1、二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布第三章第三章 n二維隨機變量及其聯(lián)合分布二維隨機變量及其聯(lián)合分布n邊緣分布與獨立性邊緣分布與獨立性n兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布例如例如 E：抽樣調(diào)查：抽樣調(diào)查15-18歲青少年的身高歲青少年的身高 X與體重與體重 Y,以研究當前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。以研究當前該年齡段青少年的身體發(fā)育情況。 前面我們討論的是隨機實驗中單獨的一個隨機變量，又稱為一維隨機變量；然而在許多實際問題中，常常需要同時研究一個試驗中的兩個甚至更多個隨機變量。 不過此時我們需要研究的不僅僅是不過此時我們需要研究的不僅僅是X及及Y各自的性各自的性質(zhì)，質(zhì)， 更

2、需要了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約更需要了解這兩個隨機變量的相互依賴和制約關(guān)系。因此，關(guān)系。因此， 我們將二者作為一個整體來進行研究，我們將二者作為一個整體來進行研究，記為記為(X, Y),稱為二維隨機變向量。稱為二維隨機變向量。 設(shè)X、Y 為定義在同一樣本空間上的隨機變量，則稱向量（ X，Y ）為上的一個二維隨機變量。n定義定義二維隨機變量二維隨機變量二維隨機變量二維隨機變量(X, Y)(X, Y)的取值可看作平面上的點的取值可看作平面上的點（x，y）A二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)假設(shè)假設(shè)X X，Y Y是隨機變是隨機變量，量，對于任意的實數(shù)對于任意的實數(shù)x,y.x

3、,y.( , ),F x yP Xx Yy稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)稱為二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)(1)( , )F x yxy分別關(guān)于 和 單調(diào)不減(, )0Fy( ,)0F x (,)0F (,)1F (2) 0( , )1F x y(3) xy(x,y)x1x2y1y2 P Px1x1 X X x2x2，y1y1 Y Y y2y2） = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + = F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2) + F(x1,y1)F(x1,y1)聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率聯(lián)合分布函數(shù)表示矩形域概率P Px1 x1 X X x2 x2，

4、y1 y1 Y Y y2 y2）F(x2,y2)F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x2,y1)-F(x1,y2)-F(x1,y2)+F(x1,y1)+F(x1,y1)二維離散型隨機二維離散型隨機變量變量 若二維若二維 隨機變量隨機變量 （X X，Y Y的所的所有可能取值只有限對或可列對，則稱有可能取值只有限對或可列對，則稱X X，Y Y為二維離散型隨機變量。為二維離散型隨機變量。如何反映如何反映X X，Y Y的取值規(guī)律呢？的取值規(guī)律呢？n研究問題研究問題聯(lián)想一維離散型隨機變量的分布律。聯(lián)想一維離散型隨機變量的分布律。111ijijp YX1y2yjy1x11p12p1 jp2x21p22

5、p2 jpix1 ip2ipijp。.。.。. 。. 。. 。. 。. 。.。. 。. 。. 。. . 。. 。性質(zhì)性質(zhì) 01ijp, (1,2,;1,2,)ijijP Xx Yypij 一個口袋中有三個球， 依次標有數(shù)字1， 2， 2， 從中任取一個， 不放回袋中， 再任取一個， 設(shè)每次取球時， 各球被取到的可能性相等.以、分別記第一次和第二次取到的球上標有的數(shù)字， 求(, )X Y的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列. (, )X Y的可能取值為的可能取值為(1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ， (1/3) (1/3) (2/2) (2/2)1/31/3， ， (2/3) (2/3) (1

6、/2)(1/2)1/31/3， ，= (2/3) = (2/3) (1/2)(1/2)1/31/3， 1/31/31/3 例例解解 見書P69，習(xí)題1(, )X Y的可能取值為的可能取值為例例解解(0， 0)， (-1， 1)， (-1， 1/3)，（，（2，0）11(, )(0,0),(, )( 1,1)6315(, )( 1,1 3),(, )(2,0)1212PX YPX YPX YPX Y （X，Y的的聯(lián)合分布律為聯(lián)合分布律為 y X011/301/600-101/31/1225/1200( ,)( , )xyF x yf u v dudv 則稱則稱(X,Y)(X,Y)是二元連續(xù)型隨機

7、變量。是二元連續(xù)型隨機變量。f fx x，y y稱為二稱為二元隨機變量元隨機變量(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)的聯(lián)合概率密度函數(shù). .二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度 聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)聯(lián)合概率密度函數(shù)的性質(zhì)( ,)1fx y dxdy( ,)( ,)DPx yDf x y dn非負性非負性Dxy( , )f x y( , )0f x y n. .2( , )( , )F x yf x yx y n. .(,)1F 隨機事件的概率隨機事件的概率=曲頂柱體的體積曲頂柱體的體積 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量(, )X Y的概率密度為的概率密度為 (1)

