1、計數(shù)原理概率統(tǒng)計一、單選題1算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發(fā)明的，是中國古代一項偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯數(shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的數(shù)術記遺，其中有云：“珠算控帶四時，經緯三才”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位，上面一顆珠（簡稱上珠）代表5，下面一顆珠（簡稱下珠）代表1，即五顆下珠的大小等于同組一顆上珠的大小現(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤活w上珠，從個位、十位和百位這三組中隨機往上撥2顆下珠，算盤表

2、示的數(shù)能被5整除的概率是（ ）ABCD2國慶節(jié)期間，小明在中下載了兩首歌曲：今天是你的生日和我和我的祖國，他選擇的是隨機播放的形式，每4分鐘變化一次，其中出現(xiàn)今天是你的生日的概率為，出現(xiàn)我和我的祖國的概率為若在前8次播放中出現(xiàn)今天是你的生日有5次、出現(xiàn)我和我的祖國有3次，則前2次出現(xiàn)今天是你的生日，其余6次可任意出現(xiàn)今天是你的生日3次的概率為（ ）ABCD3如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，a12.設1i<j<k12若kj=3且ji=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若kj=4且ji=3，則稱ai，aj，ak為原位小三和弦用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三

3、和弦的個數(shù)之和為（ ）A5B8C10D154 的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）A5B10C15D205設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，10xn的方差為（ ）A0.01B0.1C1D106在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（ ）ABCD7 6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）A120種B90種C60種D30種8設，則隨機變量的分布列是：則當在內增大時（ ）A增大B減小C先增大后減小D先減小后增

4、大9從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內的個數(shù)為（ ）A10B18C20D3610要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）A2種B3種C6種D8種11某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（

5、 ）ABCD12西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學生共有90位，閱讀過紅樓夢的學生共有80位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學生共有60位，則該校閱讀過西游記的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ）ABCD二、多選題13氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續(xù)5天日平均溫度不低于22”現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位）滿足以下條件：甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是24，眾數(shù)是22；乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是27，平均數(shù)是24；丙地：5個

6、數(shù)據(jù)有1個是32，平均數(shù)是26，方差是10.2則下列說法正確的是（ ）A進入夏季的地區(qū)有2個B丙地區(qū)肯定進入了夏季C乙地區(qū)肯定還未進入夏季D不能肯定甲地區(qū)進入了夏季14某學校為研究高三學生的考試成績，根據(jù)高三第一次模擬考試在高三學生中隨機抽取50名學生的思想政治考試成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示，已知思想政治成績在的學生人數(shù)為15，把頻率看作概率，根據(jù)頻率分布直方圖，下列結論正確的是（ ）ABC本次思想政治考試平均分為80D從高三學生中隨機抽取4人，其中3人成績在內的概率為15某高中2020年的高考考生人數(shù)是2010年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地比較該校考生的升學情況，統(tǒng)計了該校201

7、0年和2020年的高考升學率，得到如下柱狀圖：則下列說法中正確的有（ ）A與2010年相比，2020年一本達線人數(shù)有所減少B2020年二本達線率是2010年二本達線率的1.25倍C2010年與2020年藝體達線人數(shù)相同D與2010年相比，2020年不上線的人數(shù)有所增加16據(jù)了解，到本世紀中葉中國人口老齡化問題將日趨嚴重，如圖是專家預測中國2050年人口比例圖，若從2050年開始退休年齡將延遲到65歲，則下列敘述正確的是（ ）A到2050年已經退休的人數(shù)將超過B2050年中國4655歲的人數(shù)比1625歲的人數(shù)多C2050年中國25歲以上未退休的人口數(shù)大約是已退休人口數(shù)的1.5倍D若從中抽取10人

8、，則抽到5人的年齡在3645歲之間的概率為17我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續(xù)11天復工復產指數(shù)折線圖，下列說法正確的是A這11天復工指數(shù)和復產指數(shù)均逐日增加;B這11天期間，復產指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;C第3天至第11天復工復產指數(shù)均超過80%;D第9天至第11天復產指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;18信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（ ）A若n=1，則H(X)=0B若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C若，則H(X)隨著n的增大而增大D若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)H(Y)三、填空題1

