1、最佳培養(yǎng)基配比方案何官勇 王國敏 謝正勇摘要： 本文通過建立三個模型來確定最佳培養(yǎng)基配比方案，其主要內(nèi)容如下：模型一單因素模型。我們直接由圖表的數(shù)據(jù)得到，即在N2（或C1）為準則的情況下，通過使用matlab對圖表中有同類性質(zhì)的數(shù)據(jù)進行了擬合，得到了只有一個碳源（氮源）與IFN-（干擾素）的產(chǎn)量有關(guān)的幾組擬合函數(shù)。通過對這些擬合函數(shù)的分析、并結(jié)合圖形判斷出在N2（或C1）為準則下的優(yōu)化配比方案。這個模型雖然可以得到比較優(yōu)化的配比方案，但是它要求是在某一因素不變的情況下才成立的，而在實際求解最優(yōu)配比方案時，要考慮到各組成因素的變化情況，同時還要考慮各組成因素的交互效應(yīng)，所以我們想到了逐步回歸模型

2、。模型二逐步回歸模型。我們是運用逐步回歸分析法分析圖表的數(shù)據(jù)，把IFN-（干擾素）的產(chǎn)量作為要考慮的因變量y，三種碳源和四種氮源的含量作為要考慮的七個自變量。因為七個自變量對因變量y的影響是不同的，所以我們通過使用逐步回歸分析模型把七個可供選擇的自變量中的那些對建立回歸方程比較重要的因素選擇出來，從而可以得到這些確定出來的因素即為影響y產(chǎn)量的主要因素，即得到所選擇的碳源和氮源的種類，在得到碳源和氮源的種類之后我們要解決的問題是如何確定其含量使得IFN-（干擾素）的產(chǎn)量最大，即最終找出最優(yōu)配比方案。由此我們想到了模型三。模型三。在確定了碳源和碳源的種類之后，我們通過借鑒模型一中運用的單因素準則法

3、，先確定一個C1，在N1、N2對IFN-產(chǎn)量影響的圖像中進行比較，就可以得到IFN-的產(chǎn)量達到最大時碳源和氮源的含量。在得到模型之后，我們對所建模型進行了的可行性分析，自我評價和改進。在整個建模過程中我們運用matlab去進行計算，使得我們在建模過程中處理數(shù)據(jù)方便了許多。關(guān)鍵字： 最優(yōu)配比 matlab 擬合 逐步回歸 圖像分析 單因素準則一、問題重述及分析本題是某發(fā)酵實驗中培養(yǎng)基的碳源（C1，C 2，C3）和氮源（N1，N2，N3，N4）含量及IFN-（-干擾素）的產(chǎn)量的關(guān)系問題（實驗數(shù)據(jù)表見附件一）：如何選擇碳源和氮源的種類及含量使IFN-的產(chǎn)量達到最大？本題是以生物化學知識為背景的數(shù)學建

4、模。在建立模型之前首先要弄清楚發(fā)酵、IFN-（干擾素）等生物化學上的專用詞，弄清楚培養(yǎng)基原理，再從實驗的數(shù)據(jù)出發(fā)，去建立一個最優(yōu)的配比方案。二、模型假設(shè)與假設(shè)的說明模型假設(shè)：1）每個實驗都是在相同的外界條件下進行的，且外界條件的變化對實驗不會產(chǎn)生影響。 2）每個實驗都是獨立進行、互不影響的。3）每個實驗都是在所需的條件下順利進行的。4）每個實驗培養(yǎng)基中都有相同的且數(shù)量不變的真菌。5）每個實驗培養(yǎng)基中的碳源、氮源和真菌都是均勻分布，且充滿整個培養(yǎng)基。6）每個實驗中的真菌利用氮源和碳源生成IFN-的能力是一樣的。7）每個實驗中氮源、碳源的含量同時成比例變化不影響氮源、碳源的轉(zhuǎn)化率。8）每個實驗中不

5、同碳源（氮源）之間都是獨立的，不互相影響。9）每個實驗用到的數(shù)據(jù)都用同一的單位。10）因為IFN-是單一類型的干擾素分子，在下面的討論中考慮不同的碳源和氮源被吸收后都只生成一種相同類型的干擾素分子。11）每個實驗的培養(yǎng)基本身都含有一定數(shù)量的碳和氮。12）在求解最佳配比方案時，不同碳源（氮源）價格是相同的，或者說他們的價格的差別對于問題而言是可以忽略的。假設(shè)的說明： 對于假設(shè)1）、2）、3）、4）、5）、6）、8）、9），是為了保證實驗具有可行性、可比性，在現(xiàn)實的情況下這些假設(shè)是可以做到的，符合實際的。 對于假設(shè)7），是為了便于從實驗數(shù)據(jù)中了解、得到更多的信息，從而建立模型。在實際情況下，當兩個