8、確定常數(shù)確定常數(shù) k； (23 ) 0,0( , ) 0 xykexyf x y其它(, )X Y (2) 求求的分布函數(shù)；的分布函數(shù)；04,01PXY(3)求； . P XY (4) 求求例例23 00 xykedxedy230011 23xykee6k (1)(23 ) 0 0 xykedxdy 116k ( , )f x y dxdy 所以所以 解解 ( , )( , )xyF x yf u v dudv (2)當當 時，時，0,0 xy或( , )0F x y 當當 時，時，0,0 xy且2300( , )6xyxyF x yedudv 23(1)(1)xyee 所以，所以，23(1)

9、(1), (0,0)( , ) 0 xyeexyF x y 其他 04, 01PXY(3) 1 4(23 ) 0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95ee4 1或解或解 04, 01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(4,1)F83(1)(1)0.95ee0,0 xyyx x0y( , )DP XYf x y dxdy(4)32310yyeedy35323310055yyedyedy ( , )x yf x y dxdy(23 )600 xyyedx dy224例例 已知二維隨機變量已知二維隨機變量X，Y的分布密度為的分布密度為 1(6), 02,24( , )8

10、0, xyxyf x y其他求概率求概率 (1)1,3 ;(2)3P XYP XY解解 1,3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy112320113(6)828yxyydx3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx524續(xù)解續(xù)解 .x+y=3 思索思索 已知二維隨機變量已知二維隨機變量X，Y的分布密度為的分布密度為 1(6), 02,24( , )8 0, xyxyf x y其他求概率求概率 41P XYX2241解答解答 41P XYX4,11P XYXP X241224121(6)8

11、1(6)8xdxxy dydxxy dy7 4873 818二維均勻分布二維均勻分布1,( , )( , )0,x yDf x yA其它設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 (, )X Y的概率密度為的概率密度為 DA(, )X YD上服從均勻分布上服從均勻分布.在在，則稱，則稱是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為其中其中 思索思索 已知二維隨機變量已知二維隨機變量X，Y服從區(qū)域服從區(qū)域D上的上的均勻分布，均勻分布，D為為x軸，軸，y軸及直線軸及直線y=2x+1所圍成的三角形所圍成的三角形區(qū)域。求區(qū)域。求1分布函數(shù)；（分布函數(shù)；（2） 12P Y解解 （X,Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)

12、為 y=2x+1 -1/2 ( , ),F x yP Xx Yy（1當當 時，時，12x ( , )0F x yP 分布函數(shù)為分布函數(shù)為 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他y=2x+1 -1/2 （2當當 時，時，102x0( , )0,yf x y時，( , )0F x y 所以，021yx 時，( , )4F x ydxdy梯形42212ySyx 梯形21yx 時，( , )4F x ydxdy三角形21442Sx三角形y=2x+1 -1/2 （3當當 時，時，0 x 0( , )0,yf x y時，( , )0F x y 所以，01y 時，( , )4F x y

13、dxdy梯形4212ySy梯形1y 時，( , )4F x ydxdy三角形41S三角形所以，所求的分布函數(shù)為所以，所求的分布函數(shù)為 21 0, (0)21221 , (0,021)2211( , )4, (0,21)2221, (0,01)2 1, (0,1)xyyyxxyxF x yxxxyyyxyxy 或0.5y=2x+1 -1/2 12P Y4dxdy梯形34二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 (, )X Y的概率密度為的概率密度為 12222112222211221( , )21()()()()1exp22(1)f x yxxyy (,)xy 1212, 120,0

14、, 11 其中其中均為參數(shù)均為參數(shù) 則稱則稱 (, )X Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1212, 的二維正態(tài)分布的二維正態(tài)分布 221212(, )N 邊緣分布邊緣分布 marginal distribution(, )X Y 二維隨機變量二維隨機變量 ,是兩個隨機變量視為是兩個隨機變量視為一個整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布一個整體，來討論其取值規(guī)律的，我們可用分布函數(shù)來描述其取值規(guī)律。函數(shù)來描述其取值規(guī)律。( , ),F x yP Xx Yy 問題：能否由二維隨機變量的分布來確定兩個問題：能否由二維隨機變量的分布來確定兩個一維隨機變量的取值規(guī)律呢？如何確定呢？一維隨機變量的取值規(guī)律呢？如

15、何確定呢？邊緣分布問題邊緣分布問題 邊緣分布邊緣分布 marginal distribution(, )X Y( , )F x y 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 ， (, )X YXY依次稱為二維隨機變量依次稱為二維隨機變量關(guān)于關(guān)于和關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù)( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )( ,)XFxF x( )(, )YFyFy( ),(, )YFyP YyP XYyFy 二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 如果二維離散型隨機變量如果二維離散型隨機變量X,Y的聯(lián)合分布