9、9已知二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為64，且二項式的展開式中項的系數(shù)為15，則_20已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_.21在的展開式中，的系數(shù)是_22已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_四、雙空題23設，則_；_24盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_；_五、解答題25 2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各個國家都翹首以盼疫苗上市.現(xiàn)在全球已經有多款疫苗上市，并且陸續(xù)在各個國家開始接種.如今

10、我國有一款疫苗，經過三期臨床試驗以后，估計該款疫苗每次接種的有效率可達90%，并且已經陸續(xù)接到其他國家的訂單.現(xiàn)已知該款疫苗需要接種兩次，假設前后兩次接種互不影響.（1）某人接種了我國的這款疫苗，則其可以接種成功的概率為多少？（2）已知某國家已經有意向與我國簽訂疫苗訂單，買疫苗之后免費為本國首批10萬人注射.但是由于部分人可能在兩次注射疫苗之后未接種成功，所以該國決定購買一批預備疫苗為之后沒有接種成功的人進行第二輪注射，第二輪注射仍為注射兩次.根據(jù)以上信息，估計理想情況下該國需要從我國一共購買多少支疫苗？26某通信公司為了更好地滿足不同層次的消費者對流量的需求，準備推出兩款流量包“普通版”和“

11、自由版”該通信公司選了某個城市作為試點，結果如下表，其中年齡低于40歲的總人數(shù)與不低于40歲的總人數(shù)之比為年齡（單位：歲）自由版5912552普通版01356（）若以“年齡是否低于40歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為選擇不同款式的流量包與人的年齡有關；年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計自由版普通版合計（）為制定合理的資費標準，該公司以“年齡是否低于40歲為分界點”采用分層抽樣的方式從中抽取9人進行市場調研，再從中選5人進行電話咨詢，設其中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.00

12、12.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中27下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型： （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由28（2021·全國高三其他模擬）在年的新冠肺炎疫情影響下，國內國際經濟形勢呈現(xiàn)出前所未有

13、的格局某企業(yè)統(tǒng)計了年前個月份企業(yè)的利潤，如下表所示：月份企業(yè)的利潤（萬元）（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)建立該企業(yè)所獲得的利潤（萬元）關于月份的回歸直線方程，并預測年月份該企業(yè)所獲得的利潤；（2）企業(yè)產品的質量是企業(yè)的生命，該企業(yè)為了生產優(yōu)質的產品投放市場，對于生產的每一件產品必須要經過四個環(huán)節(jié)的質量檢查，若每個環(huán)節(jié)中出現(xiàn)不合格產品立即進行修復，且每個環(huán)節(jié)是相互獨立的，前三個環(huán)節(jié)中生產的產品合格的概率為，每個環(huán)節(jié)中不合格產品所需要的修復費用均為元，第四個環(huán)節(jié)中產品合格的概率為，不合格產品需要的修復費用為元，設每件產品修復的費用為元，寫出的分布列，并求出每件產品需要修復的平均費用參考公式：回歸直線方程中斜

14、率和截距的最小二乘估計公式分別為，為樣本數(shù)據(jù)的平均值29 2021年，福建、河北、遼寧、江蘇、湖北、湖南、廣東、重慶8省市將迎來“”新高考模式“3”指的是：語文、數(shù)學、英語，統(tǒng)一高考；“1”指的是：物理和歷史，考生從中選一科；“2”指的是：化學、生物、地理和政治，考生從四種中選兩種為了迎接新高考，某中學調查了高一年級1500名學生的選科傾向，隨機抽取了100人統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表：選考物理選考歷史共計男生4050女生共計30（）補全列聯(lián)表；（）將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機調查了本校的3名學生設這3人中選考歷史的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有的把握認為“選考物理

15、與性別有關”？請說明理由參考附表：0.1000.0500.0252.7063.8415.024參考公式：，其中30甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.31某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C

