1、第8章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合第17章涉及的內(nèi)容屬于經(jīng)典控制理論的范疇，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性定常微分方程和傳遞函數(shù)，主要的分析與綜合方法是時域法、根軌跡法和頻域法。經(jīng)典控制理論通常用于單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)，其缺點是只能反映輸入輸出間的外部特性，難以揭示系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)和運行狀態(tài)，不能有效處理多輸入多輸出系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)等復(fù)雜系統(tǒng)的控制問題。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，對控制系統(tǒng)速度、精度、適應(yīng)能力的要求越來越高，經(jīng)典控制理論已不能滿足要求。1960年前后，在航天技術(shù)和計算機技術(shù)的推動下，現(xiàn)代控制理論開始發(fā)展，一個重要的標志就是美國學(xué)者卡爾曼引入了狀態(tài)空間的概念。它是以系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)為基

2、礎(chǔ)進行分析與綜合的控制理論，兩個重要的內(nèi)容如下。（1）最優(yōu)控制：在給定的限制條件和評價函數(shù)下，尋求使系統(tǒng)性能指標最優(yōu)的控制規(guī)律。（2）最優(yōu)估計與濾波：在有隨機干擾的情況下，根據(jù)測量數(shù)據(jù)對系統(tǒng)的狀態(tài)進行最優(yōu)估計。本章討論控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合，它是現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)。8.1 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述8.1.1 系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本方法控制u執(zhí)行器被控對象傳感器控制器控制輸入觀測y被控過程x反饋控制圖8-1 典型控制系統(tǒng)方塊圖 典型控制系統(tǒng)如圖8-1所示，由被控對象、傳感器、執(zhí)行器和控制器組成。被控過程（見圖8-2）具有若干輸入端和輸出端。數(shù)學(xué)描述通常有兩種基本方法：一種是輸入、輸出描述（外

3、部描述），它將系統(tǒng)看成為“黑箱”，只是反映輸入與輸出間的關(guān)系，而不去表征系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和內(nèi)部變量，如傳遞函數(shù)；另一種是狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述），它是基于系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的一種數(shù)學(xué)模型，由兩個方程組成。一個反映系統(tǒng)內(nèi)部變量和輸入變量間的關(guān)系，具有一階微分方程組或一階差分方程組的形式；另一個是表征系統(tǒng)輸出向量與內(nèi)部變量及輸入變量間的關(guān)系，具有代數(shù)方程的形式。外部描述雖能反映系統(tǒng)的外部特性，卻不能反映系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)與運行過程，內(nèi)部結(jié)構(gòu)不同的兩個系統(tǒng)也可能具有相同的外部特性，因此外部描述通常是不完整的；內(nèi)部描述則能全面完整地反映出系統(tǒng)的動力學(xué)特征。圖8-2 被控過程8.1.2 狀態(tài)空間描述常用的基本概念1

4、.輸入和輸出由外部施加到系統(tǒng)上的激勵稱為輸入，若輸入是按需要人為施加的，又稱為控制；系統(tǒng)的被控量或從外部測量到的系統(tǒng)信息稱為輸出，若輸出是由傳感器測量得到的，又稱為觀測。2.狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)向量能完整描述和惟一確定系統(tǒng)時域行為或運行過程的一組獨立（數(shù)目最?。┑淖兞糠Q為系統(tǒng)的狀態(tài)，其中的各個變量稱為狀態(tài)變量。當狀態(tài)表示成以各狀態(tài)變量為分量組成的向量時，稱為狀態(tài)向量。系統(tǒng)的狀態(tài)由時的初始狀態(tài) () 及的輸入惟一確定。對階微分方程描述的系統(tǒng)，當個初始條件及的輸入給定時，可惟一確定方程的解，故這n個獨立變量可選作狀態(tài)變量。狀態(tài)對于確定系統(tǒng)的行為既是必要的，也是充分的。n階系統(tǒng)狀態(tài)變量所含獨立變量的

