1、名師整理精華知識(shí)點(diǎn)第五章：萬(wàn)有引力定律人造地球衛(wèi)星夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)1 .開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)三定律簡(jiǎn)介（軌道、面積、比值）丹麥開(kāi)文學(xué)家開(kāi)普勒信奉日心說(shuō)，對(duì)天文學(xué)家有極大的興趣，并有出眾的數(shù)學(xué)才華，開(kāi)普勒在其導(dǎo)師弟谷連續(xù)20年對(duì)行星的位置進(jìn)行觀測(cè)所記錄的數(shù)據(jù)研究的基楚上，通過(guò)四年多的刻苦計(jì)算，最終發(fā)現(xiàn)了三個(gè)定律。第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)則處在這些橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；第二定律：行星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，與太陽(yáng)的連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.即T2開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)的定律是在丹麥天文學(xué)家弟谷的大量觀測(cè)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上概括出

2、的，給出了行星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。2 .萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用（1）內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個(gè)物體間的引力大小跟它們的質(zhì)量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個(gè)物體的連線方向。Mm（1687 年）G=6.67m10、1n，m2/kg2叫做引力常量，它在數(shù)值上等于兩個(gè)質(zhì)量都是1kg的物體相距1m時(shí)的相互作用力，1798年由英國(guó)物理學(xué)家卡文迪許利用扭秤裝置測(cè)出。萬(wàn)有引力常量的測(cè)定一一卡文迪許扭秤實(shí)驗(yàn)原理是力矩平衡。實(shí)驗(yàn)中的方法有力學(xué)放大（借助于力矩將萬(wàn)有引力的作用效果放大）和光學(xué)放大（借助于平面境將微小的運(yùn)動(dòng)效果放大）。,可得到mEgRE2-OG萬(wàn)有引力常量的測(cè)定使卡文迪許成為能

3、稱出地球質(zhì)量的人”：對(duì)于地面附近的物體m,有mg=Gmm（式中隹為地球半徑或物體到地球球心間的距離）Re（2）定律的適用條件：嚴(yán)格地說(shuō)公式只適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，當(dāng)兩個(gè)物體間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物體本身的大小時(shí)，公式也可近似使用，但此時(shí)r應(yīng)為兩物體重心間的距離.對(duì)于均勻的球體，r是兩球心間的距離.當(dāng)兩個(gè)物體間的距離無(wú)限靠近時(shí)，不能再視為質(zhì)點(diǎn)，萬(wàn)有引力定律不再適用，不能依公式算出F近為無(wú)窮大。注意：萬(wàn)有引力定律把地面上的運(yùn)動(dòng)與天體運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來(lái)，是自然界中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1kg的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距1m時(shí)相互作用的萬(wàn)有引力.（3）地球自轉(zhuǎn)對(duì)地表物體重力的影響

4、。重力是萬(wàn)有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要向心力.重力實(shí)際上是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力.另一個(gè)分力就是物體隨地球自轉(zhuǎn)時(shí)需要的向心力，如圖所示，在緯度為中的地表處，萬(wàn)有引力的一個(gè)分力充當(dāng)物體隨地球一起繞地軸自轉(zhuǎn)所需的向心力F向=mRcos平32（方向垂直于地軸指向地軸），而萬(wàn)有引力的另一個(gè)分力就是通常所說(shuō)的重力mg,其方向與支持力N反向，應(yīng)豎直向下，而不是指向地心。由于緯度的變化，物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極R逐漸減小，向心力mRcos中a2減小，重力逐漸增大，相應(yīng)重力加速度g也逐

5、漸增大。3°甲在赤道處，物體的萬(wàn)有引力分解為兩個(gè)分力F向和m2g剛好在一條直線上，則有F=F向+m2g,所以m2g=FF向=Gmm2mzRco自2。r物體在兩極時(shí)，其受力情況如圖丙所示，這時(shí)物體不再做圓周運(yùn)動(dòng)，沒(méi)有向心力，物體受到的萬(wàn)有引力F引和支持力N是一對(duì)平衡力，此時(shí)物體的重力mg=N=F引。綜上所述重力大?。簝蓚€(gè)極點(diǎn)處最大，等于萬(wàn)有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點(diǎn)的時(shí)候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬(wàn)有引力的夾角很小。GmM-r mg由于地球自轉(zhuǎn)緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計(jì)算中忽略了自轉(zhuǎn)的影響,在此基礎(chǔ)上就有：地