16、，D四個等級.加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統(tǒng)計了這些產品的等級，整理如下： 甲分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)

17、，廠家應選哪個分廠承接加工業(yè)務?32某工廠的某種產品成箱包裝，每箱件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品檢驗時，先從這箱產品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗，設每件產品為不合格品的概率都為，且各件產品是否為不合格品相互獨立（1）記件產品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；（2）現(xiàn)對一箱產品檢驗了件，結果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值已知每件產品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用（i）若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;（ii）以檢驗費

18、用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？33改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉變近年來，移動支付已成為主要支付方式之一為了解某校學生上個月A，B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學生中隨機抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下：交付金額（元）支付方式（0,1000（1000,2000大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（）從全校學生中隨機抽取1人，估計該學生上個月A，B兩種支付方式都使用的概率；（）從樣本僅使用A和僅使用B的學生中各隨機抽取1人，以X表示這2人中上

19、個月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望；（）已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化現(xiàn)從樣本僅使用A的學生中，隨機抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元根據(jù)抽查結果，能否認為樣本僅使用A的學生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由34設甲、乙兩位同學上學期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲、乙兩位同學到校情況互不影響，且任一同學每天到校情況相互獨立.（）用表示甲同學上學期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（）設為事件“上學期間的三天中，甲同學在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件

20、發(fā)生的概率.35甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有3個白球現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋，重復n次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為Xn，恰有2個黑球的概率為pn，恰有1個黑球的概率為qn（1）求p1·q1和p2·q2；（2）求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系式和Xn的數(shù)學期望E(Xn)(用n表示) 參考答案：一、單選題1算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎上發(fā)明的，是中國古代一項偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯數(shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計算工具“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的數(shù)術記遺，其中有云：“珠算控帶四時，經緯三才

21、”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個位、十位、百位，上面一顆珠（簡稱上珠）代表5，下面一顆珠（簡稱下珠）代表1，即五顆下珠的大小等于同組一顆上珠的大小現(xiàn)在從個位和十位這兩組中隨機選擇往下?lián)芤活w上珠，從個位、十位和百位這三組中隨機往上撥2顆下珠，算盤表示的數(shù)能被5整除的概率是（ ）ABCD【答案】B【解析】根據(jù)珠算的運算法則，把題干描述的操作所得到的數(shù)都列出來，找出其中能被5整除的即可.【詳解】由題意可知，若上珠下?lián)艿氖莻€位，表示5，下珠上的兩個都在個位、十位、百位，這時表示的數(shù)是，；若上珠下?lián)?/p>

22、的是十位，表示50，下珠上的兩個都在個位、十位、百位，這時表示的數(shù)是算盤所表示的數(shù)是，；若上珠下?lián)艿氖莻€位，表示5，下珠上的兩個分別在個位、十位，或者個位、百位，或者十位、百位，這時表示的數(shù)是，；若上珠下?lián)艿氖鞘唬硎?0，下珠上的兩個分別在個位、十位，或者個位、百位，或者十位、百位，這時表示的數(shù)是，所以表示的數(shù)可能有7，16，25，52，61，70，106，115，151，160，205，250，其中能被5整除的有6個，故所求事件的概率為.故選：B2國慶節(jié)期間，小明在中下載了兩首歌曲：今天是你的生日和我和我的祖國，他選擇的是隨機播放的形式，每4分鐘變化一次，其中出現(xiàn)今天是你的生日的概率為，

23、出現(xiàn)我和我的祖國的概率為若在前8次播放中出現(xiàn)今天是你的生日有5次、出現(xiàn)我和我的祖國有3次，則前2次出現(xiàn)今天是你的生日，其余6次可任意出現(xiàn)今天是你的生日3次的概率為（ ）ABCD【答案】C【解析】利用相互獨立事件的概率公式和獨立重復試驗的概率公式求解即可【詳解】解：由題意得，出現(xiàn)今天是你的生日的概率為，出現(xiàn)我和我的祖國的概率為，所以前兩次出現(xiàn)今天是你的生日的概率為，其余6次出現(xiàn)今天是你的生日3次的概率，所以所求概率為，故選：C3如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為a1，a2，a12.設1i<j<k12若kj=3且ji=4，則稱ai，aj，ak為原位大三和弦；若kj=4且ji=3，則稱ai