16、律為的聯(lián)合分布律為 即即 YXy1y2y3x1p11p12p13x2p21p22p23x3p31p32p33ijjiipP Xxp二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布jijijpP Yyp關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布jijijpP Yyp關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布第第j列之和列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第

17、第i行之和行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3二維離散型二維離散型R.v.的邊緣分布的邊緣分布例例1 設(shè)二維離散型隨機變量設(shè)二維離散型隨機變量X,Y的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求關(guān)于求關(guān)于X、Y的邊緣分布的邊緣分布關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布的邊緣分布Y011/3概率 7/121/31/12解解 關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布為的邊緣分布為 X-102概率 5/121/65/12 YX011/3-101/31/1201/60025/1200（X，Y的聯(lián)合分布列的聯(lián)合分布列 二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 ( )( ,)

18、( , )XxFxF xf u v dv du n關(guān)于關(guān)于X的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 ( )( ,)Xfxf x y dyn關(guān)于關(guān)于Y的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 ( )(, )( , )YyFxFyf u v du dvY的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于關(guān)于 ( )( ,)Yfyf x y dxX的邊緣分布函數(shù)為的邊緣分布函數(shù)為 關(guān)于關(guān)于 例例2 2 設(shè)設(shè)X, YX, Y的聯(lián)合的聯(lián)合密度為密度為01,13( , )0kxyxyf x y其它求求k值和兩個邊緣分布密度函數(shù)值和兩個邊緣分布密度函數(shù)12k ( )( , )Xfxf x y dy 311021kydyxdxk解解由

19、由 ( , )1dxf x y dy得得 0,1x當當 時時 31122( )Xfxxydyx 關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 113113( )0Xfx 20,1( )0Xxxfx其它1,3( )40Yyyfy其它解解所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 ( )( , )Yfyf x y dx ( )0Yfy 所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 0,1x當當 時時 1,3y當當 時時 1,3y當當 時時 10124( )Yyfyxydx 關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 邊緣分布密度和概率的計算邊緣分布密度和概率的計算例例3設(shè)設(shè)X,

20、 Y) 的聯(lián)合分布密度為的聯(lián)合分布密度為 221( , )0kxyf x y 其它其它（1求求k值值(2) 求關(guān)于求關(guān)于X和和Y的邊緣密度的邊緣密度（3求概率求概率P(X+Y1/2)(2)( )( , )Xfxf x y dy 22111( )xXxfxdy均勻分布均勻分布解解 (1)由由 ( , )1f x y dxdy 2211xykdxdyk得得 1k 1,1x 當當 時時221x-11221 1,1( )0Xxxfx 其它 1,1x 當當 時時( )0Xfx 所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣的邊緣分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 -11續(xù)解續(xù)解 . -11( )( , )Yfyf x y dx

21、 22111( )yYyfydx221 1,1( )0Yyyf y其它解解 1,1y 當當 時時 1,1y 當當 時時( )0Yfy 所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣的邊緣分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 221y1()( ,)2DP Xf x y dxdy(1)( , )DP XYf x y dxdy 解解 （3） 13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy見課本見課本P59P59例例3 3 如果二維隨機變量如果二維隨機變量X，Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 221212,N 則兩個邊緣分布分別服從正態(tài)分布則兩個邊緣分布分別服從正態(tài)分布 2

22、11,XN 222,YN 與相關(guān)系數(shù)與相關(guān)系數(shù) 無關(guān)無關(guān) 可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布例例4 設(shè)設(shè)X，Y的聯(lián)合分布密度函數(shù)為的聯(lián)合分布密度函數(shù)為 2221( , )(1 sin sin ), ,2xyf x yexyx y 求關(guān)于求關(guān)于X，Y的邊緣分布密度函數(shù)的邊緣分布密度函數(shù) 解解 關(guān)于關(guān)于X的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ( )( , )Xfxf x y dy2221(1 sin sin )2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212

23、xe22221sinsin2xyexeydy0,1XN所以，所以， 0,1YN同理可得同理可得 不同的聯(lián)合分布，可不同的聯(lián)合分布，可有相同的邊緣分布。有相同的邊緣分布?？梢?，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，可見，聯(lián)合分布可以確定邊緣分布，但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布但邊緣分布不能確定聯(lián)合分布隨機變量的相互獨立性隨機變量的相互獨立性( , )( )( )XYf x yfxfyn 特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義特別，對于離散型和連續(xù)型的隨機變量，該定義分別等價于分別等價于 ijijppp對任意對任意i,j 對任意對任意x,y 在實際問題或應(yīng)用中，當在實際問題或應(yīng)用中，當X X的取值與的取值與Y