6、反應(yīng)物在其他條件不變時，濃度成比例改變，它們的轉(zhuǎn)化率一般是不變的，在這里也假設(shè)是不變的。 對于假設(shè)10），是為了在判斷碳源和氮源的優(yōu)劣進而選擇合適的原料時，不需要去考慮因生成的IFN-有不同種類，而導致在判斷碳源和氮源時，無法根據(jù)表中的量去判斷的情況，在現(xiàn)實中因為IFN-是單一類型的干擾素分子，考慮其只會產(chǎn)生一種IFN-，也是合理的。對于假設(shè)11），是從實際情況出發(fā)，考慮到一方面每個培養(yǎng)基中本身就含有必備的營養(yǎng)素，也就會含有一定的碳和氮；另一方面，因為實驗中有五組數(shù)據(jù)是在只有碳或氮的情況下生成的，如果沒有碳或氮是不會出現(xiàn)這些情況的。 對于假設(shè)12），是為了在判斷碳源和氮源的優(yōu)劣進而選擇合適的原

7、料時，只需從相同原料時生成IFN-的產(chǎn)量的多少考慮即可，這樣假設(shè)是從方便建模的角度出發(fā)的。在現(xiàn)實中，會出現(xiàn)價格不同，甚至相差很大的情形，在這個時候就必須要考慮經(jīng)濟效益了，我們將在模型改進中予以簡要說明。三、模型建立及求解模型一： 經(jīng)過我們分析認為第14，15，16，17，23五次實驗為特殊情形，在以下分析中暫不考慮，將在模型二的第二步中予以說明。下面介紹模型一： 首先，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)研究N2含量不變的準則下，不同的C1（C2，C3）的含量對產(chǎn)生IFN-的影響，主要思想如下：找出含C1（C2，C3）源的項及其對應(yīng)的IFN-的產(chǎn)量的項，利用數(shù)學軟件matlab把表中的C1（C2，C3）的含量與IFN

8、-的產(chǎn)量有關(guān)的數(shù)據(jù)擬合成曲線，建立它們兩者之間的函數(shù)關(guān)系。把建立C1（C2， C3）的含量與IFN-的產(chǎn)量的三條曲線圖像放在同一個坐標系中，進行觀察、比較，取圖像在一定區(qū)間內(nèi)最上方的曲線所對應(yīng)的碳源為在該區(qū)間內(nèi)所選擇的碳源，對應(yīng)區(qū)間內(nèi)取得函數(shù)最大值時的自變量即為碳源的含量。 其次，根據(jù)實驗數(shù)據(jù)研究C1準則下，不同的N1（N2 N3 N4）的量的對產(chǎn)生IFN-的影響，主要思想和上面的一樣，這里就不累述了。 最后，根據(jù)在N2含量不變的準則下求出的一個最佳的碳源Ci（i為1、2或3中的一個），把N2 ，Ci（i為1、2或3中的一個）的組合作為一個優(yōu)化的配比方案。同理，根據(jù)在C1含量不變的準則下求出的

9、最佳的一個氮源Ni（i為1、2、3或4中的一個），把C1，Ni（i為1、2、3或4中的一個）的組合也作為一個優(yōu)化的配比方案。具體的做法如下：把實驗設(shè)置為七組，把第1至第5個實驗作為第一組，第6至第9個實驗作為第二組，把第10至13個實驗為第三組，把第15至第18個實驗作為第四組，在第1至5個實驗中把C1按假設(shè)7）都化為2后所得的新結(jié)果分為一組作為第五組，把第23至28個實驗作為第六組，把第29至32個實驗作為第七組。在N2含量為0.5，N1 、N3 、N4 、C2、C3含量均為零時，利用數(shù)學軟件matlab對1，2，3，4，5組實驗中C1 的含量x與IFN-的產(chǎn)量y的關(guān)系進行三次曲線擬合。具體

10、的擬合曲線如下： Matlab指令：>>x=0.1 0.4 1 2 3; （1） >>y=11.6900 39.1297 68.2035 83.6580 75.4200;>>a=polyfit(x,y,3) >>x1=0.1:0.1:3; >>z=polyval(a,x1); >>plot(x,y,'k*',x1,z,'r') a =5.1683 -41.8866 103.4625 2.5470 得到擬合曲線，如圖（1）所示。 擬合函數(shù)為：y = 5.1683 x 3 - 41.8866 x