5、個數(shù)為n，當變量個數(shù)小于n時，便不能完全確定系統(tǒng)的狀態(tài)，而當變量個數(shù)大于n時，則存在多余的變量，這些多余的變量就不是獨立變量。判斷變量是否獨立的基本方法是看它們之間是否存在代數(shù)約束。狀態(tài)變量的選取并不惟一，一個系統(tǒng)通常有多種不同的選取方法。但應(yīng)盡量選取能測量的物理量或獨立貯能元件的貯能變量作為狀態(tài)變量，以便實現(xiàn)系統(tǒng)設(shè)計。在機械系統(tǒng)中，常選取位移和速度作為變量；在R-L-C網(wǎng)絡(luò)中，常選電感電流和電容電壓作為狀態(tài)變量；在由傳遞函數(shù)繪制的方塊圖中，常取積分器的輸出作為狀態(tài)變量。3.狀態(tài)空間以狀態(tài)向量的n個分量作為坐標軸所組成的n維空間稱為狀態(tài)空間。4.狀態(tài)軌跡系統(tǒng)在某個時刻的狀態(tài)，可以看作是狀態(tài)空間

6、的一個點。隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)不斷變化，便在狀態(tài)空間中描繪出一條軌跡，該軌跡稱為狀態(tài)軌跡。5.狀態(tài)方程描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階向量微分方程或差分方程稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它不含輸入的微積分項。狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的狀態(tài)變化，一般情況下，狀態(tài)方程既是非線性的，又是時變的，它可以表示為 （8-1）6.輸出方程描述系統(tǒng)輸出變量與系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程稱為輸出方程，當輸出由傳感器得到時，又稱為觀測方程。輸出方程的一般形式為 （8-2）輸出方程表征了系統(tǒng)狀態(tài)和輸入的變化所引起的系統(tǒng)輸出變化。7.動態(tài)方程狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為動態(tài)方程，又稱為狀態(tài)空間

7、表達式，其一般形式為 （8-3a）或離散形式 （8-3b）8.線性系統(tǒng)：線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分方程或差分方程，輸出方程是向量代數(shù)方程。線性連續(xù)時間系統(tǒng)動態(tài)方程的一般形式為 （8-4）設(shè)狀態(tài)x、輸入u、輸出y的維數(shù)分別為，稱矩陣A(t)為系統(tǒng)矩陣或狀態(tài)矩陣，稱矩陣為控制矩陣或輸入矩陣，稱矩陣C(t)為輸出矩陣或觀測矩陣，稱矩陣D(t)為前饋矩陣或輸入輸出矩陣。9.線性定常系統(tǒng)線性系統(tǒng)的A，B，C，D中的各元素全部是常數(shù)。即 （8-5a）對應(yīng)的離散形式為 （8-5b） 為書寫方便，常把系統(tǒng)(8-5a)和系統(tǒng)(8-5b)分別簡記為S(A,B,C,D)和S(G,H,C,D)。10.線性系

8、統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 線性系統(tǒng)的動態(tài)方程常用結(jié)構(gòu)圖表示。圖8-3為連續(xù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖；圖8-4為離散系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。 圖中，I為()單位矩陣，s是拉普拉斯算子，z為單位延時算子。 圖8-3線性連續(xù)時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 圖8-4 線性離散時間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由于狀態(tài)變量的選取不是惟一的，因此狀態(tài)方程、輸出方程、動態(tài)方程也都不是惟一的。但是，用獨立變量所描述的系統(tǒng)的維數(shù)應(yīng)該是惟一的，與狀態(tài)變量的選取方法無關(guān)。動態(tài)方程對于系統(tǒng)的描述是充分的和完整的，即系統(tǒng)中的任何一個變量均可用狀態(tài)方程和輸出方程來描述。狀態(tài)方程著眼于系統(tǒng)動態(tài)演變過程的描述，反映狀態(tài)變量間的微積分約束；而輸出方程則反映系統(tǒng)中變量之間的靜態(tài)關(guān)系，著眼于建立系統(tǒng)中

