1、-1 -2019 年 4 月杭州市重點高中 2019 高考數(shù)學命題比賽數(shù)學(理科)卷1本試卷分第 I I 卷和第 IIII 卷兩部分.考試時間 試題的答案涂、寫在答題紙上.參考公式：如果事件A B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B如果事件A B相互獨立，那么P(A-B)=P(A-RE)如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,那么n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率Fn(k)=Cnpk(1 p)nk(k= 0,1,2,n)棱臺的體積公式1 .-V h(S1 qS2 - S2)3其中s,S2分別表示棱臺的上、下底面積，h表示棱臺的高第I卷(共50分)-、選擇題：本大題共 1010 小題，

2、每小題 5 5 分，共 5050 分在每小題給出的四個選項中 有一項是符合題目要求的.(1)(原創(chuàng))已知集合M=x|3+2xX20,N =x|xK1，則M=(A A)(3,(B B)1,3)( C C)(1,3)(D D) (一1,：)(2)(2)(原創(chuàng))已知a 0且a =1，則logab 0是(a-1)(1) 0的( )(A A)充分而不必要條件(B B)必要而不充分條件C C)充要條件(D D)既不充分也不必要條件(3)(3)(原創(chuàng))若復數(shù)z = 1 i( (i是虛數(shù)單位) )，則()120120 分鐘，滿分 150150 分.請考生按規(guī)定用筆將所有棱柱的體積公式V=Sh其中S表示棱柱的底

3、面積，h表示棱柱的高 棱錐的體積公式1V=_Sh3其中S表示棱錐的底面積，h表示棱錐的高球的表面積公式S= 4nR球的體積公式43V= nR3其中R表示球的半徑-2 -(A A)2Z2-2Z-1=0(B B)2z2-2z 1 =0(C C)z2-2z -2 =0(D D)z2-2z 2=0（第 5 5題）1取值范圍為)1(A(A)(,1)( B B)(1,3)21(C)(;,2)21(D)(1，3)(4)(4)(引用)在C，X3)24的展開式中，X X 的幕指數(shù)是整數(shù)的項共有()Jx(A A) 3 3 項(B)4項(C C)5 5 項(D)6項(5)(5)(原創(chuàng))某程序框圖如圖所示，該程序運行

4、后輸出的k k 的值是()(A A)12(B B)13(C C)14(D D)151一3X0(6)(6)(根據(jù)寧波市 20192019 屆高三上期末測試 4 4 題改編)函數(shù)f(x)=-則該函數(shù)為()3 -1,X 0(A A)單調(diào)遞增函數(shù)，奇函數(shù)(B B)單調(diào)遞增函數(shù)，偶函數(shù)(C C)單調(diào)遞減函數(shù)，奇函數(shù)(D D)單調(diào)遞減函數(shù)，偶函數(shù)2(7)(7)( (根據(jù) 20192019 浙江省高考參考試卷第 7 7 題改編)已知MBC中，AB = AC =3 , cosNABC =.若3圓O的圓心在邊BC上，且與AB和AC所在的直線都相切，則圓O的半徑為)2y =4cx上，則該雙曲線的離心率是)(A A

5、) 3(B B)5(C C)亠(D D)2 2 2(10(10 )(根據(jù) 20192019 屆杭州一模 1717 題改編)如圖，在扇形OAB中，.AOB =60,C為弧AB上且 與A,B不重合的一個動點，oC = xoA + yoB，若u = x+ &y,仏0)存在最大值，則 九的(B(B)(03(D)3(8)(引用)某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為2a的等腰三角形俯視圖是半徑為a的半圓，則該幾何體的表面積是)(A A)5二a23a2( B B) ?二a23a222(C C)3二a23a2(D D)-二a23a224(第 8 8 題)2 2(9(9 )(根據(jù) 2019201

6、9 蕭山中學 3 3 月月考 1010 題改編)已知點F(-c,0)(C 0)是雙曲線X-y2=1的左a b焦點，過F且平行于雙曲線漸近線的直線與圓X2y2= c2交于點P，且點P在拋物線側(cè)視圖A 4 第II卷（共100分）二、填空題：本大題共 7 7 小題，每小題 4 4 分，共 2828 分.x y _0,（1111）（引用）在平面直角坐標系中，不等式組x-y+4A0,（a 為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積是9,x 蘭 a,那么實數(shù)a的值為_ .（1212）（引用）記數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=2n-1），則=_.（1313） （原創(chuàng)）將 7 7 人分成 3 3 組，要求每組至多 3 3