11、 2 + 103.4625 x + 2.5470同理，對固定的N2 ，可以按上述的方法擬合第二組，和第三組實驗的數(shù)據(jù)，具體的擬合過程如下：對第二組：C2的含量x與IFN-的產(chǎn)量y的關(guān)系進行三次曲線擬合，具體的擬合曲線如圖（2）： 擬合函數(shù)為：y = -9.0119 x 3 + 23.7190 x 2 -13.0696 x + 22.4733 對第三組：C3的含量x與IFN-的產(chǎn)量y的關(guān)系進行三次曲線擬合，具體的擬合曲線如圖（3）：擬合函數(shù)為：y =2.4244 x 3 -10.2156 x 2 +16.9070x + 4.0330 （2）0 （3） （3） （2） （4）把上面建立的C1、C2

12、 、C3的含量與IFN-的產(chǎn)量的三條曲線圖像擬合在同一個坐標下，得到圖（4）：從上圖可知，以N2含量不變作為準則時，取C1作為碳源，IFN-產(chǎn)量明顯最大。因此，我們?nèi)1、N2 作為碳源和氮源。通過計算可以得到C1的最大值，該值即為N2不變準則下IFN-產(chǎn)量取最大值時的含量，由此我們即得到一個優(yōu)化配比方案。該方案為：C1N2=1.9 0.5同理：以C1含量不變作為準則的情況下，可以得到另一個優(yōu)化配比方案。 模型二：模型一中我們只考慮了單一準則下各因素的最優(yōu)時的情況，然而，實際上各個因素都在變化，要找到最優(yōu)方案必須考慮周全。因此，我們要同時考慮三種碳源和四種氮源，分析它們對IFN-產(chǎn)量的影響的大

13、小，從中選取影響較大且合理的組合，由此我們想到了逐步回歸分析方法，建立了逐步回歸模型。通過使用這種方法選取出了對IFN-產(chǎn)量的影響較大的碳源、氮源。在運用這種方法時，我們是借助于數(shù)學軟件matlab的，我們的具體計算過程為：第一步：分別記C1、C2、C3、N1、N2、N3、N4等7列的數(shù)據(jù)為列向量x1、x2x7。記rhIFN-列的數(shù)據(jù)為列向量y。即：>> x1 = 0.1 0.4 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;>> x2 = 0 0 0 0 0 0.2 0.5 0.8 1.5 0

14、 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>> x3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.5 1.5 2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>> x4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>> x5 = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0

15、0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 ;>> x6 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 ;>> x7 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.01 0.05 0.1 0.3 ;>> y = 11.69 39.1297 68.2035 83.658 75.42 20.736 20.7417 22.5836 25.8213 5.624 10.2357 14.5909 20

16、.3346 7.296 42.588 51.6 165.54 72 54.9 42.84 164.25 138.04 126.9 11.484 17.16 20.8 57.24 72.96 17.608 30.94 11.475 12.084 '令x = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 ，用stepwise（x，y）得到一個stepwise regression diagnostics table（如圖i所示）可以看出結(jié)果不太好：p=0.0229，取=0.05時，此回歸模型可用，但取=0.01時，模型不能用；R-square = 0.461,較??；F=2.932，也較小。（由

17、圖ii中各直線都是虛線可證明）于是我們調(diào)整圖ii中的各直線。然而，無論怎么調(diào)整都無法使哪條虛線變?yōu)閷嵕€。故可知此回歸模型不大合理，需改進。 i ii第二步：我們仔細分析實驗數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)x（14：16，：）中，每行向量相等，而y的值不等，說明此實驗數(shù)據(jù)不可靠，且在現(xiàn)實中如果只用單一氮源，那么培養(yǎng)基將因缺乏碳源而崩潰，x（17，：）和x（23，：）也是如此，故將其刪除掉。用其余數(shù)據(jù)組合成新的x、y。即：>> x1 = 0.1 0.4 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;>> x2 = 0 0 0 0 0 0.2

18、 0.5 0.8 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>> x3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.5 1.5 2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>> x4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>> x5 = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 ;>&

19、gt; x6 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 ;>> x7 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.01 0.05 0.1 0.3 ;>> y = 11.69 39.1297 68.2035 83.658 75.42 20.736 20.7417 22.5836 25.8213 5.624 10.2357 14.5909 20.3346 72 54.9 42.84 164.25 138.04 11.484 17.16 20.8