6、球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即說(shuō)明：由于地球自轉(zhuǎn)的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千分之五；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬(wàn)分之三，所以，在近似的計(jì)算中，認(rèn)為重力和萬(wàn)有引力相等。萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用:基本方法：衛(wèi)星或天體的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng),F萬(wàn)二FM類似原子模型）方法：軌道上正常轉(zhuǎn):22一Mmv24.G=m=m：-,r=mrrrT地面附近:MmG記=mg = GM=gR2 (黃金代換式)(1)天體表面重力加速度問(wèn)題通常的計(jì)算中因重力和萬(wàn)有引力相差不大,而認(rèn)為兩者相等,mi m2即 m2g= G2-，Rg=GM/R2常用來(lái)計(jì)算星球表面重力加速度的大小，在地球的同一緯

7、度處，g隨物體離地面高度的增大而2r、2減小，即gh=GM/(R+h),比較得gh=()gRh設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,由mg=GMm得g=G”，由此推得兩個(gè)不同RR天體表面重力加速度的關(guān)系為亞二£.業(yè)g2RM2(2)計(jì)算中心天體的質(zhì)量某星體m圍繞中心天體m中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T,圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r,則：.234二 rm 中二2-GT22,m中m2二/口由G2mr仔:r2T例如：利用月球可以計(jì)算地球的質(zhì)量，利用地球可以計(jì)算太陽(yáng)的質(zhì)量?？梢宰⒁獾剑涵h(huán)繞星體本身的質(zhì)量在此是無(wú)法計(jì)算的。(3)計(jì)算中心天體的密度2MM_3二r=«二V43GTRR3r及運(yùn)行周期T,

8、就可以算出天由上式可知，只要用實(shí)驗(yàn)方法測(cè)出衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑體的質(zhì)量M.若知道行星的半徑則可得行星的密度(4)發(fā)現(xiàn)未知天體用萬(wàn)有引力去分析已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的星體的運(yùn)動(dòng)，可以知道在此星體附近是否有其他星體，例如:歷史上海王星是通過(guò)對(duì)天王星的運(yùn)動(dòng)軌跡分析發(fā)現(xiàn)的。冥王星是通過(guò)對(duì)海王星的運(yùn)動(dòng)軌跡分析發(fā)現(xiàn)的人造地球衛(wèi)星。這里特指繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星，實(shí)際上大多數(shù)衛(wèi)星軌道是橢圓，而中學(xué)階段對(duì)做橢圓運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星一般不作定量分析。1、衛(wèi)星的軌道平面：由于地球衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由萬(wàn)有引力提供的，所以衛(wèi)星的軌道平面一定過(guò)地球球心，球球心一定在衛(wèi)星的軌道平面內(nèi)。2、原理：由于衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以地

9、球?qū)πl(wèi)星的引力充當(dāng)衛(wèi)星所需的向心力，于是有2-GmM22：、22-=ma=m=m，r=m()rrrT實(shí)際是牛頓第二定律的具體體現(xiàn)3、表征衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的物理量：線速度、角速度、周期等:(1)向心加速度a向與r的平方成反比。GMa 向=2- -rGM當(dāng)r取其最小值時(shí)，a向取得最大值。a 向 max=2- =g=9.8m/sR(2)線速度v與r的平方根成反比v=當(dāng)r取其最小值地球半徑 R時(shí)，v取得最大值。_ GM vmax二,R二,Rg =7.9km/s(3)角速度與r的三分之三次方成百比當(dāng)r取其最小值地球半徑 R時(shí)，切取得最大值。max.GMRg3X = 123 x I0rad/s(4)周期T與r的二

10、分之三次方成正比。T=2nifl/r，當(dāng)八?，N當(dāng)r取其最小值地球半徑R時(shí)，T取得最小值。Tmin=23Gr=2%”"84min衛(wèi)星的能量：(類似原子模型)r增nv減小(國(guó)減小Ep增加)，所以E總增加;需克服引力做功越多，地面上需要的發(fā)射速度越大應(yīng)該熟記常識(shí)：地球公轉(zhuǎn)周期1年，自轉(zhuǎn)周期1天=24小時(shí)=86400s,地球表面半徑6.4x103km表面重力加速度g=9.8m/s2月球公轉(zhuǎn)周期30天4.宇宙速度及其意義三個(gè)宇宙速度的值分別為第一宇宙速度（又叫最小發(fā)射速度、最大環(huán)繞速度、近地環(huán)繞速度）物體圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的最小發(fā)射速度，又稱環(huán)繞速度，其值v1=7.9km/s第一宇

