1、第 4 講 算法、推理與證明、計數(shù)原理A 組基礎題組1. 設 M,N 是兩個非空集合,定義 M?N=（a,b）|a M,b N,若 P=0,1,2,3,Q=1,2,3,4,5,貝 UP?Q中元素的個數(shù)是（）A.4B.9C.20D.242. （2017 課標全國 II ,7,5 分）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績老師說：你們四人中有 2 位優(yōu)秀,2 位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績看后甲對大家說：我還是不知道我的成績根據(jù)以上信息，則（）A.乙可以知道四人的成績B. 丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績3

2、.（2017 成都第一次診斷性檢測）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸出的結果為 0,那么輸入的 x 為( )結束D.-15 項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是A.-56B.-35C.35D.565. 若從 1,2,3, -,9 這 9 個整數(shù)中同時取 4 個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有（）A.60 種B.63 種C.65 種D.66 種6. （2017 貴州適應性考試）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的 a,b 的值分別為 56,140,貝 U 輸出A.B.-1 或 1C.14.在二項式:.的展開式中恰好第/輜人f扌-2 -的 a=（）-3 -A.OB.7C.14D.287

3、.（2017 蘭州診斷考試）如圖的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學名著九章算術中的A.3B.4C.5D.62S8.設厶 ABC 的三邊長分別為 a,b,c, ABC 的面積為 S,則厶 ABC 的內切圓半徑為、+將此結論類比到空間四面體：設四面體 S-ABC 的四個面的面積分別為S,S2,S3,S4,體積為 V,則四面體的3V4VC.5 + E + % + 幼D.l + % 十 + 細9. (2017 課標全國川,4,5 分)(x+y)(2x-y)5的展開式中 x3y3的系數(shù)為()A.-80B.-40C.40D.80% - 110. 把 1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)n展開成關于

4、 x 的多項式，其各項系數(shù)和為 an,則=()nnA.2B.2 -1則輸出的 i=（“更相減損術”，執(zhí)行該程序框內切球半徑為（2V-4 -*D.2-11.（2017 福州綜合質量檢測）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的 m=168,n=112,則輸出的 k,m 的C.2-5 -值分別為()A.4,7B.4,56C.3,7D.3,5612.(2017 湖南湘中名校高三聯(lián)考)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果運行結果為 5 040,那么判斷框中應填入()A.k6?B.k6?D.k7?13. (2017 蘭州高考實戰(zhàn)模擬)觀察下列式子：1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3 +2+1,由以上

5、可推測出一個一般性結論：對于 nN,則 1+2+n+2+仁_.14. (2017 昆明教學質量檢測)某小區(qū)一號樓共有 7 層，每層只有 1 家住戶，已知任意相鄰兩層樓的住戶在同一天至多一家有快遞，且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少一家有快遞，則在同一天這 7 家住戶有無快遞的可能情況共有種.15.(a+x)(1+x)4的展開式中 x 的奇數(shù)次幕項的系數(shù)之和為32,則 a=_x216.(2017 張掖第一次診斷考試)設 f(x)是-的展開式中的中間項,若 f(x) ,則判斷框中可以填入的關于n 的判斷條件是()D.若dn滿足 dn=(b1.(-+ ax)5(- + bx)53. 已知-的展開式中

6、含值為()A.6B.9C.124.(2017 廣東五校協(xié)作體第一次診斷考試1-7 -開式中的常數(shù)項是（）A.-270B.270C.-90D.906.現(xiàn)需編制一個八位的序號，規(guī)定如下：序號由 4 個數(shù)字和 2 個 X、1 個 y、1 個 z 組成;2個 x 不能連續(xù)出現(xiàn)，且 y 在 z 的前面;數(shù)字在 0,1,2，,9 之間任選，可重復，且 4個數(shù)字之積為 8,則 符合條件的不同序號的種數(shù)為（A.12 600B.6 300C.5 0407.我們可以用隨機數(shù)法估計n的值，如圖所示的程序框圖表示其基本步驟（函數(shù) RAN 區(qū)產生隨機數(shù)的函數(shù)，它能隨機產生（0,1）內的任何一個實數(shù)）,若輸出的結果為 5

7、21,則由此可估計n的近似值為（）A.nw2 016?C.n2 016?B.nw2017?D.n2 017?1 024,則該展D.2 5205.（2017 武漢武昌調研考試-8 -8.以下數(shù)表的構造思路源于我國南宋數(shù)學家楊輝所著的詳解九章算術一書中的“楊輝三角 形”.A.3.119B.3.126D.3.151i貓4?足j=HANDi=i+lC.3.132-9 -23452 015 2CI4201520i65 79 . 4 027 4 0294 03t81216. . 056M020 2 . 16116僅有一個數(shù)，則這個數(shù)為（）這七個數(shù)字中的六個組成沒有重復數(shù)字且任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的六