24、，aj，ak為原位小三和弦用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為（ ）A5B8C10D15【答案】C【解析】根據(jù)原位大三和弦滿足，原位小三和弦滿足從開始，利用列舉法即可解出【詳解】根據(jù)題意可知，原位大三和弦滿足：；原位小三和弦滿足：；故個數(shù)之和為10故選：C4 的展開式中x3y3的系數(shù)為（ ）A5B10C15D20【答案】C【解析】求得展開式的通項公式為（且），即可求得與展開式的乘積為或形式，對分別賦值為3，1即可求得的系數(shù)，問題得解.【詳解】展開式的通項公式為（且）所以的各項與展開式的通項的乘積可表示為：和在中，令，可得：，該項中的系數(shù)為，在中，令，可得：，該項中的系數(shù)

25、為所以的系數(shù)為故選：C5設一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，10xn的方差為（ ）A0.01B0.1C1D10【答案】C【解析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關系確定方差關系，即得結果.【詳解】因為數(shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C6在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應樣本的標準差最大的一組是（ ）ABCD【答案】B【解析】計算出四個選項中對應數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標準差最大的一組.【詳解】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

26、方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組的標準差最大.故選：B.7 6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）A120種B90種C60種D30種【答案】C【解析】分別安排各場館的志愿者，利用組合計數(shù)和乘法計數(shù)原理求解.【詳解】首先從名同學中選名去甲場館，方法數(shù)有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學去丙場館.故不同的安排方法共有種.故選：C8設，則隨機變量的分布列是：則當在內增大時（ ）A增大B減小C先增大后減小D先減小后增大【答案】D【解析】方法1：由分

27、布列得，則，則當在內增大時，先減小后增大.方法2：則故選D.9從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內的個數(shù)為（ ）A10B18C20D36【答案】B【解析】根據(jù)直方圖確定直徑落在區(qū)間之間的零件頻率，然后結合樣本總數(shù)計算其個數(shù)即可.【詳解】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內零件的個數(shù)為：.故選：B.10要安排3名學生到2個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學生只能選擇去一個村，每個村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有（ ）A2種B3種C6種D8種【答案】C【解析】首先將3名學生分成兩個組，然后將

28、2組學生安排到2個村即可.【詳解】第一步，將3名學生分成兩個組，有種分法第二步，將2組學生安排到2個村，有種安排方法所以，不同的安排方法共有種故選：C11某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關系，在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是（ ）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)散點圖的分布可選擇合適的函數(shù)模型.【詳解】由散點圖分布可知，散點圖分布在一個對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸

29、方程類型的是.故選：D.12西游記三國演義水滸傳和紅樓夢是中國古典文學瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著.某中學為了解本校學生閱讀四大名著的情況，隨機調查了100學生，其中閱讀過西游記或紅樓夢的學生共有90位，閱讀過紅樓夢的學生共有80位，閱讀過西游記且閱讀過紅樓夢的學生共有60位，則該校閱讀過西游記的學生人數(shù)與該校學生總數(shù)比值的估計值為（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意得，閱讀過西游記的學生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學生人數(shù)之比為70÷100=0.7故選C二、多選題13氣象意義上從春季進入夏季的標志為：“連續(xù)5天日平均溫度不低于22”現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天日平均

30、溫度的記錄數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，單位）滿足以下條件：甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是24，眾數(shù)是22；乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是27，平均數(shù)是24；丙地：5個數(shù)據(jù)有1個是32，平均數(shù)是26，方差是10.2則下列說法正確的是（ ）A進入夏季的地區(qū)有2個B丙地區(qū)肯定進入了夏季C乙地區(qū)肯定還未進入夏季D不能肯定甲地區(qū)進入了夏季【答案】ABC【解析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)，方差判斷三地數(shù)據(jù)中最低的溫度是否低于22，即可得【詳解】甲地：設甲地的其他兩個數(shù)據(jù)分別為，且，將5個數(shù)據(jù)由小到大排列得22，22，24，其中，滿足進入夏季的標志；乙地：設乙地其他四個數(shù)據(jù)分別為，且，將5個數(shù)據(jù)由小到大排列得，27，則，而，故，其中