9、輸出變量與狀態(tài)變量間的代數(shù)約束，這也是非獨立變量不能作為狀態(tài)變量的原因之一。動態(tài)方程描述的優(yōu)點是便于采用向量、矩陣記號簡化數(shù)學(xué)描述，便于在計算機上求解，便于考慮初始條件，便于了解系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的變化特征，便于應(yīng)用現(xiàn)代設(shè)計方法實現(xiàn)最優(yōu)控制和最優(yōu)估計，適用于時變、非線性、連續(xù)、離散、隨機、多變量等各類控制系統(tǒng)。 （a） （b）圖8-5 電路的獨立變量例8-1 試確定圖8-5中（a）、（b）所示電路的獨立狀態(tài)變量。圖中u、i分別是輸入電壓和輸入電流，y為輸出電壓，i=1，2，3，為電容器電壓或電感器電流。解 并非所有電路中的電容器電壓和電感器電流都是獨立變量。對圖8-5（a）所示電路，不失一般性，假定

10、電容器初始電壓值均為0，有 因此，只有一個變量是獨立的，狀態(tài)變量只能選其中一個，即用其中的任意一個變量作為狀態(tài)變量便可以確定該電路的行為。實際上，三個串并聯(lián)的電容可以等效為一個電容。對圖8-5（b）所示電路，x1 = x2，因此兩者相關(guān)，電路只有兩個變量是獨立的，即（x1和x3）或(x2和x3)，可以任用其中一組變量如（x2，x3）作為狀態(tài)變量。8.1.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 設(shè)初始條件為零，對線性定常系統(tǒng)的動態(tài)方程進行拉氏變換，可以得到 (8-6)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣（簡稱傳遞矩陣）定義為 （8-7）例8-2 已知系統(tǒng)動態(tài)方程為試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解 已知 故8.1.4 線性定常系統(tǒng)動態(tài)方

11、程的建立1.根據(jù)系統(tǒng)物理模型建立動態(tài)方程例8-3 試列寫如圖8-6所示的R-L-C電路方程，選擇幾組狀態(tài)變量并建立相應(yīng)的動態(tài)方程，并就所選狀態(tài)變量間的關(guān)系進行討論。圖8-6 R-L-C 電路 解 有明確物理意義的常用變量主要有：電流、電阻器電壓、電容器的電壓與電荷、電感器的電壓與磁通。 根據(jù)回路電壓定律 電路輸出量為 1) 設(shè)狀態(tài)變量為電感器電流和電容器電壓，即，則狀態(tài)方程為 輸出方程為 其向量-矩陣形式為 簡記為 式中， 2) 設(shè)狀態(tài)變量為電容器電流和電荷，即 ，則有3) 設(shè)狀態(tài)變量 ，其中，無明確意義的物理量，可以推出其向量-矩陣形式為圖8-7 雙輸入三輸出機械位移系統(tǒng)可見對同一系統(tǒng)，狀態(tài)

12、變量的選擇不具有惟一性，動態(tài)方程也不是惟一的。 例8-4 由質(zhì)量塊、彈簧、阻尼器組成的雙輸入三輸出機械位移系統(tǒng)如圖8-7所示，具有力F和阻尼器氣缸速度V兩種外作用，輸出量為質(zhì)量塊的位移，速度和加速度。試列寫該系統(tǒng)的動態(tài)方程。分別為質(zhì)量、彈簧剛度、阻尼系數(shù)；x為質(zhì)量塊位移。 解 根據(jù)牛頓力學(xué)可知，系統(tǒng)所受外力F與慣性力m、阻尼力f(V)和彈簧恢復(fù)力構(gòu)成平衡關(guān)系，系統(tǒng)微分方程如下:這是一個二階系統(tǒng)，若已知質(zhì)量塊的初始位移和初始速度，系統(tǒng)在輸入作用下的解便可惟一確定，故選擇質(zhì)量塊的位移和速度作為狀態(tài)變量。設(shè)。由題意知系統(tǒng)有三個輸出量，設(shè)。于是由系統(tǒng)微分方程可以導(dǎo)出系統(tǒng)狀態(tài)方程其向量-矩陣形式為圖8-