24、 Y的取值互不影響的取值互不影響時，我們就認為時，我們就認為X X與與Y Y是相互獨立的，進而把上述定義式當是相互獨立的，進而把上述定義式當公式運用公式運用. . 在在X與與Y是相互獨立的前提下，是相互獨立的前提下，( , )( )( )XYF x yFxFy設(shè)設(shè)X，Y的概率分布律為的概率分布律為證明：證明：X、Y相互獨立。相互獨立。例例1 1ijijppp 2/5 1/5 2/5 p .j 2/4 4/20 2/20 4/20 2 1/4 2/20 1/20 2/20 1 1/4 2/20 1/20 2/20 1/2 pi. 2 0 -1yx逐個驗證等式逐個驗證等式 證證 XX與與Y Y的邊

25、緣分布律分別為的邊緣分布律分別為XX、Y Y相互獨立相互獨立111.1220ppp 2/5 1/5 2/5 p.i 2 0 -1 X 2/4 1/4 1/4 Pj. 2 1 1/2 Y121.2120ppp131.3420ppp212.1ppp 222.2ppp 232.3ppp 313.1ppp 323.2ppp 333.3ppp 例例2 2 設(shè)設(shè)X X，Y)Y)的概率密度為的概率密度為(23 )60 ,0( , )0 xyexyx y其他求求 (1) P(1) P0X1 0X1 ，0Y10Y1） (2) (X,Y)(2) (X,Y)的邊緣密度，的邊緣密度， （3 3判斷判斷X X、Y Y是

26、否獨立。是否獨立。解解 設(shè)設(shè)A=A=（x x，y y）：）：0 x1 0 x1 ，0y10y1） ( , )01,01( , )x yAPxyx y dxdy112323006(1)(1)xydxedyee11( )( , )Xxx y dy22, (0)( )0, (0)xXexxx 邊緣密度函數(shù)分別為邊緣密度函數(shù)分別為當當 時時0 x 2320( )62xyxXxedye當當 時時0 x ( ) 0Xx所以，所以， 同理可得同理可得 33, (0)( )0, (0)yYeyyy232,03,0( ),( )0 ,00 ,0 xyXYexeyxyxy(23 )6, (0,0)( )( )0,

27、 xyXYexyxy其它所以所以 X X 與與 Y Y 相互獨立。相互獨立。(, )xy例例3 已知二維隨機變量已知二維隨機變量X，Y服從區(qū)域服從區(qū)域D上的均勻分上的均勻分 布，布，D為為x軸，軸，y軸及直線軸及直線y=2x+1所圍成的三角形區(qū)所圍成的三角形區(qū) 域。判斷域。判斷X，Y是否獨立。是否獨立。 解解 （X,Y的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 14, (0,021)( , )20, xyxf x y其他當當 時，時，102x210( )4xXfxdy4(21)x所以，關(guān)于所以，關(guān)于X的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 14(21), (0)( )2 0, Xxxfx其它關(guān)于關(guān)于X的邊緣分布密度為

28、的邊緣分布密度為 ( )( , )Xfxf x y dy當當 或或 時時12x 0 x ( )0Xfx 當當 時，時，01y012( )4yYfydx2(1)y所以，關(guān)于所以，關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 2(1), (01)( ) 0, Yyyfy其它關(guān)于關(guān)于Y的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為 ( )( , )Yfyf x y dx當當 或或 時時0y 1y ( )0Yfy 18(21)(1),(0,01 )( )( )2 0, XYxyxyfxfy其它所以所以 ( , )f x y所以，所以，X與與Y不獨立。不獨立。 1,()()( , )0axb cydba dcf x y其他

29、( , )|,x yaxbcyd11( )( , )()()dXcfxf x y dydyba dcba a x b 1( )0Xfxbaotherwiseaxb 1( )0ycxydfycdotherwise 于是于是( , )( )( )XYf x yfxfy( )0Xfx ( , )x ab ( ) ( , )ZFzP ZzP g x yz設(shè)設(shè) (, )X Y是二維隨機變量是二維隨機變量, , 其聯(lián)合分布函數(shù)為其聯(lián)合分布函數(shù)為 ( , ),F x y(, )Zg X Y是隨機變量是隨機變量 ,X Y的二元函數(shù)的二元函數(shù) Zn 的分布函的分布函數(shù)數(shù)問題：如何確定隨機變量問題：如何確定隨機變

30、量Z的分布呢？的分布呢？ 設(shè)設(shè) (, )X Y是二維離散型隨機變量是二維離散型隨機變量, ,其聯(lián)合分布列為其聯(lián)合分布列為 , (1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(, )Zg X Y那么那么 是一維的離散型隨機變量是一維的離散型隨機變量 其分布列為其分布列為 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jP Zg a bpij例例 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 (, )X Y YX-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分別求出分別求出1X+Y；（；（2X-Y；（；（3X2+Y-2的的分布列分布列解解 由由X X，Y Y的聯(lián)合分布列可得如