31、必有一個小于22，故不滿足進入夏季的標志；丙地：設5個數(shù)據(jù)分別為，32，且，由方差公式可知，則，易知，均大于22，滿足進入夏季的標志綜上，ABC正確，故選：ABC14某學校為研究高三學生的考試成績，根據(jù)高三第一次模擬考試在高三學生中隨機抽取50名學生的思想政治考試成績繪制成頻率分布直方圖如圖所示，已知思想政治成績在的學生人數(shù)為15，把頻率看作概率，根據(jù)頻率分布直方圖，下列結論正確的是（ ）ABC本次思想政治考試平均分為80D從高三學生中隨機抽取4人，其中3人成績在內的概率為【答案】ABD【解析】對于A，直接利用已知的數(shù)據(jù)可求出的值；對于B，利用所有頻率和為1求解；對于C，利用平均數(shù)的定義求解即

32、可；對于D，由頻率分布直方圖可得內的概率為0.16，從而可得結論【詳解】由題知，選項A正確；，選項B正確；本次思想政治考試平均分估計值為，選項C錯誤；可知在內的概率為0.16，從高三學生中隨機抽取4人，其中3人成績在內的概率為，選項D正確，故選：ABD15某高中2020年的高考考生人數(shù)是2010年高考考生人數(shù)的1.5倍，為了更好地比較該校考生的升學情況，統(tǒng)計了該校2010年和2020年的高考升學率，得到如下柱狀圖：則下列說法中正確的有（ ）A與2010年相比，2020年一本達線人數(shù)有所減少B2020年二本達線率是2010年二本達線率的1.25倍C2010年與2020年藝體達線人數(shù)相同D與201

33、0年相比，2020年不上線的人數(shù)有所增加【答案】BD【解析】根據(jù)柱狀圖中的數(shù)據(jù)求解.【詳解】設2010年高考考生人數(shù)為a，則2020年的高考考生人數(shù)是的1.5a，A. 2010年一本達線人數(shù)為0.28a，2020年一本達線人數(shù)a，故錯誤；B. 2020年二本達線率是，2010年二本達線率是，故正確；C. 2010年藝體達線人數(shù)0.08a， 2020年藝體達線人數(shù)，故錯誤；D.與2010年不上線的人數(shù)0.32a,相比，2020年不上線的人數(shù),故正確；故選：BD16據(jù)了解，到本世紀中葉中國人口老齡化問題將日趨嚴重，如圖是專家預測中國2050年人口比例圖，若從2050年開始退休年齡將延遲到65歲，則

34、下列敘述正確的是（ ）A到2050年已經退休的人數(shù)將超過B2050年中國4655歲的人數(shù)比1625歲的人數(shù)多C2050年中國25歲以上未退休的人口數(shù)大約是已退休人口數(shù)的1.5倍D若從中抽取10人，則抽到5人的年齡在3645歲之間的概率為【答案】AC【解析】A：根據(jù)餅狀圖直接判斷即可；B：根據(jù)餅狀圖的數(shù)據(jù)進行運算判斷即可；C：根據(jù)餅狀圖的數(shù)據(jù)進行運算判斷即可；D：根據(jù)二項分布的概率公式進行運算判斷即可.【詳解】由餅狀圖知2050年中國將有約的人已經退休，所以選項A正確；設4655歲的人數(shù)為人，1625歲的人數(shù)為人，則4655歲的人數(shù)比1625歲的人數(shù)多，所以選項B錯誤；25歲以上未退休的人口數(shù)占