7、 人，則不同的分組方法種數(shù)是 _.（1414） （原創(chuàng)）已知A為直線l:xy=2上一動點，若在o：x2y2=1上存在一點B使NOAB=30*成立，則點A的橫坐標取值范圍為 _ _.JI J（1515） （原創(chuàng)）函數(shù)y =cos（2x ），（0,2二），在區(qū)間（/ ）上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范6 6圍是_ .（1616） （根據(jù) 0909 年全國數(shù)學聯(lián)賽題改編） 若方程ln,=ln（X 1）沒有實數(shù)根，那么實數(shù)k的取值范圍是_ _ .（1717）（根據(jù) 20192019 浙江六校聯(lián)盟 1010 題改編）棱長為 2 2 的正四面體ABCD在空間直角坐標系中移動，但保持點 代B分別在x軸、y軸上移動

8、，則原點O到直線CD的最近距離為 _三、 解答題：本大題共 5 5 小題，共 7272 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（1818） （根據(jù)北京市東城區(qū) 0808 屆模擬考改編）（本小題滿分 1414 分）在BC中，角代B,C的對邊分另U為a, b, c，且bcosC = 4acosB -ccosB.（I I ）求cos B的值；（IIII ）若BA BC =2，且2 3，求a和c的值.（1919） （原創(chuàng)）（本小題滿分 1414 分）袋中有大小相同的10個編號為1、2、3的球，1號球有1個，2號球有m個，3號球有n個從袋中依次摸出2個球，已知在第一次摸出3號球的前提下，再摸1出一個

9、2號球的概率是丄.3（I）求m、n的值；1717、 5 （n）從袋中任意摸出2個球，記得到小球的編號數(shù)之和為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望E.-6 (20)(20)(引用)(本小題滿分 1414 分)如圖，在各棱長均為2的三棱柱ABC - A BQi中，側(cè)面A1ACC1丄底面ABC,A AC = 60.(I)求側(cè)棱AA與平面AB1C所成角的正弦值的大小;(n)已知點D滿足BD二BA BC，在直線AA1上是否存在點P，使DP/平面AB1C?若存(第 2020 題)(2121 )(根據(jù) 0909 年清華大學自主招生試題改編)(本小題滿分 1515 分)已知橢圓2 2C :7 =1(a b 0)的左

10、頂點A( -2,0)，過右焦點F且垂直于長軸的弦長為3.a b(I)求橢圓C的方程；(n)若過點A的直線丨與橢圓交于點Q,與y軸交于點R,過原點與丨平行的直線與橢圓交于點P, 求證：lAQl閱閱為定值.OP1(22(22)(原創(chuàng))(本小題滿分 1414 分)已知函數(shù)f(x) =(a)e2xx. . (a R)(I)若f(x)在區(qū)間(-：,0)上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(n)若在區(qū)間(0,=)上，函數(shù)f (x)的圖象恒在曲線y = 2aex下方，求a的取值范圍.在，請確定點P的位置；若不存在，請說明理由.1717、 7 2019年高考模擬試卷 數(shù)學（理科）答卷、選擇題：本大題共 1010

11、小題，每小題 5 5 分，共 5050 分。題目1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010選項、填空題：本大題共7 7 小題，每小題 4 4 分，共 2828 分。1111、1212、1313、1414、1515、1616、-8 三、解答題：本大題共 5 5 小題，共 7272 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。18、（本題 1414 分）1919、（本題 1414 分）-9 10 廠 2222、（本題 1515 分）2019年高考模擬試卷 數(shù)學（理科）參考答案與評分標準 9 -12 、選擇題： 本題考查基本知識和基本運算.每小題5 5 分, 共 5050 分.(

12、1(1) B B(3(3) D D(4(4)(5(5) C C(6(6) A A(8(8) B B(9(9)(10(10) C C:、 填空題：(11(11) 1 14二本題考查基本知識和基本運算.每小題(1212)44 4 分，共 2828 分.(13(13)175(15(15)(1(1) B.B.(2)(2) A.A.3(16(16) 0 _ k：4(17(17)2 -1本題考查集合運算.易得M =x 1x_1,或vac1,，故心1)(b1)0成立,”1.gb1.為充分條件；而(a 1)(b1) 0二丿5 或b =1.,，若b c1.b乞0，則logab無意義，則為不必要條件.(3(3)