31、下表格的聯(lián)合分布列可得如下表格 概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(, )X Y( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0)1( , 2)21( , 1)2(3, 2)(3,0)XYXY22XY 解解 得所求的各分布列為得所求的各分布列為 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1

32、/121/123/122/121/122/122/12設(shè)設(shè) (, )X Y是二維連續(xù)型隨機變量是二維連續(xù)型隨機變量, ,其聯(lián)合分布密度為其聯(lián)合分布密度為 (, )Zg X Y那么那么 是一維的連續(xù)型隨機變量是一維的連續(xù)型隨機變量 其分布函數(shù)為其分布函數(shù)為 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f x y( , )zg x y是二元連續(xù)函數(shù)，是二元連續(xù)函數(shù)，其分布密度函數(shù)為其分布密度函數(shù)為 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy例例 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量X, Y的概率密的概率密度為度為(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求

33、隨機變量求隨機變量 Z=X+2Y 的分布密度函數(shù)的分布密度函數(shù)解解( )2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2 )2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2( , )xy zf x y dxdy例例 設(shè)二維隨機變量設(shè)二維隨機變量X, Y的概率密的概率密度為度為(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求隨機變量求隨機變量 Z=X+2Y 的分布函數(shù)的分布函數(shù)00( )10ZzzzFzezez解解 所求分布函數(shù)為所求分布函數(shù)為 分布密度函數(shù)為分布密度函數(shù)為 00( )0Zzzfzzez見課本見課本P67P67例例1 1 假設(shè)假設(shè)X，Y的聯(lián)合分布密度函數(shù)為的聯(lián)

34、合分布密度函數(shù)為 f(x,y)，那么，那么Z=X+Y的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, )Zfzf zy y dy或或 特別，當特別，當X，Y相互獨立時，有卷積公式相互獨立時，有卷積公式 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx或或 ( )()( )ZXYfzfzy fy dy記記 住住 結(jié)結(jié) 論！論！1122()()()XPXYPYP n如果如果X X與與Y Y相互獨立相互獨立(,)(,)( ,)XB mXYB mn pBppYn 211221212222(,)(,)(,)XNXYNYN 例例 證明：如果證明：如果X與與Y相互獨立，且相互獨

35、立，且XBn,p），）， YBm,p），則），則X+YBn+m,p）證明證明 X+Y所有可能取值為所有可能取值為 0，1，,m+n. 0,kiP XYkP Xi Yki0kiP XiP Yki0kiin ik ik im k inmiC p qCpq 0kik inmiknkmp qCCkknmkmnCp q證畢證畢 第四章第四章 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征u數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望u方差方差u* * 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)u大數(shù)定律與中心極限定理大數(shù)定律與中心極限定理數(shù)學(xué)期望的引例數(shù)學(xué)期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expect

36、ation例如：某例如：某7人的高數(shù)成績?yōu)槿说母邤?shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80， 75，60，則他們的平均成績?yōu)?，則他們的平均成績?yōu)?085 280 2756071221190858075607777779.3以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望E(X)1 12 2( ) kkkkkE Xpxp xp xp x () 1,2,kkP XxpkMathematical ExpectationMathematical Expectation定義定義 設(shè)離散型隨機變量的概率分布為設(shè)離散型隨機變量的概率分布為 u離散型隨機變量離散型隨機變量kkkp x 若若級級數(shù)數(shù)絕絕

37、對對收收斂斂， 則則稱稱此此級級數(shù)數(shù)為為隨機變量隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記作的數(shù)學(xué)期望，記作EX），即），即 XP41/451/261/4數(shù)學(xué)期望的計算數(shù)學(xué)期望的計算已知隨機變量已知隨機變量X的分布律：的分布律：1 1223 3 ) (E Xp xp xp x例例 求數(shù)學(xué)期望求數(shù)學(xué)期望EX） 解解 111()4565424E X 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望E(X)E(X)() ( )E Xx f x dxu連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量定義定義設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為的概率密度為 f (x), 那么那么( ) 若廣義積分絕對收斂, 則稱此積分為 若廣義積

38、分絕對收斂, 則稱此積分為的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望xf x dxX 即即 數(shù)學(xué)期望的計算數(shù)學(xué)期望的計算已知隨機變量已知隨機變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為例例 211( )101xf xxx()( )E Xxf x dx求數(shù)學(xué)期望。求數(shù)學(xué)期望。 解解 1121110010 xdxxdxxdxx 數(shù)學(xué)期望的意義 試驗次數(shù)較大時，試驗次數(shù)較大時，X的觀測值的算術(shù)平均值的觀測值的算術(shù)平均值 在在E(X)附近擺動附近擺動x()xE X數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值數(shù)學(xué)期望又可以稱為期望值(Expected Value)，均值均值(Mean)E(X)反映了隨機變量反映了隨機變量X取值的取值的“概率平均概率平均”,是