35、，已退休人口數(shù)占，所以25歲以上未退休的人口數(shù)大約是已退休人口數(shù)的1.5倍，所以選項C正確；年齡在3645歲之間的概率為從所有人中抽取10人，則抽到5人的年齡在3645歲之間的概率為，所以選項D錯誤，故選：AC17我國新冠肺炎疫情進入常態(tài)化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續(xù)11天復工復產指數(shù)折線圖，下列說法正確的是A這11天復工指數(shù)和復產指數(shù)均逐日增加;B這11天期間，復產指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;C第3天至第11天復工復產指數(shù)均超過80%;D第9天至第11天復產指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量;【答案】CD【解析】注意到折線圖中有遞減部分，可判定A錯誤；注意考查第1天和第11天的復工復產指數(shù)

36、的差的大小，可判定B錯誤；根據(jù)圖象，結合復工復產指數(shù)的意義和增量的意義可以判定CD正確.【詳解】由圖可知，第1天到第2天復工指數(shù)減少，第7天到第8天復工指數(shù)減少，第10天到第11復工指數(shù)減少，第8天到第9天復產指數(shù)減少，故A錯誤；由圖可知，第一天的復產指標與復工指標的差大于第11天的復產指標與復工指標的差，所以這11天期間，復產指數(shù)增量小于復工指數(shù)的增量，故B錯誤;由圖可知，第3天至第11天復工復產指數(shù)均超過80%，故C正確;由圖可知，第9天至第11天復產指數(shù)增量大于復工指數(shù)的增量，故D正確;18信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（ ）A若n=1

37、，則H(X)=0B若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C若，則H(X)隨著n的增大而增大D若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項，求得，由此判斷出A選項的正確性；對于B選項，利用特殊值法進行排除；對于C選項，計算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質可判斷出C選項的正確性；對于D選項，計算出，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質判斷出D選項的正確性.【詳解】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，所以，當時，當時，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且

38、（）.由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC三、填空題19已知二項式的展開式的二項式系數(shù)之和為64，且二項式的展開式中項的系數(shù)為15，則_【答案】【解析】由題意可得，從而可求得，進而可得二項式展開式的通項公式，再由已知條件列方程可求出的值【詳解】由展開式的二項式系數(shù)之和為64，可得，則展開式的通項為，當時，故答案為：20已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，則的值是_.【答案】2【解析】根據(jù)平均數(shù)的公式進行求解即可【詳解】數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4，即.故答案為：2.21在的展開式中，的系數(shù)是_【答案】10【解析】寫出二項展開式的通項公式，整理后令的指數(shù)為2，即可求出【詳解】因為的展開式的通項公式

39、為，令，解得所以的系數(shù)為故答案為：22已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_；甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為_【答案】 【解析】根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率關系，即可求出兩球都落入盒子的概率；同理可求兩球都不落入盒子的概率，進而求出至少一球落入盒子的概率.【詳解】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子的概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.故答案為：；.四、雙空題23設，則_；_【答案】 【解析】利用二項式展開式的通項公式計算即可.【詳解】的

40、通項為，令，則，故；.故答案為：；.24盒子里有4個球，其中1個紅球，1個綠球，2個黃球，從盒中隨機取球，每次取1個，不放回，直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數(shù)為，則_；_【答案】 【解析】先確定對應事件，再求對應概率得結果；第二空，先確定隨機變量，再求對應概率，最后根據(jù)數(shù)學期望公式求結果.【詳解】因為對應事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機變量，所以.故答案為：.五、解答題25 2020年新冠肺炎疫情肆虐全球，各個國家都翹首以盼疫苗上市.現(xiàn)在全球已經有多款疫苗上市，并且陸續(xù)在各個國家開始接種.如今我國有一款疫苗，經過三期臨床試驗以后，估計該款疫苗每次接種的有效率

41、可達90%，并且已經陸續(xù)接到其他國家的訂單.現(xiàn)已知該款疫苗需要接種兩次，假設前后兩次接種互不影響.（1）某人接種了我國的這款疫苗，則其可以接種成功的概率為多少？（2）已知某國家已經有意向與我國簽訂疫苗訂單，買疫苗之后免費為本國首批10萬人注射.但是由于部分人可能在兩次注射疫苗之后未接種成功，所以該國決定購買一批預備疫苗為之后沒有接種成功的人進行第二輪注射，第二輪注射仍為注射兩次.根據(jù)以上信息，估計理想情況下該國需要從我國一共購買多少支疫苗？【答案】（1）99%；（2）購買20.2萬支疫苗.【解析】（1）利用概率的加法公式根據(jù)題意計算即可；（2）結合第（1）問，用頻率估計概率，再用概率估計總體.