20、57.24 72.96 17.608 30.94 11.475 12.084 '>> x = x1' x2' x3' x4' x5' x6' x7' iv重復(fù)做第一步中的操作，得到另一個 stepwise regression diagnostics table 如圖iii所示: iii可知此方案比較好了，p=7.4e-005，很小；R-square =0.7651，比較大；F=8.84，也比較大?？梢姶朔桨缚扇?。但，由圖iii可知，x2、x3、x7不顯著，調(diào)整圖iv中的直線，移去這三個向量后統(tǒng)計結(jié)果如圖v所示: vi

21、 v由matlab易知:>> inin = 1 4 5 6>> outout = 2 3 7圖vi中x2、x3、x7三行用紅線顯示，表明它們已經(jīng)移去。從新的統(tǒng)計結(jié)果可以看出，雖然剩余標準差s（RMSE）沒有太大的變化，但是統(tǒng)計量F 的值明顯增大，因此新的回歸模型更好一些。再運用matlab知識：>> x=ones(27,1) x1' x4' x5' x6'>> b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);>> bb = -32.6171 24.6535 25.4289 105.00

22、67 -96.6340>> statsstats = 0.7630 17.7026 0.0000可以求出模型：第三步：由試驗數(shù)據(jù)可知，C1、N3和N2共存時，IFN-的產(chǎn)量比只有C1、N2時要低得多?？梢娮顑?yōu)方案中要去掉N3。以下我們再次用逐步回歸方法驗證我們的結(jié)論：去掉與N3有關(guān)的數(shù)據(jù)之后我們得到新的x，y。即：>>x1 = 0.1 0.4 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ;>>x2 = 0 0 0 0 0 0.2 0.5 0.8 1.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>>

23、x3 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1 0.5 1.5 2.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>>x4 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 2 3 4 5 0 0 0 0 ;>>x5 = 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ;>>x7 = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.01 0.05 0.1 0.3 ;>>y = 11.69 39.1297 68.2

24、035 83.658 75.42 20.736 20.7417 22.5836 25.8213 5.624 10.2357 14.5909 20.3346 72 54.9 42.84 164.25 138.04 17.608 30.94 11.475 12.084 '>>x = x1' x2' x3' x4' x5' x7' ;調(diào)用stepwise（x，y）得到另一個stepwise regression diagnostics table如圖vii所示: viii vii 可知此方案好了很多，p=2.996e-004，很??；

25、R-square =0.7808，比較大；F=8.903，也比較大?？梢姶朔桨缚扇?。 x但是，有很多虛線，重復(fù)第二步中的操作，得到比較好的結(jié)果，如圖ix以及圖x所示： ix 從新的統(tǒng)計結(jié)果可以看出，統(tǒng)計量F 的值明顯增大，因此這種回歸模型比前面的更好一些。再用matlab，知：>> x=ones(22,1) x1' x4' x5' ;b,bint,r,rint,stats=regress(y,x);bb = -27.6976 24.6535 24.1140 95.1678>> statsstats = 0.7738 20.5260 0.0000求

26、出最終的模型： y=-27.6976+24.6535x1+24.1140x4+95.1678x5綜上所述：碳源C1和氮源N1、N2是影響IFN-產(chǎn)量的主要因素。所以原問題中要求得最優(yōu)培養(yǎng)基配比方案，可以轉(zhuǎn)化為在選取碳源C1和氮源N1、N2作為原料后，確定它們的含量使得IFN-產(chǎn)量最大（具體求解見模型三）。模型三：通過上述討論，我們已經(jīng)選出了碳源和氮源的類型，下面我們具體討論它們的含量問題：鑒于N2、N3共存時，IFN-的產(chǎn)量低于僅有N2時的情況，我們不能斷定N1、N2共存時IFN-的產(chǎn)量會達到最大；同時也沒有C1、N1、N2共存時的數(shù)據(jù)。因此我們通過分析，可以先任意給出C1的含量，在N1、N2

27、中選擇一種，使之與C1共存時，讓IFN-的產(chǎn)量達到最大，從而求出氮的含量。具體分析如下：在假設(shè)7）成立的情況下，通過數(shù)據(jù)分析，當C1含量為a時（以下計算時，以a=0.5為例），通過作圖來比較N1、N2的優(yōu)劣情況：>> x1=0.5 2 3 4 5;>> x2=10 2.5 1 0.5 1/3;>> y1=72 54.9 42.84 164.25 138.04;>> y2=11.6900*20 39.1297*5 68.2035*2 83.6580 75.4200/1.5; 圖一>> a1=polyfit(x1,y1,3);>&g