39、是X的的可能值以其相應(yīng)概率的加權(quán)平均?？赡苤狄云湎鄳?yīng)概率的加權(quán)平均。二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)(X,Y)為二維離散型隨機變量為二維離散型隨機變量(, )( (), ( )E X YE XE Y.()iiiiiijiiijE Xx P Xxx px p.( )jjjjjijjjjiE Yy P Yyy py p() ( ) ( ,),XE Xx fx dxx f x y dxdy() ( ) ( ,).YE Yy fy dyy f x y dxdy(X,Y)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量為二維連續(xù)型隨機變量設(shè)設(shè)(X,Y)(X,Y

40、)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為例例0,1,1,3( , )0kxyxyf x y 其其它它(1) 求求k(2) 求求X和和Y的邊緣密度的邊緣密度(3) 求求E(X), E(Y).14212kk 12k ( )( , )Xfxf x y dy 31122xydyx 20,1( )0Xxxfx 其它其它( , )1f x y dxdy (1)由由解解3110kydyxdx 所以所以所以所以得得1 11 13 30,1x (2)(2)( )( , )Yfyf x y dx 101124xydxy 1,3( )40其它yyyfy ()( )XE Xxfx dx （）（）()( )YE Yyfy dy 10

41、223xxdx 311346yydy 1,3y 1131 11 13 3()( ,)E Xxf x y dxdy （另解（另解10223xxdx 311346yydy 130112dxxxydy ()( , )E Yyf x y dxdy 311012dyyxydx 無需求無需求邊緣分布密度函數(shù)邊緣分布密度函數(shù) 隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理定理 1：一維情形：一維情形()Yg X 是隨機變量是隨機變量 X的函數(shù)的函數(shù),1( ) ()()kkkE YE g Xg xp , 1,2,kkP Xxpk( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx ( )f x

42、概率密度為概率密度為X服從服從2 , 0sinYX上的均勻分布，求上的均勻分布，求的數(shù)學(xué)期望。的數(shù)學(xué)期望。 ( )sinsin E YEXx fx dx 1,0220,xf x；其它。 2 01sinsin02EXxdx由于由于 所以所以 例例 解解隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望隨機變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 (,)(,)ijijijE g X Yg xyp 定理定理 2：二維情形：二維情形1 2, , ,ijijP Xx Yypi j (, )( , ) ( , )E g X Yg x y f x y dxdy ( , )f x y聯(lián)合概率密度為聯(lián)合概率密度為(,)Zg X Y 是隨機變量是隨機變量 X

43、， Y的函數(shù)的函數(shù),離散型離散型 1 15 5)( , )E XYxyf x y dxdy 例例 設(shè)相互獨立的隨機變量設(shè)相互獨立的隨機變量X，Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為 12 , (01)( )0, xxf x其它(5)2, (5)( ) 0, yeyfy其它求求EXY）解解 12( )( )xyf x fy dxdy 1(5)052ydxxyx edy12(5)052yx dxyedy4數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),X Y相互獨立時相互獨立時u當隨機變量當隨機變量 ()() ( )E XYE X E Y( )E CCu.C C 為常數(shù)為常數(shù) ()()E CXCE Xu.()()( )

44、E XYE XE Yu.設(shè)設(shè)X,YX,Y在由在由4 4個點個點0 0，0 0）（）（3 3，0 0），（），（3 3，2),2),(0,2)(0,2)決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求決定的矩形域內(nèi)服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).E(Y2),E(XY).3 30 02 26面積答案：答案：25(); ()3;2E XYE X243(); ()32E YE XY0-1分布的數(shù)學(xué)期望分布的數(shù)學(xué)期望X服從服從0-1分布，其概率分布為分布，其概率分布為P(X=1)=pP(X=0)=1- pXP0 11-p p若若X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的的0-

45、1分布，分布， 則則E(X) = p()0 (1)1E Xppp 分布律分布律數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望If XB( n, p ), then E(X)= np(1)kknknP XkCpp 二項分布的數(shù)學(xué)期望二項分布的數(shù)學(xué)期望分布律分布律X X服從二項分布，其概率分布為服從二項分布，其概率分布為數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望n二項分布可表示為二項分布可表示為個分布的和個分布的和1niiXX0, 1iAiXAi在第 次試驗中不發(fā)生， 在第 次試驗中發(fā)生11()()()nniiiiE XEXE Xnp 其中其中 那么那么 泊松分布的數(shù)學(xué)期望泊松分布的數(shù)學(xué)期望If , then ( )XP()E X()!kP Xkek分