13、8 雙質(zhì)量塊機械系統(tǒng) 例8-5 對于圖8-8所示的機械系統(tǒng)，若不考慮重力對系統(tǒng)的作用，試列寫該系統(tǒng)以拉力為輸入，以質(zhì)量塊m1和m2的位移y1和y2為輸出的動態(tài)方程。 解 根據(jù)牛頓定律，系統(tǒng)微分方程為式中，為彈簧剛度，為阻尼系數(shù)。該系統(tǒng)有4個獨立的儲能元件，即彈簧和質(zhì)量，故應(yīng)選擇其中4個相互獨立的變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，現(xiàn)選擇 ，經(jīng)過整理，可得到系統(tǒng)的動態(tài)方程2.由高階微分方程建立動態(tài)方程（1) 微分方程不含輸入量的導(dǎo)數(shù)項 (8-8) 選n個狀態(tài)變量為 ，有 （8-9）得到動態(tài)方程 （8-10）式中 , 按(8-10)式繪制的結(jié)構(gòu)圖稱為狀態(tài)變量圖。如圖8-9所示，每個積分器的輸出都是對應(yīng)的狀態(tài)變

14、量，狀態(tài)方程由各積分器的輸入-輸出關(guān)系確定。圖8-9 系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖 （2) 微分方程輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項 (8-11)一般輸入導(dǎo)數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的階數(shù)n。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)輸入導(dǎo)數(shù)項，可按如下規(guī)則選擇一組狀態(tài)變量， (8-12) 其展開式為 (8-13)式中，是n個待定常數(shù)。由式（8-13）的第一個方程可得輸出方程并由余下的方程得到（n）個狀態(tài)方程對(8-13)中的最后一個方程求導(dǎo)數(shù)并考慮式（8-11），有由式（8-13），將均以及u的各階導(dǎo)數(shù)表示，經(jīng)整理可得令上式中u的各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)為零，可確定各h的值，即 記 故 則系統(tǒng)的動態(tài)方程為 （8-14）式中 若輸入量中僅含次導(dǎo)數(shù)，

15、且，可將高于次導(dǎo)數(shù)項的系數(shù)置0，仍可應(yīng)用上述公式。 3.由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程高階微分方程（8-11）式對應(yīng)的單輸入單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 (8-15)應(yīng)用綜合除法有 (8-16)式中，是聯(lián)系輸入、輸出的前饋系數(shù)，當G(s)的分母階數(shù)大于分子階數(shù)時，是嚴格有理真分式，其分子各次項的系數(shù)分別為 (8-17)圖8-10 串聯(lián)分解下面介紹由 導(dǎo)出幾種標準型動態(tài)方程的方法。（1）串聯(lián)分解 如圖8-10，取中間變量z，將串聯(lián)分解為兩部分，有 選取狀態(tài)變量 則狀態(tài)方程為 輸出方程為 其向量-矩陣形式為 （8-18）式中， 具有以上形狀時，陣稱為友矩陣，相應(yīng)的狀態(tài)方程稱為可控標準型。當 時，均不變，若選取

16、，則可以構(gòu)造出新的狀態(tài)方程。式中 請注意，的形狀特征，對應(yīng)的動態(tài)方程稱為可觀測標準型。關(guān)于可控和可觀測的概念，在第8.4節(jié)還要進行詳細的論述?？煽貥藴市团c可觀測標準型之間存在以下對偶關(guān)系： （8-19）式中，下標c表示可控標準型；o表示可觀測標準型；T為轉(zhuǎn)置符號。請讀者從傳遞函數(shù)矩陣（8-7）出發(fā)自行證明：可控標準型和可觀測標準型是同一傳遞函數(shù)的不同實現(xiàn)?？煽貥藴市秃涂捎^測標準型的狀態(tài)變量圖如圖8-11和圖8-12所示。圖8-11 可控標準型狀態(tài)變量圖 圖8-12 可觀測標準型狀態(tài)變量圖例8-6 設(shè)二階系統(tǒng)微分方程為，試列寫可控標準型、可觀測標準型動態(tài)方程，并分別確定狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)