8、位數(shù)，則這樣的六位數(shù)共有_ 個.（用數(shù)字作答）10.（2016 山東）觀察下列等式：照此規(guī)律,該表由若干行數(shù)字組成,從第二行起，,表中最后一行A.2 017X22 015B.2 017X22 014C.2 016X22 015D.2 016X22 0149.若用 1,2,3,4,5,6,7I+：+2 1=X1X2；+2仏竺+.X2X3;-2纟=X3X4;4=-X4X5；r. rr sin-2n + 1sm-+ -.” Isin-2n + l7a2n?r sin-+ . 丄2+2tsin-10 -答案精解精析A 組基礎題組1. C 依題意,a 有 4 種取法,b 有 5 種取法，由分步乘法計數(shù)原

9、理，得有 4X5=20 種不同取法，所以 共有 20個不同元素,故選 C.2. D 本題主要考查邏輯推理能力.由題意可知，“甲看乙、丙的成績，不知道自己的成績”說明乙、丙兩人是一個優(yōu)秀一個良好，則乙看了丙的成績，可以知道自己的成績；丁看了甲的成績，也可以知道自己的成績故選 D.23. B 當 x0 時，第一次對 y 賦值為 3x+2,第二次對 y 又賦值為-x2+1,所以 y=-x2+1,于是由-x2+仁 0,得 x=1, 綜上知輸入的 x 為-1 或 1,故選 B.4. A 因為展開式中恰好第 5 項的二項式系數(shù)最大，所以展開式共有 9 項，所以 n=8,所以二項展開式的通項公式為 Tr+1

10、= x8-r(-x-1)r= (-1)rx8-2r,令 8-2r=2, 得 r=3,所以展開式中含 x2項的系數(shù) 是(-1)3=-56.5. D 9 個整數(shù)中共有 4 個不同的偶數(shù)和 5 個不同的奇數(shù)，要使和為偶數(shù)，則 4 個數(shù)全為奇數(shù)，或全為偶數(shù)，或 2 個奇數(shù)和 2 個偶數(shù)，故不同的取法有+ +=66 種.6. D 第一次循環(huán)：a=56, b=140-56=84;第二次循環(huán):a=56,b=84-56=28;第三次循環(huán):a=56-28=28,b=28,退出循環(huán)，輸出的 a=28,因此選 D.7. B 執(zhí)行程序框圖,a=6,b=8,i=0;i=1,不滿足 ab,不滿足 a=b,b=8-6=2;

11、i=2,滿足 ab,a=6-2=4;i=3,滿足 ab,a=4-2=2;i=4,不滿足 ab，滿足 a=b,故輸出的 a=2,i=4.故選 B.8. C 設四面體的內切球的球心為O,球心 O 到四個面的距離都是R,則四面體的體積等于以O 為頂-11 -1丹點，分別以四個面為底面的 4 個三棱錐體積的和，即 V= (S1+S2+S3+S4)R,所以 R=.9. C (2x-y)5的展開式的通項為Tr+i=? (2x)5-r(-y)r=(-1)rr5.其中 x2y3的系數(shù)為(-1)322 G =-40,x3y2的系數(shù)為(-1)223 & =80.于是(x+y)(2x-y)5的展開式中 x3

12、y3的系數(shù)為-40+80=40._ 嚴 + i12 * 2n + 1- 3310. D 令 x=1,得 an=1+2+22+2n= - =2n+1-1,故：=：=2-.11. C 執(zhí)行第一個當型循環(huán)結構，第一次循環(huán):k=1,m=84,n=56,m,n 均為偶數(shù)；第二次循環(huán):k=2,m=42,n=28,m,n 均為偶數(shù)；第三次循環(huán):k=3,m=21,n=14,因為 m 不是偶數(shù)，所以結束第一個循環(huán).又 m n,所以執(zhí)行第二個當型循環(huán)結構，第一次循環(huán)：d=|21- 14|=7,m=14,n=7,m豐n;第二次循環(huán):d=|14-7|=7,m=7,n=7,因為 m=n,所以結束循環(huán)，輸出 k=3,m=