46、布律分布律數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望101()!(1)!kkkkE Xkeekk(1)kt 0!ttee et1()0axbfxba 其其 它它均勻分布的期望均勻分布的期望分布密度分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 ()2( )baxxf x dxdxE Xbbaa X N (，2）正態(tài)分布的期望正態(tài)分布的期望分布密度分布密度222)(21)(xexf數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望22()2()12xxedxE X221()2ttedtxt0( )00 xexfxx指數(shù)分布的期望指數(shù)分布的期望分布密度分布密度數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望0()xxf x dExx edxX 00 01|xxxxeedxe 1數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用數(shù)學(xué)期

47、望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用An application of Expected Value in Medicine 考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每1010個人一組，把這個人一組，把這1010個人的血液樣本混合起來進行化驗。如果個人的血液樣本混合起來進行化驗。如果結(jié)果為陰性，則結(jié)果為陰性，則1010個人只需化驗個人只需化驗1 1次；若結(jié)果為陽性，則需對次；若結(jié)果為陽性，則需對1010個人在逐個化驗，總計化驗個人在逐個化驗，總計化驗1111次。假定人群中這種病的患病次。假定人群中這種病的患病率是率是10%10%，且每人患病與否是相互獨

48、立的。試問：這種分組化，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？分析：分析：設(shè)隨機抽取的設(shè)隨機抽取的10人組所需的化驗次數(shù)為人組所需的化驗次數(shù)為X我們需要計算我們需要計算X的數(shù)學(xué)期望，然后與的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較比較 化驗次數(shù)化驗次數(shù)X的可能取值為的可能取值為1，11先求出化驗次數(shù)先求出化驗次數(shù)X的分布律。的分布律。(X=1)=“10人都是陰性人都是陰性”（X=11)=“至少至少1人陽性人陽性”結(jié)論：結(jié)論：分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)注

49、意求注意求 X期望值的期望值的步驟！步驟！10101(1 0.1)0.9P X 10111 0.9P X 1010() 0.91(1 0.9 ) 117.51310E X 1、概率、概率p對是否分組的影響對是否分組的影響問題的進一步討論問題的進一步討論若若p=0.2，那么，那么當當p0.2057時，時，E(X)10() 0.91 (1 0.9 ) 11 10nnE X 1010() 0.81 (1 0.8 ) 119.9262E X 2、概率、概率p對每組人數(shù)對每組人數(shù)n的影響的影響 21.86n 當當p=0.2時，可得出時，可得出n10.32，才能保證，才能保證EX10.當當p=0.1時，為

50、使時，為使 例例 獨立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別獨立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為為p1p1和和p2.p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為 p1 + p2p1 + p2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X X則則X X的所有可能取值為的所有可能取值為0 0，1 1解解12(0)(1- )(1- )P Xpp1212(1) (1- ) (1- ) P Xpppp12(2) P Xp p121212() (1- ) (1- ) 2 E Xppppp p12 pp所以所以 方方 差差 的的 引引 入入E( X1 )=5 X2P

51、 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E( X2 )=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下： 兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品兩種產(chǎn)品的直徑均值是相同的，但產(chǎn)品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直徑為如果需要使用直徑為5的產(chǎn)品，則產(chǎn)品的產(chǎn)品，則產(chǎn)品1較產(chǎn)品較產(chǎn)品2理想。理想。方差方差Variance的定義的定義u 定義定義 2()()D XE XE X u均方差標準差）均方差標準差） ()()XD X與與 X有相同的量綱有相同的量綱()D X()Var XX 設(shè)設(shè) 是一隨機變量，假設(shè)是一

52、隨機變量，假設(shè) 存在，則稱存在，則稱為為 的方差，記作的方差，記作 或或 2()E XE X X即即 方差的計算公式方差的計算公式22()() ()D XE XE XProof.2()() D XEXE X222() () E XXE XE X22()2 () () ()E XE X E XE X22() ()E XE X一維隨機變量的方差一維隨機變量的方差設(shè)離散型隨機變量設(shè)離散型隨機變量X的概率分布為的概率分布為()kkP Xxp1, 2, ,k 222()()kkkkkkD Xpxxpu離散型離散型u連續(xù)型連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機變量設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布密度為的分布密度為 f (x)()E

53、X 其中其中 222()()( )( )D Xxf x dxx f x dx方方 差差 的的 計算計算E( X1 )=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E( X2 )=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4例例 設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下：設(shè)有兩種球形產(chǎn)品，其直徑的取值規(guī)律如下： 求求D(X1) ,D(X2) 解解 2221111()(45)(55)(65)0.5424D X222222111()(25)(35)(55)88211 (75)(85)3.2588D X0-1分布的方差分布的方差()E Xp222()10(1)E Xppp222(

