1、§1 歸納與類比1.1 歸納推理(教師用書獨(dú)具)三維目標(biāo)1知識(shí)與技能(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)歸納推理的特征、概括歸納推理的定義，知道歸納推理是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法(2)掌握歸納推理的一般性步驟：“觀察分析歸納猜想”，并能利用歸納推理解決簡(jiǎn)單問題2過程與方法通過具體實(shí)例的探究，使學(xué)生掌握觀察問題的角度，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和抽象概括能力，體會(huì)從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律3情感、態(tài)度與價(jià)值觀(1)通過對(duì)具體實(shí)例的分析與探究，體會(huì)歸納推理是認(rèn)識(shí)世界、改造世界的重要手段，培養(yǎng)學(xué)生探究精神和創(chuàng)新意識(shí)(2)通過本節(jié)的學(xué)習(xí)和運(yùn)用，體會(huì)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的方法，樹立用數(shù)學(xué)思維方式創(chuàng)新探究的意識(shí)，不斷提高自身的數(shù)

2、學(xué)素養(yǎng)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：了解歸納推理的含義，能利用歸納進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理難點(diǎn)：用歸納進(jìn)行推理，做出猜想教學(xué)時(shí)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察，例如先整體，再局部；哪些是共同點(diǎn)，哪些是區(qū)別？哪些量變化，哪些量不變，變化部分有什么規(guī)律？等等通過不斷地觀察、分析、歸納提出猜想，從而化解難點(diǎn)這一過程要讓學(xué)生多探究、多交流，以便提高學(xué)生抽象概括能力通過對(duì)具體問題的簡(jiǎn)單求解，使學(xué)生理解歸納推理是根據(jù)一類事物中部分事物具有的特征，推斷該事物中每個(gè)事物都具有這種屬性的推理方式，明確歸納推理的特點(diǎn)，強(qiáng)化重點(diǎn)(教師用書獨(dú)具)教學(xué)建議 本節(jié)內(nèi)容屬于數(shù)學(xué)思維方法歸納法，結(jié)合生活實(shí)例和學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例(如數(shù)列)，把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容

3、中的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，使學(xué)生更加明確這些方法，并在今后的學(xué)習(xí)中有意識(shí)使用它提出猜想因此，本節(jié)課宜采用探究式課堂教學(xué)模式，即在教師精心準(zhǔn)備的具體問題情境下，讓學(xué)生主動(dòng)探究，然后通過師生、生生交流歸納、揭示規(guī)律，形成概念，獲取方法，并在具體問題的求解中，深化規(guī)律，形成技能，使知識(shí)與思想方法得以升華教學(xué)流程運(yùn)用規(guī)律，解決問題.利用歸納推理解決例2，加深對(duì)歸納推理的認(rèn)識(shí)，初步認(rèn)識(shí)歸納推理的特點(diǎn). 變練演編，升華提高.通過習(xí)題1和習(xí)題2，讓學(xué)生掌握歸納推理的一般步驟，可作變式訓(xùn)練，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察. 課標(biāo)解讀1.理解歸納推理的定義2.能夠利用歸納推理進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.體

4、會(huì)歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.歸納推理【問題導(dǎo)思】1已知數(shù)列an的前5項(xiàng)依次為1,3,6, 10,15.這五項(xiàng)的變化是遞增還是遞減？有什么規(guī)律？【提示】遞增；從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差成等差數(shù)列2猜想問題1中第6項(xiàng)的值【提示】213猜想出的結(jié)論一定正確嗎？【提示】不一定1歸納推理的定義根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性，這種推理方式稱為歸納推理2歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的數(shù)與式的歸納已知數(shù)列an滿足a11，(n1,2,3，)(1)求a2，a3，a4，a5，并猜想通項(xiàng)公式an；(2)根據(jù)(

5、1)中的猜想，有下面的數(shù)陣：S1a1S2a2a3S3a4a5a6S4a7a8a9a10S5a11a12a13a14a15試求S1，S1S3，S1S3S5，并猜想S1S3S5S2n1的值【思路探究】【自主解答】(1)因?yàn)閍11，由知an1·an，故a22，a33，a44，a55.可歸納猜想出ann(nN*)(2)根據(jù)(1)中的猜想，數(shù)陣為：S11S2235S345615S47891034S5111213141565故S1114，S1S31151624，S1S3S5115658134，可猜想S1S3S5S2n1n4.1本題中通項(xiàng)an易于猜想，而猜想S1S3S2n1時(shí)，應(yīng)注意將每個(gè)式子及其

