分鐘后測量得溫度為分鐘后測量得溫度為 試確定試確定此物此物.1001Cu體的

7、溫度體的溫度 和時(shí)間和時(shí)間 的關(guān)系的關(guān)系.ut例例2 物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型Newton 冷卻定律冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一定的溫度范圍內(nèi)在一定的溫度范圍內(nèi),一個(gè)物體的溫度變化速度與這一一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比. 設(shè)物體在時(shí)刻設(shè)物體在時(shí)刻 的溫度為的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, 則則 溫度的變化速度為溫度的變化速度為 由由Newton冷卻定律冷卻定律, 得到得到 t).(tu.dtdu)

8、,(auukdtdu其中其中 為比例系數(shù)為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型學(xué)模型.0k注意注意:此式子并不是直接給出此式子并不是直接給出 和和 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系,而只是而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式。如何求解？如何求解？ut解解:“姆潘巴現(xiàn)象姆潘巴現(xiàn)象”：熱牛奶比冷牛奶先結(jié)冰？：熱牛奶比冷牛奶先結(jié)冰？由由(2)就可以求任何時(shí)刻就可以求任何時(shí)刻t物體的溫度物體的溫度u的數(shù)值：的數(shù)值：；Cut；Cut；Cut01.24,1803 .24,12070,20Cut24,，用這一結(jié)果

9、可解釋實(shí)際問題。，用這一結(jié)果可解釋實(shí)際問題。0.05124 126(2)tue( )ktau tuce有有 k 和和 c 兩個(gè)未知數(shù)待確定。兩個(gè)未知數(shù)待確定。兩個(gè)已知條件：兩個(gè)已知條件：0,150tuC10,100tuC) 1 ()(auukdtdu式（式（1）是一階線性微分方程，解之）是一階線性微分方程，解之上例求解結(jié)果的圖例上例求解結(jié)果的圖例) 1 ()(auukdtdu；Cut；Cut；Cut01.24,1803 .24,12070,20Cut24,，用這一結(jié)果可解釋實(shí)際問題。，用這一結(jié)果可解釋實(shí)際問題。)2(1224051. 0teu 回顧整個(gè)求解過程：回顧整個(gè)求解過程： “姆潘巴現(xiàn)象

10、姆潘巴現(xiàn)象”：熱牛奶比冷牛奶先結(jié)冰？：熱牛奶比冷牛奶先結(jié)冰？例例3 R-L-C電路電路 如圖所示的如圖所示的R-L-C電路電路. 它包含電感它包含電感L,電阻電阻R,電容電容C及電源及電源e(t). 設(shè)設(shè)L,R,C均為常數(shù)均為常數(shù),e(t)是時(shí)間是時(shí)間t的已知函數(shù)的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)試求當(dāng)開關(guān)K合上后合上后,電電路中電流強(qiáng)度路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間與時(shí)間t之間的關(guān)系之間的關(guān)系. 電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律: 設(shè)當(dāng)開關(guān)設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后合上后, 電路中在時(shí)刻電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為的電流強(qiáng)度為I(t), 則電流則電流 經(jīng)過電感經(jīng)過電感L, 電阻電阻R和電容的電壓降分別為和電容的

11、電壓降分別為 其中其中Q為電量為電量,于是由于是由Kirchhoff第二定律第二定律, 得到得到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因?yàn)橐驗(yàn)?于是得到于是得到,dtdQI .)(122dttdeLLCIdtdILRdtId這就是電流強(qiáng)度這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 解解:在閉合回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 例例4 傳染病模型傳染病模型: :,假設(shè)條件為時(shí)間以天為計(jì)量單位不變考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)假設(shè)在疾病傳播期內(nèi)所N).()()1 (titst和別為在總?cè)藬?shù)中所占比例分染者人群中易感染者和已感在時(shí)刻.,)2(稱日接觸率的平均人數(shù)是每個(gè)病人每天有效接觸解解:根據(jù)題設(shè)根據(jù)題設(shè),每個(gè)病人每天可使每個(gè)病人每天可使.)( 個(gè)健康者變?yōu)椴∪藅s由于病人總?cè)藬?shù)為由于病人總?cè)藬?shù)為),(tNi所以每天共有所以每天共有.)()(個(gè)健康者被感染titNs于是病人增加率為于是病人增加率為,NsidtdiN再由初始條件得又因, 1)()( tits)1 (iidtdi0)