54、)()()D XE XE XpppqXP0 11-p pu分布律分布律u方差方差1-qp其中其中 二項分布的方差二項分布的方差I(lǐng)f X B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p )u分布律分布律u方差方差(1)kknknP XkCpp X B ( n, p )22()(1)E Xn npnp()E Xnp22()() ()(1)D XE XE Xnppnpq1-qp其中其中 推導(dǎo)？推導(dǎo)？泊松分布的方差泊松分布的方差I(lǐng)f ( ),XPthen ()D Xu分布律分布律u方差方差()!kP Xkek()E X22()E X22()() ()D XE XE X推導(dǎo)

55、？推導(dǎo)？1()()2E Xab1()0axbfxba 其其 它它均勻分布的方差均勻分布的方差u分布密度分布密度u方差方差2322 2 ()3()3bbaaxxaabbE Xdxbaba222()1()()1(2)E XE XD Xba 正態(tài)分布的方差正態(tài)分布的方差u分布密度分布密度u方差方差2( ,)XN ()E X22()221()2()xxedxD X22222tt edt222222ttt eedt2xt0( )00 xexf xx指數(shù)分布的方差指數(shù)分布的方差1()E Xu分布密度分布密度u方差方差 +22 0()xE Xxedx2222221() ()1()E XD XE X +20

56、02xxx exedx +0 02xxxeedx 02222xe常見分布及其期望和方差列表常見分布及其期望和方差列表P84 分布名稱分布名稱 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望EX） 方差方差DX） 0-1分布分布 二項分布二項分布 泊松分布泊松分布 均勻分布均勻分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 指數(shù)分布指數(shù)分布 ppqnpnpq2ab2()12ba1221()()EXxfx dx方差的計算步驟方差的計算步驟Step 1: 計算期望計算期望 E(X)1 12 2 ( )k kkkkE Xpxp xp xp xStep 2: 計算計算 E(X2)22()( )E Xx f x dx222221 12 2 ) (k kkkk

57、E Xpxp xp xp xStep 3: 計算計算 D(X)22()() ()D XE XE X離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 離散型離散型 連續(xù)型連續(xù)型 方差的性質(zhì)方差的性質(zhì)()()( )D XYD XD Y,X Y相互獨立時相互獨立時 u 當隨機變量當隨機變量22()() ()D XYE XYE XY222(2) ()( )E XYE XYXYE2222() ()() ( )E XE XE YE Y()( )D XD Y( )0D C C C 為常數(shù)為常數(shù)u 2()( )D aXa D Xu a為常數(shù)為常數(shù)證明證明 二維隨機變量的方差二維隨機變量的方差u(X,Y)為二維離散型隨機變量為二維離

58、散型隨機變量 (, )(),( )D X YD XD Y22.( )( )( )iiiiiiD XxE XP XxxE Xp 22.( )( )( )jjjjjjD YyE YP YyyE Yp2( )iijijxE Xp2( )jijjiyE Yp二維隨機變量的方差二維隨機變量的方差(, )(),( )D X YD XD Y2( )( )( )XDXx E Xf xdx u(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量為二維連續(xù)型隨機變量 2( )( )( )YDYy EYf y dx 2( )( , )x E Xf x ydxdy 2( )( , )y EYf x y dxdy 是兩個相互獨立的隨機變量，

59、其概率密度是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度12,XX分別為分別為., 10, 0,2)(1其它xxxf., 5, 0,)(52其它）（xexfx求求12()D XX.解解 由于由于 相互獨立，所以相互獨立，所以 12,XX1212()()()D XXD XD X而而 11()( )E Xxf x dx10223xxdx22()( )E Xyfy dy(5)56yy edy2211()( )E Xx f x dx120122xxdx2222()( )E Xy fy dy2(5)5yyedy2(5)(5)552yyyey edy (5)(5)552522yyy eedy(5)535237ye所

60、以所以 21121()2318D X22()3761D X12119()11818D XX 例例 某地出產(chǎn)的某品種的蘋果的總量某地出產(chǎn)的某品種的蘋果的總量X服從正態(tài)分服從正態(tài)分布。若布。若E(X)=148, D(X)=162.寫出寫出X的分布律和概的分布律和概率密度，并用積分表示率密度，并用積分表示(135)P X 2(148,16 )XN22(148)2 161( )16 2xf xe22(148)1352 161(135)16 2xP Xedx解解 若隨機變量若隨機變量X服從均值為服從均值為2，方差為，方差為2的正態(tài)的正態(tài)分布，且分布，且P2X4=0.3,求求PX0。所以所以 2(2,)X