17、系。 解 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 于是，可控標準型動態(tài)方程的各矩陣為 由G(s)串聯(lián)分解并引入中間變量z有 對y求導(dǎo)并考慮上述關(guān)系式，則有 令 可導(dǎo)出狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系 可觀測標準型動態(tài)方程中各矩陣為 狀態(tài)變量與輸入，輸出量的關(guān)系為（a）可控標準型實現(xiàn) （b）可觀測標準型實現(xiàn)圖8-13 例8-6的狀態(tài)變量圖 圖8-13分別給出了該系統(tǒng)的可控標準型與可觀測標準型的狀態(tài)變量圖。（2）只含單實極點時的情況：當 只含單實極點時，動態(tài)方程除了可化為可控標準型或可觀測標準型以外，還可化為對角型動態(tài)方程，其A矩陣是一個對角陣。設(shè)D(s)可分解為 D(s)=式中，為系統(tǒng)的單實極點，則傳遞函數(shù)可展成部分分式

18、之和，即=而 ，為 在極點處的留數(shù)，且有Y(s)= u(s)若令狀態(tài)變量 其反變換結(jié)果為 展開得 其向量-矩陣形式為=+ y= (8-20)其狀態(tài)變量如圖8-14(a)所示。若令狀態(tài)變量滿足則 進行反變換并展開有 其向量-矩陣形式為 =+u (8-21)其狀態(tài)變量圖如圖8-14(b)所示。顯然式（8-20）與式（8-21）存在對偶關(guān)系。 （a） （b） 圖8-14 對角型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖（3）含重實極點時的情況 當傳遞函數(shù)除含單實極點之外還含有重實極點時，不僅可化為可控標準型或可觀測標準型，還可化為約當標準型動態(tài)方程，其A陣是一個含約當塊的矩陣。設(shè)D(s)可分解為D(s)= 式中為三重實極點

19、，為單實極點，則傳遞函數(shù)可展成為下列部分分式之和，即 =其狀態(tài)變量的選取方法與之含單實極點時相同，可分別得出向量-矩陣形式的動態(tài)方程：=+u (8-22) y= x =+u (8-23) y=x 圖8-15 約當型動態(tài)方程狀態(tài)變量圖其對應(yīng)的狀態(tài)變量圖如圖8-15（a），（b）所示。式（8-22）與式（8-23）也存在對偶關(guān)系。4.由差分方程和脈沖傳遞函數(shù)建立動態(tài)方程 離散系統(tǒng)的特點是系統(tǒng)中的各個變量只在離散的采樣點上有定義，線性離散系統(tǒng)的動態(tài)方程可以利用系統(tǒng)的差分方程建立，也可以將線性動態(tài)方程離散化得到。在經(jīng)典控制理論中，離散系統(tǒng)通常用差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來描述。單輸入-單輸出線性定常離散系

20、統(tǒng)差分方程的一般形式為 (8-24)兩端取z變換，并整理得脈沖傳遞函數(shù)為 (8-25)式（8-25）與（8-16）在形式上相同，故連續(xù)系統(tǒng)動態(tài)方程的建立方法可用于離散系統(tǒng)。利用z變換關(guān)系和，可以得到動態(tài)方程為 (8-26)簡記 (8-27) 5.由傳遞函數(shù)矩陣建動態(tài)方程 給定一傳遞函數(shù)矩陣G(s)，若有一系統(tǒng)S（A,B,C,D）能使 (8-28)成立，則稱系統(tǒng)S（A,B,C,D）是G(s)的一個實現(xiàn)。傳遞函數(shù)矩陣的實現(xiàn)問題就是由傳遞函數(shù)矩陣尋求對應(yīng)的動態(tài)方程的問題，由于實現(xiàn)問題比較復(fù)雜，這里的討論僅限于單輸入-多輸出和多輸入-單輸出系統(tǒng)。1） 單輸入-多輸出系統(tǒng)傳遞矩陣的實現(xiàn)：設(shè)單輸入q維輸出系統(tǒng)如圖8-16所示，系統(tǒng)可看作由q個獨立子系統(tǒng)組成，其傳遞矩陣為圖8-16 單輸入多輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 圖8-17 多輸入單輸出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 (8-29)式中，d為常數(shù)向量；，為不可約分的嚴格有理真分式（即