6、結(jié)果同n的取值對(duì)應(yīng)，并嘗試用含n的代數(shù)式f(n)歸納2在對(duì)數(shù)與式進(jìn)行歸納時(shí)，應(yīng)堅(jiān)持“先整體，后局部”的原則，先從整體上把握數(shù)與式的特征及變化規(guī)律，然后著眼局部變化規(guī)律的歸納在數(shù)列an中，a11，且an1(nN*)，猜想這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式【解】在an中，a11，an1，a2；a3；a4；猜想an的通項(xiàng)公式為an(nN*).圖與形的歸納古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，如圖111：圖111由于圖中1,3,6,10這些數(shù)能夠表示成三角形，故被稱為三角形數(shù)，試結(jié)合組成三角形數(shù)的特點(diǎn)，歸納第n個(gè)三角形數(shù)的石子個(gè)數(shù)【思路探究】可根據(jù)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律歸納出三角形數(shù)的形成規(guī)律，如11,312,6

7、123；也可以直接分析三角形數(shù)與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而歸納出第n個(gè)三角形數(shù)【自主解答】法一由11，312，6123，101234，可歸納出第n個(gè)三角形數(shù)為123n.法二觀察項(xiàng)數(shù)與對(duì)應(yīng)項(xiàng)的關(guān)系特點(diǎn)如下：項(xiàng)數(shù)1234對(duì)應(yīng)項(xiàng)分析：各項(xiàng)的分母均為2，分子分別為相應(yīng)項(xiàng)數(shù)與相應(yīng)項(xiàng)數(shù)加1的積歸納：第n個(gè)三角形數(shù)的石子數(shù)應(yīng)為：.1通過圖形中石子的排列規(guī)律，分析出三角形數(shù)的形成規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵，同時(shí)較法二來講也易于操作；實(shí)質(zhì)上數(shù)列1,3,6,10，中從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成一個(gè)以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故這類數(shù)列求通項(xiàng)時(shí)，可借鑒三角形數(shù)的形成規(guī)律如猜想5,7,10,14,19，的通項(xiàng)時(shí)，可通過5

8、5,752,10523,145234,1952345，得an5234n5.2對(duì)于圖與形的歸納一般有兩種方法，一是通過圖形中呈現(xiàn)的規(guī)律求解；二是將每個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的數(shù)字求出后，分析各數(shù)的變化規(guī)律(如是增還是減？如何增減？等)后進(jìn)而猜想，實(shí)質(zhì)上就將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)與式的猜想了(1)如圖，將一個(gè)邊長為1的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向三角形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖，如此繼續(xù)下去，得圖試用n表示出第n個(gè)圖形的邊數(shù)an_.圖圖圖圖112【解析】觀察圖形可知，a13，a212，a348，故an是首項(xiàng)為3，公比為4的等比數(shù)列，故an3×4n1.【答案】3×4n1(2)下面是

9、按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：設(shè)第n個(gè)圖有an根樹枝，則an1與an(n1)之間的關(guān)系是_圖113【解析】由圖可得，第一個(gè)圖形有1根樹枝，a11，第2個(gè)圖形有3根樹枝，即a23，同理可知：a37，a415，a531.歸納可知：a232×112a11，a372×312a21，a4152×712a31，a5312×1512a41，由歸納推理可猜測(cè)：an12an1.【答案】an12an1歸納推理的綜合應(yīng)用(2012·山東高考改編)已知數(shù)列an中，an9n8(nN*)，(1)試分別計(jì)算數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9,92)和(92,94)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)；(2

10、)對(duì)任意mN*，將數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列bm的通項(xiàng)公式【思路探究】分別令9<an<92,92<an<94求解項(xiàng)數(shù)n的范圍，并求對(duì)應(yīng)項(xiàng)數(shù)；利用(1)中的方法解答(2)【自主解答】(1)令9<an<92，即9<9n8<92，解得1<n<9，故2n9，因此，數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(9,92)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為8；同理，令92<an<94，解得91n93，故數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(92,94)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為939；(2)由題意，令9m<9n8<92m，得9m1<n<92m1，9m