13、D.D.本題考查復數(shù)的運算.(4(4) C.C.本題考查二項式定理.由于i =z -1，故i2= (z -1)224 -rr第r1項Tr1二C；4x丁x2-1，整理可得z - 2z 2 = 0._ 5二C；4X6，故當0,6,12,18,24時,12 rX的幕指數(shù)是整數(shù)，共5 5 項.(5(5) C.C.本題考查算法程序運算.由題意可知即求1 2 k一100 (kN*)時，k的最小值,故k =14.(6 6) A A .f(0)=0，且x_0時，f (x)單調(diào)遞增;x乞0時，f(x)單調(diào)遞增。所以f (x)單調(diào)遞增。(7(7)(8)(8)(9(9)f(X)=x1-3 ,x蘭0,仃、一、 ,f(

14、-x) = - f(x),31,XA0所以f(x)為奇函數(shù)。故選 A A。B.本題考查解三角形。 如圖，易得BC =4，由于ABC為等腰三角形，故O應為BC中點，即求BC中點到AB距離，由面積法可得r =注3B.B.本題考查三視圖._ V32S表面積(2a)4根據(jù)三視圖可知，幾何體為如圖所示的半圓錐，則丄a2a2a 323a2.D.D.本題考查圓錐曲線幾何性質(zhì).如圖, 設拋物線=4cx的準線為雙曲線的右焦點為F，由題意可知FF為圓x2亠y2=c2的直徑,OC，作PQFQ丄l于Q,L/ K ,OFH2-13 -14 所以PF _ PF，且tan. PFF,FF二aPF =2b。由拋物線性質(zhì)可知P

15、Q = PF =2a，且也PFQ與AFF P(14)0a乞2.本題考查直線與圓的位置關系.設A(a,2-a)，則圓心O到直線AB的距離PQIPFIPFFFi相似，所以，即b2= ac，解得e = 1o2=2c,所以PF = 2a,(10)(10) C Co本題考查平面向量運算與基本定理的運用。 1 設射線OB上存在為B，使OB OB，AB交OC于C,OC = xOA yOB = xOA y1OB = xOA；.,y OB,設OC二tOC，OCxOA yOB，由A,B,C三點共線可知xYP.y=1=1，所以u = x 2y二tx t則u=OC存在最大值即在弧AB(不包括端點)上存在與ABOC11

16、平行的切線，所以(,2)。2(11(11) 1 1.本題考查線性規(guī)劃基本知識的應用.如圖陰影部分為可行域，1為等腰直角三角形，所以S (a 2) 2(a 29，解得a = 1.2(12(12 )4.本題考查數(shù)列基本知識.當n=1時，a2an=Sn - Sn4=2(an_1) _2(an 4-)=2an一2務4,an-=2,（n一2），所以，a2=4an 4(13(13)175. .本題考查排列組合的應用.共可分為兩類：每組分別為3,3,1人，則有C3C3CAT=70人;每組分別為3,2,2人，則有c；c4A= 105人；所以共有70 105 =175人.x y = 07 Ox - y 4 =

17、02-15 d =OAsin30” = 2A,由于直線AB與圓O相交，故d =1,即OA蘭2,所以-16 a2 (2 - a)2_4，解得0 _ a _2(15),。本題考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的運用。33(16) 0k0k：4 4 .本題考查函數(shù)性質(zhì)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。解法一：由題意可知kxA010，可設f (x) = x +2,(x 1, x鼻0)，函數(shù)圖象( (圖 1)1)與直線y = k沒有交點，x1k =x + +2Ix則0 _ k：4.解法二：如圖(2)(2)，在同一坐標系中畫出y1=(x 1)2,x -1和y2二kx的圖象顯然當k =4是直線與拋物線相切，所以當0乞k : 4

18、時，沒有交點故0乞k：4I y4 -1O圖(17).2 -1。本題考查立體幾何。 解：如圖，若固定正四面體ABCD的位置，則原點 O O : :在以AB為直徑的球面上運動，設AB中點為M，則原點到直線CD的最近距離d等于點M到直線CD的距離減去球M的半徑，即d二2-1。三、解答題：大題共 5 5 小題，滿分 7272 分.當函數(shù)y = co s2xm：0)遞增時,2k二-二：2x _ 2k二，cpcp尹弓，JI所以*兀兀半JI2 2 6中31-2 6O1圖M2-17 (18) 本題主要考查正弦、余弦定理，三角公式變換, ,三角形面積公式及向量運算等基礎知識，同時考查運算求解能力。滿分 1414