13、7,故選 C12. D 第一次循環(huán)，得 S=2,k=3;第二次循環(huán)，得 S=6,k=4;第三次循環(huán)，得 S=24,k=5;第四次循環(huán)，得 S=120,k=6;第五次循環(huán)，得 S=720,k=7;第六次循環(huán)，得 S=5 040,k=8,此時滿足題意，退出循環(huán)，輸出的 S=5 040,故判斷框中應填入“ k7?” ,故選 D.13. 答案 n2解析 由 1=1 ,1+2+1=4=2 ,1+2+3+2+1=9=3 ,1+2+3+4+3+2+1=16=4 ,，歸 納 猜想可 得21+2+n+2+1= n .14. 答案 12解析 分三類:(1)同一天 2 家有快遞：可能是 2 層和 5 層、3 層和

14、5 層、3 層和 6 層，共 3 種情況;(2) 同一天 3-12 -家有快遞：考慮將有快遞的 3 家插入沒有快遞的 4 家形成的空位中，有 種插入法，但需 減去 1 層、3 層與7 層有快遞,1 層、5 層與 7 層有快遞這兩種情況，所以有 -2=8 種情況;(3)同 一天 4 家有快遞：只有 1 層、3層、5 層、7 層有快遞這一種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，同 一天 7 家住戶有無快遞的可能情況共有3+8+仁 12 種.-13 -15.答案 3解析 設 f(x)=(a+x)(1+x)44,則其所有項的系數(shù)和為f(1)=(a+1) (1+1) =(a+1)x16,又奇數(shù)次幕1項的系數(shù)和

15、為f(1)-f(-二 a=3.11), x(a+1)x16=32,16.答案5,+a)(x2+3(1 ?解析：的展開式中的中間項為第四項，即 f(x)=(X2)3 = x3, /f(x)wmx 在區(qū)間5,+).上恒成立， m上恒成立， mm 的取值范圍是1111.C由 數(shù)陣知 A(3,2)=16+6,A(4,2)：1=11 “,A(5,2)=6 + 6 + 10 + 15.5,則A(8,2)=6+ 6 + 10 + 15 + 21 +w卜兀=5故選 C.2.D設等比數(shù)列bn的公比為q(q0),則以 b1.=b1 (b1q)22 3 (b1q ).(b1qn-1)n=(b1 )q1X22X3q-

16、 qB 組提升題組rt(n + l)- 2 1-1)njqn(n + 1) n(n+ 1) (n - 1)(n-1)n=+ 2 + 3 + +堆+ ax3.C W3a-12(H-i)-.r1 + 2 + 3 z=b1,即dn也是等比數(shù)列1X2+2X3+(n q所以 dn=(b1-5的展開式中含23b =10(a-b),2x 項的系數(shù)為由題意，得,含 x3項的系|10(a - b) |_ fi,即 |ab|=6,4.Bf(x)=3ax+x,則f(-1)=3a-1=0,解得1 1111 1 11a=,g(x)=：+ - = 姑十1)=-,g(n)=,則1 1 1 1 11n2 016|a|=|b|

17、時取得等號22|ab|=12,當且僅當S=1- + - + -=1-=,因為輸出的結果 S：,分析可知判斷框中可以填入的判斷條件是“ nW2 017? ” ,故選 B.-14 -15 -應區(qū)域的體積為13=1;不等式組卜0 x 1,0y 1,0 z 1,屮+ L 1 表示的區(qū)域是棱長為11 的正方體區(qū)域內的球形區(qū)域，相應區(qū)域的體積為117T 715213nX13,因此二 1 D00,即n7.126,選 B.8.B由題意知數(shù)表的每一行都是等差數(shù)列且第一1,第二行數(shù)的公差為2,第三行數(shù)的公差為 4,.,第 2 015 行數(shù)的公差為2第 1 行的第 個數(shù)為-12X2第 2 行的第 個數(shù)為03X2,第

18、 3 行的第 個數(shù)為4X21,第 n 行的第 個數(shù)為 (n+1)X第 2 016 行只有一個數(shù)為(1+2 016)X 22 014=2 017X 22 014.故選 B.9.答案 288和.令 x=1,得 g 024,An=5.的通項r - 5rr - 5 r-+ _ _()= 35-r(-r ,令 + =0,解得 r=3,A展開式中的常數(shù)項為 T4=X 32X(-1)3=-90,故選 C.6.B 因為 4 個數(shù)字之積為 8,則這 4 個數(shù)字的所有情況為 1,1,2,4;1,2,2,2;1,1,1,8.當這 4 個數(shù)字為 1,1,2,4 時,可組成的不同序號有=3 780 種;當這 4 個數(shù)字為 1,2,2,2 或 1,1,1,8 時,可72組成的不同序號有 =1 260 種.故符合條件的不同序號共有3 780+1 260+1 260=6 300 種,選 B.0 1,oy 1,7.B 在空間直角坐標系 O-xyz 中，不等式組 I 0Z 1 表示的區(qū)域是棱長為 1 的正方