11、11n92m1，故bm92m19m1.1解答本題第(2)問的關(guān)鍵是通過第(1)問中兩種特殊情況的求解，歸納出一般性規(guī)律從而使問題獲解2歸納推理是一種從特殊到一般，從實(shí)驗(yàn)事實(shí)到理論的一種尋找真理和發(fā)現(xiàn)真理的手段，是通過歸納得到結(jié)論或發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑的有效方法如圖114所示，點(diǎn)M是橢圓1(a>b>0)上一動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)M到圓x2y2b2的兩條切點(diǎn)MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B.下面是探究當(dāng)AMB時(shí)，橢圓離心率e的取值范圍的過程圖114連接OA，OB，MA，MB與圓相切，OAMA，OBMB，連接OM，AMB，AMO，|OM|b，又在橢圓中|OM|b，a，故ba，即2b2a2，2(a2c2)a

12、2，即a22c2，離心率e的取值范圍是，1)(1)若將“AMB”改為“AMB”，試探究離心率e的取值范圍(2)試將本題加以推廣，得到一個(gè)一般性結(jié)論【解】連接OA，OB，OM，易知AMO，在RtAOM中，|OM|2b，又|OM|a，即2ba.故橢圓的離心率的范圍是，1)(2)同上述解法，設(shè)AMB2(0<<)，則AMO，在RtAOM中，|OM|，又|OM|b，a，a，即a2c2a2sin2，整理，得a2cos2c2，故cos ，所以，離心率e的取值范圍是cos ，1)忽視“項(xiàng)數(shù)n”與“命題”間的對(duì)應(yīng)關(guān)系致誤已知 2， 3，4， 5，則第n個(gè)式子為()A.n(nN*)B.n(n2)C.(

13、n1)(nN*)D.(n1)(n2)【錯(cuò)解】通過觀察知3221,8321,15421,24521，故第n個(gè)式子為n(n2)，故選B.【答案】B【錯(cuò)因分析】本題解答忽視了“項(xiàng)數(shù)n”與“第n個(gè)命題”間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即第1個(gè)式子中用1表示為(11) .【正解】n1時(shí)，有(11)，n2時(shí)，有(21)，n3時(shí)，有 (31)，同理n4，n5時(shí)，也有相同規(guī)律故猜想第n個(gè)式子為(n1)(nN*)應(yīng)選C.【答案】C1歸納推理是由特殊到一般的推理，是發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論或解題方法的重要途徑2歸納推理屬于不完全歸納，故所得結(jié)論不一定可靠，需給出證明3歸納推理的思維過程從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納提出猜想.1在數(shù)

14、列an中，a10，an12an2，則an是()A2n2B2n2C2n11 D2n14【解析】當(dāng)n1,2,3時(shí)，求得a22，a36，a414，觀察知an2n2.【答案】B2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2·an(n2)，且a11通過計(jì)算a2，a3，a4，猜想an()A. B.C. D.【解析】可以通過Snn2an分別代入n2,3,4求得a2，a3，a4，猜想an.【答案】B3把1,3,6,10,15,21，這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形，如圖115所示，則第七個(gè)三角形數(shù)是_圖115【解析】第一個(gè)三角形數(shù)是1，第二個(gè)三角形數(shù)是123，第三個(gè)三角形數(shù)是1236，

15、第四個(gè)三角形數(shù)是123410.因此，由歸納推理得第n個(gè)三角形數(shù)是1234n.由此可以得出第七個(gè)三角形數(shù)是28.【答案】284平面內(nèi)有n條直線，其中任何兩條都不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，試歸納它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)【解】n2時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(2)1.n3時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(3)3.n4時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(4)6.n5時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)：f(5)10.猜想f(n)n(n1)(n2)一、選擇題1已知數(shù)列，1,1，2，3，猜想該數(shù)列的第6項(xiàng)為()A4B4C5 D5【解析】將各項(xiàng)均寫成假分?jǐn)?shù)的形式為，即，故猜想第6項(xiàng)為5.【答案】D2觀察下列各式：7249,73343,742 401，則72 011的末兩位數(shù)字為()A0