19、 分。-18 解：(I I)由正弦定理得a=2Rsi nA,b=2Rs in B,c=2Rsi nC,貝U 2Rsin BcosC = 8Rsin AcosB -2Rsin C cosB, 分故sin BcosC = 4 sin A cos B _ si n C cosB,可得si n BcosC si nCcosB=4si nA cosB,即sin( B C) =4sin AcosB，可得sin A二4sin AcosB,分1又sin A = 0，因此cos B =4 6 6 分(IIII )解：由BA BC =2，可得acosB=2,1又cosB，故ac =8.4分又b2=a2c2-2ac

20、cosB,可得a2c2=16,分所以(a -c)2=0，即a =c.所以a = c =2、.2.分(19)本題主要考查排列組合, ,隨機事件的概率和隨機變量的分布列、數(shù)學期望等概念抽象概括能力。滿分 1414 分。解：(1 1 )記“第一次摸出3號球”為事件A, “第二次摸出2號球”為事件B,解得m二3, n二6;(2)隨機變量的取值為3,4,5,6,的分布列為3 34 45 56 6則P(B/A)m10 -1.9 9.1111.1414同時考查.2 2 分.4 4.6 68 8-19 1010 分所以，數(shù)學期望E =5.1414分(2020)本題主要考查空間線線、線面、面面位置關系，空間向量

21、的概念與運算等基礎知識 ，同時考查空間想象能力和推理運算能力。滿分1414 分。解：(I) 側(cè)面A,ACC,_ 底面ABC，作A,0 _AC于點O A。_ 平面ABC. .又ABC = - A AC = 60，且各棱長都相等，二AO = 1,OA= OB = 3,BO _ AC. . 2 2 分故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O - xyz，則A(0,-1,0),BC，3,0,0),A(0,0, .3),C(0,1,0), AA(0,1, 3),AB1= C 3,2,一3),AC = (0,2,0).設平面AB1C的法向量為n =(x, y,1),則n AB3x23解得n十1,0

22、,1). .n AC = 2y = 0由cosAA1,心咎丄二衛(wèi)3二亟AA In2724AA n而側(cè)棱AA與平面AB1C所成角，即是向量AA與平面ABC的法向量所成銳角的余角,側(cè)棱AA與平面AB1C所成角的正弦值的大小為 4(n)TBD = BA BC，而BA - -；3,-1,0 , BC -3,1,0.- BD =(-2、-3,0,0)又BO, 3,0,0)，點D的坐標為D(-一3,0,0)4 4 分6 6 分8 8-20 P112115553.43-21 又DP二平面ARC，故存在點P，使DP/平面ABQ，其坐標為(0,0, 3)，即恰好為A點.1414 分方法和綜合解題能力。滿分 15

23、15 分。2 2c_辿a2b2b2ym二a2b2故乩=3，可得b2=3.a分2 2所以，橢圓方程為-y1.43(2(2)由題意知，直線AQ, OP斜率存在，故設為k,則直線AQ的方程為y = k(x 2),直線OP的方程為y = kx可得R(0,2k)，則AR =2寸1 + k2.設A(x1,yj,Q(X2,y2)，聯(lián)立方程組1010 分假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P(0, y, z) ,DP二(、3, y, z). DP/平面ABQ,n =(-1,0,1)為平面ARC的法向量,1212 分(21(21)本題主要考橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關系等基礎知識,考查解析幾何的基本思想解：(1 1)a =2，設過右焦點F且垂直于長軸的弦為MN，將M (c, yM)代入橢圓方程解得.2 2 分.4 4y二k(x 2)2 2-22 消去y得：(4k23)x216k2x 16k212 =0,4k23=2(J k212)2片4k2+3所以AQAR等于定值2OP(2222)本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導數(shù)的概念、導數(shù)的應用等基礎知識，同時考查邏輯推理能 力和創(chuàng)新意識。滿分 1515 分。解：(I)f(x)在區(qū)間(-：,0)上單調(diào)遞增，則f (x) =(2a-1)e2x1_0在