42、【詳解】（1）方法一：接種兩次的情況下接種成功，可能會出現(xiàn)“第一次接種成功第二次接種不成功”“第一次接種不成功第二次接種成功”“兩次都接種成功”3種情況.則其概率，此人可以接種成功的概率為99%.方法二：接種兩次的情況下接種成功，可以轉化為“1-兩次接種都不成功的概率”，因此所求概率，此人可以接種成功的概率為99%.（2）由（1）可得，接種該款疫苗可以接種成功的概率為99%，未接種成功的概率為1%，(人)，則有1000人需要進行第二輪注射，(萬支)，估計理想情況下該國需要從我國一共購買20.2萬支疫苗.26某通信公司為了更好地滿足不同層次的消費者對流量的需求，準備推出兩款流量包“普通版”和“自

43、由版”該通信公司選了某個城市作為試點，結果如下表，其中年齡低于40歲的總人數(shù)與不低于40歲的總人數(shù)之比為年齡（單位：歲）自由版5912552普通版01356（）若以“年齡是否低于40歲為分界點”，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為選擇不同款式的流量包與人的年齡有關；年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計自由版普通版合計（）為制定合理的資費標準，該公司以“年齡是否低于40歲為分界點”采用分層抽樣的方式從中抽取9人進行市場調研，再從中選5人進行電話咨詢，設其中40歲以下的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.001

44、2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中【答案】（）列聯(lián)表見解析，有的把握認為選擇不同款式的流量包與人的年齡有關；（）分布列見解析，.【解析】（）首先利用年齡低于40歲的總人數(shù)與不低于40歲的總人數(shù)之比為，求出，由表中數(shù)據(jù)即可完善列聯(lián)表，由列聯(lián)表求出觀測值，根據(jù)獨立性檢驗的基本思想即可求解.（）利用分層抽樣可得低于40歲抽取6人，不低于40歲應抽取3人，得出低于40歲的人數(shù)的可能取值，再根據(jù)超幾何分布得出分布列，求出數(shù)學期望即可.【詳解】（）由題中所給數(shù)據(jù)可得低于40歲共40人，不低于40歲的人數(shù)為又年齡低于40歲的總人數(shù)與不低于40歲的總人數(shù)之比為，所以

45、由此可得年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計自由版31738普通版91322合計402060，所以有的把握認為選擇不同款式的流量包與人的年齡有關（）由已知得低于40歲共40人，不低于40歲共20人，由此可得低于40歲抽取6人，不低于40歲應抽取3人，從9人中抽取5人，則其中低于40歲的人數(shù)的取值可能為2，3，4，5，所以的分布列為234527下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎設施投資額（單位：億元）的折線圖 為了預測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型：；根據(jù)2010年至2016

46、年的數(shù)據(jù)（時間變量的值依次為）建立模型： （1）分別利用這兩個模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值； （2）你認為用哪個模型得到的預測值更可靠？并說明理由【答案】（1）利用模型預測值為226.1，利用模型預測值為256.5，（2）利用模型得到的預測值更可靠【解析】（1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為 =30.4+13.5×19=226.1（億元）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值為=99+17.5×9=256.5（億元）（2）利用模型得到的預測值更可靠理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)