16、1 B43C07 D49【解析】7516 807,76117 649，由運(yùn)算規(guī)律知末兩位數(shù)字以4為周期重復(fù)出現(xiàn)，故72 01174×5023，故其末兩位數(shù)字為43.【答案】B3(2013·廈門高二檢測(cè))觀察下列等式：1323(12)2，132333(123)2,13233343(1234)2，根據(jù)上述規(guī)律第n個(gè)等式為()A132333n3(123n)2B1323n3123(n1)2C132333(n1)3(123n)2D132333(n1)3123(n1)2【解析】將各等式中的變化規(guī)律同n對(duì)應(yīng)起來可知選D.【答案】D4有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律，拼成若干個(gè)圖案

17、，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是()圖116A26 B31C32 D36【解析】設(shè)第n個(gè)圖案有an個(gè)菱形花紋的正六邊形，則a16×10，a26×21，a36×32，故猜想a66×6531.【答案】B5把正偶數(shù)列2n的各項(xiàng)從小到大依次排成如下的三角形狀數(shù)表，記M(r，t)表示該表中第r行的第t個(gè)數(shù)，則表中的數(shù)2 014對(duì)應(yīng)于()2468101214161820AM(45,14) BM(45,27)CM(46,14) DM(46,27)【解析】由題意2 014是數(shù)列2n中的第1 007項(xiàng)，而數(shù)陣中的前r行共有123r，令1 007知r最大值為44.

18、當(dāng)r44時(shí)，前44行共有990項(xiàng)，故2 014位于第45行，第1 00799027個(gè)數(shù)，即M(45,27)【答案】B二、填空題6如圖117所示，由若干個(gè)點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，nN)個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)記為an，則a6_，an_.圖117【解析】依據(jù)圖形特點(diǎn)可知當(dāng)n6時(shí)，三角形各邊上各有6個(gè)點(diǎn)，因此a63×6315.由n2,3,4,5,6時(shí)各圖形的特點(diǎn)歸納得an3n3(n2，nN)【答案】153n3(n2，nN)7設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，計(jì)算得f(2)，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，觀察上述結(jié)果，可推測(cè)一般的

19、結(jié)論為_【解析】由題意f(21)，f(22)>，f(23)>，f(24)>，故一般的結(jié)論為f(2n).【答案】f(2n)8(2013·深圳高二檢測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)(x0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.【解析】依題意，先求函數(shù)結(jié)果的分母中x項(xiàng)系數(shù)所組成數(shù)列的通項(xiàng)公式，由1,3,7,15，可推知該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an2n1.又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16，故其通項(xiàng)公式為bn2n.所以當(dāng)n2時(shí)，fn(x)

20、f(fn1(x).【答案】三、解答題9在ABC中，不等式成立，在四邊形ABCD中，不等式成立，在五邊形ABCDE中，不等式成立，猜想在n邊形A1A2An中，其不等式為什么？【解】不等式左邊項(xiàng)數(shù)分別為3,4,5時(shí)，不等式右邊的數(shù)依次為，其分子依次為32,42,52，分母依次為(32)，(42)，(52)，故當(dāng)不等式左邊項(xiàng)數(shù)為n個(gè)時(shí)，歸納猜想右邊應(yīng)為(n3，nN*)，故所求為(n3，nN*)10已知：sin230°sin290°sin2150°，sin25°sin265°sin2125°.觀察上述兩等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫出一般性的命題，并證明

21、之【解】一般性的命題為sin2sin2(60°)sin2(120°).證明如下：sin2sin2(60°)sin2(120°)cos 2cos(120°2)cos(240°2)2cos 60°cos(60°2)cos(180°60°2)cos(60°2)cos(60°2).11設(shè)an是集合2t2s|0s<t，且s，tZ中所有的數(shù)從小到大排列成的數(shù)列，即a13，a25，a36，a49，a510，a612，將數(shù)列an各項(xiàng)按照上小下大，左小右大的原則寫成如右的三角形數(shù)表：35691012(1)寫出這個(gè)三角形數(shù)表的第四行、第五行；(2)求a100.【解】(1)由題意，a1，對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)(s，t)為(0,1)a2，a3對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)(s，t)分別為(0,2)，(1,2)；a4，a5，a6對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)(s，t)分別為(0,3)，(1,3)，(2,3)，故可歸納出第四行各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)依次為(0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)故第四行為17,18,20,24.第五行各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)(s，t)依次為(0,5)，(1,5)，(2,5)，(3,5)，(4,5)故第五行為33,34,36,40,48.(2)將三角形數(shù)表中各項(xiàng)對(duì)應(yīng)的有序數(shù)對(duì)列成下面的數(shù)表(0