28、t; a2=polyfit(x2,y2,3);>> x=0.1:0.1:5;>> z1=polyval(a1,x); >> z2=polyval(a2,x);>> plot(x,z1,'r',x,z2,'b')由圖一分析可知：在培養(yǎng)基中C1的含量a（a取0.5）已知的情況下，當?shù)吹牧啃∮?.5或大于4.0時，選擇N1，IFN-的產(chǎn)量高；當?shù)吹牧吭?.5到4.0之間，選擇N2，IFN-的產(chǎn)量高。（最大含量由a的具體值決定）四、模型的說明與可靠性分析 本題是通過給我們一系列實驗數(shù)據(jù)，要求我們分析數(shù)據(jù)來尋求最優(yōu)配比方

29、案。這本身就要求我們用那些數(shù)據(jù)去預(yù)測，而那些數(shù)據(jù)的產(chǎn)生具有一定的隨機性、和誤差值，這就使得我們的模型的結(jié)果具有一定的隨機性、預(yù)測性。同時，我們根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，用擬合和逐步回歸的方法建立上述模型，所得的結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)是基本吻合的，具有合理性，預(yù)測性。五、模型的自我評價對于模型一，我們使用了在確定一個因素的量之后，研究其它單一因素的改變對目標的影響。運用這種方法，我們可以粗略地判斷不同的因素對目標的貢獻大小，得到一個粗略的優(yōu)化配比方案。這個模型的優(yōu)點在于我們可以直接利用實驗數(shù)據(jù)表中的數(shù)據(jù)進行比較而得到方案;缺點在于沒有把實驗表中的每個因素都進行比較，得到的結(jié)果只是局部的一個最優(yōu)，不一定是整體的最優(yōu)，

30、同時在比較時沒有考慮第14，15，16，17，23五次實驗，也會對所得的結(jié)果造成一定的影響。對于模型二，我們用逐步回歸分析法找出最優(yōu)的碳源、氮源種類。運用這種方法得到一組最優(yōu)組合是比較合理的，它是根據(jù)實驗數(shù)據(jù)考慮了全部變量而得到的。對于模型三，我們是對模型二進行了補充說明。它在通過計算碳源、氮源的含量來獲得最優(yōu)方案時，參照了模型一的方法。這個模型的優(yōu)點在于解決了我們在得到了回歸方程之后，無法由實驗數(shù)據(jù)表求出三個因素都在變動時的最優(yōu)配比方案的難題。該模型通過確定一個因素之后，就可以利用實驗數(shù)據(jù)表求解最優(yōu)配比方案了。缺點在于沒有給出全部因素都在變動時的最優(yōu)解。在整個建模過程中，存在一個無法克服的困

31、難：我們的模型是建立在實驗數(shù)據(jù)之上的，由于實驗數(shù)據(jù)具有隨機性，這就決定了模型所得結(jié)果具有隨機性、預(yù)測性。六、模型的改進1）我們的模型是建立在實驗數(shù)據(jù)上的，運用的是數(shù)理統(tǒng)計的方法，可以從增加實驗的測試次數(shù)來提高我們的模型的準確度。2）在實驗設(shè)計時考慮運用正交實驗設(shè)計。3）我們的模型假設(shè)12）如果不成立時，就要考慮到價格對我們選取碳源、氮源種類時的影響。這種情況下，我們建議在建立模型時把價格乘上含量來代替原模型中的含量，這樣就可以用上述模型去選擇種類及含量。4）我們在建立模型時沒有分析到氮過量時對模型的影響，事實上如果氮源過量，會導致ph值升高，從而會破壞培養(yǎng)基，導致IFN-產(chǎn)量的下降。我們建議在添加原料控制好氮的含量。5）對于在得到最優(yōu)配比方案時的碳源和氮源含量的求解問題中，我們在模型三中給出了一個特殊解法，事實上，如果我們可以找到關(guān)于IFN-的產(chǎn)量與碳源和氮源含量的函數(shù)關(guān)系，就可以直接作為回歸方程的約束條件來求解最值。6）由于表中數(shù)據(jù)沒有具體的單位，在上述模型中我們把它當作物質(zhì)的量來考慮。如果把表中數(shù)據(jù)當作百分比含量來考慮，在模型三中求解時，就可以通過二次回歸得出最優(yōu)配比方案如下：a、當選擇C1、N1：y