47、對應的點沒有隨機散布在直線y=30.4+13.5t上下，這說明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能很好地描述環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢2010年相對2009年的環(huán)境基礎設施投資額有明顯增加，2010年至2016年的數(shù)據(jù)對應的點位于一條直線的附近，這說明從2010年開始環(huán)境基礎設施投資額的變化規(guī)律呈線性增長趨勢，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型=99+17.5t可以較好地描述2010年以后的環(huán)境基礎設施投資額的變化趨勢，因此利用模型得到的預測值更可靠（ii）從計算結果看，相對于2016年的環(huán)境基礎設施投資額220億元，由模型得到的預測值226.1億元的增幅明顯偏低，

48、而利用模型得到的預測值的增幅比較合理，說明利用模型得到的預測值更可靠28（2021·全國高三其他模擬）在年的新冠肺炎疫情影響下，國內國際經濟形勢呈現(xiàn)出前所未有的格局某企業(yè)統(tǒng)計了年前個月份企業(yè)的利潤，如下表所示：月份企業(yè)的利潤（萬元）（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)建立該企業(yè)所獲得的利潤（萬元）關于月份的回歸直線方程，并預測年月份該企業(yè)所獲得的利潤；（2）企業(yè)產品的質量是企業(yè)的生命，該企業(yè)為了生產優(yōu)質的產品投放市場，對于生產的每一件產品必須要經過四個環(huán)節(jié)的質量檢查，若每個環(huán)節(jié)中出現(xiàn)不合格產品立即進行修復，且每個環(huán)節(jié)是相互獨立的，前三個環(huán)節(jié)中生產的產品合格的概率為，每個環(huán)節(jié)中不合格產品所需要的修復費

49、用均為元，第四個環(huán)節(jié)中產品合格的概率為，不合格產品需要的修復費用為元，設每件產品修復的費用為元，寫出的分布列，并求出每件產品需要修復的平均費用參考公式：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，為樣本數(shù)據(jù)的平均值【答案】（1）；萬元；（2）分布列見解析；修復的平均費用為元【解析】（1）根據(jù)給出的數(shù)值，計算出，利用最小二乘法可得回歸直線的方程；（2）由題意可確定所有可能的取值，依次求出每個取值對應的概率，進而得到分布列，由數(shù)學期望計算公式可求出期望【詳解】（1）由表格數(shù)據(jù)知：，由回歸直線經過樣本點的中心可知：，則回歸直線方程為：預測年月份該企業(yè)所獲得的利潤為：（萬元）（2）根據(jù)題意知所有

50、可能取值為：，；的分布列為：，即每件產品需要修復的平均費用為元.29 2021年，福建、河北、遼寧、江蘇、湖北、湖南、廣東、重慶8省市將迎來“”新高考模式“3”指的是：語文、數(shù)學、英語，統(tǒng)一高考；“1”指的是：物理和歷史，考生從中選一科；“2”指的是：化學、生物、地理和政治，考生從四種中選兩種為了迎接新高考，某中學調查了高一年級1500名學生的選科傾向，隨機抽取了100人統(tǒng)計選考科目人數(shù)如下表：選考物理選考歷史共計男生4050女生共計30（）補全列聯(lián)表；（）將此樣本的頻率視為總體的概率，隨機調查了本校的3名學生設這3人中選考歷史的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望；（）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷是否有的把握認

51、為“選考物理與性別有關”？請說明理由參考附表：0.1000.0500.0252.7063.8415.024參考公式：，其中【答案】（）答案見解析；（）分布列見解析，；（）有，理由見解析【解析】（）根據(jù)題意補全列聯(lián)表；（）隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3，服從二項分布，運用獨立重復試驗公式求出概率后列出分布列，再根據(jù)二項分布求出期望；（）根據(jù)列聯(lián)表，利用公式計算出臨界值，與臨界值表中的數(shù)據(jù)進行比較，即可得出結論【詳解】解：（）根據(jù)題意補全列聯(lián)表，如下：選考物理選考歷史共計男生401050女生302050共計7030100（）的所有可能取值為0，1，2，3，隨機變量服從二項分布，由題意，學生選考歷史的概率為，且，的分布列為0123（）由表中數(shù)據(jù)，計算的觀測值，參照附表知，有的把握認為“選考物理與性別有關”30甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束.經抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設每場比賽雙方獲