11、宙速度的計(jì)算.方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.GmM=mv2,v=JG匕。當(dāng)hT,vj,所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運(yùn)行的rh2rh：rh最大速度。其大小為r>>h（地面附近）時(shí)，V1=GM=7.9X10m/s方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力.Vimg=m-當(dāng)r>>h時(shí).gh=g所以Vi=母=7.9x10m/s第二宇宙速度（脫離速度）：如果衛(wèi)生的速大于7.9km/s而小于11.2km/s,衛(wèi)星將做橢圓運(yùn)動(dòng)。當(dāng)衛(wèi)星的速度等于或大于11.2km/s的時(shí)候，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為

12、繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星，或飛到其它行星上去，把V2=11.2km/s叫做第二宇宙速度，第二宇宙速度是掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。第三宇宙速度：物體掙脫太陽(yáng)系而飛向太陽(yáng)系以外的宇宙空間所需要的最小發(fā)射速度，又稱逃逸速度，其值為：v3=16.7km/s（2）當(dāng)發(fā)射速度v與宇宙速度分別有如下關(guān)系時(shí)，被發(fā)射物體的運(yùn)動(dòng)情況將有所不同當(dāng)vvv1時(shí)，被發(fā)射物體最終仍將落回地面；當(dāng)vSvv2時(shí)，被發(fā)射物體將環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)，成為地球衛(wèi)星；當(dāng)v20Vv3時(shí)，被發(fā)射物體將脫離地球束縛，成為環(huán)繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造行星”；當(dāng)vN3時(shí)，被發(fā)射物體將從太陽(yáng)系中逃逸。5.同步衛(wèi)星（所有的通迅衛(wèi)星都為同步衛(wèi)星）同步衛(wèi)星。同步”的含

13、義就是和地球保持相對(duì)靜止（又叫靜止軌道衛(wèi)星），所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期，既T=24h,特點(diǎn)（1）地球同步衛(wèi)星的軌道平面，非同步人造地球衛(wèi)星其軌道平面可與地軸有任意夾角，而同步衛(wèi)星一定位于赤道的正上方，不可能在與赤道平行的其他平面上。這是因?yàn)椋翰皇浅嗟郎戏降哪骋卉壍郎细厍虻淖赞D(zhuǎn)同步地作勻速圓運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星的向心力為地球?qū)λΦ囊粋€(gè)分力Fi,而另一個(gè)分力F2的作用將使其運(yùn)行軌道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步衛(wèi)星才可能在穩(wěn)定的軌道上運(yùn)行。I(2)地球同步衛(wèi)星的周期：地球同步衛(wèi)星的運(yùn)轉(zhuǎn)周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同。(3)同步衛(wèi)星必位于赤道上方h處，且h是一定的.得r =GM-故 h =r R=358

14、00km(4)地球同步衛(wèi)星的線速度：環(huán)繞速度GM- = 3.08km/s r2Mm,口由G-2-=m得v=rr(5)運(yùn)行方向一定自西向東運(yùn)行人造天體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的能量關(guān)系當(dāng)人造天體具有較大的動(dòng)能時(shí)，它將上升到較高的軌道運(yùn)動(dòng)，而在較高軌道上運(yùn)動(dòng)的人造天體卻具有較小的動(dòng)能。反之，如果人造天體在運(yùn)動(dòng)中動(dòng)能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過(guò)程中，因引力對(duì)其做正功，故導(dǎo)致其動(dòng)能將增大。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星在不同高度軌道上的機(jī)械能不同。其中衛(wèi)星的動(dòng)能為EK=GMm,由于重2r力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢(shì)能不能再用&=mgh計(jì)算，而要用到公式Ep=_GMm(以無(wú)窮遠(yuǎn)處引力勢(shì)能為零，M為地球質(zhì)量，

15、m為衛(wèi)星質(zhì)量，r為衛(wèi)星軌道半徑。r由于從無(wú)窮遠(yuǎn)向地球移動(dòng)過(guò)程中萬(wàn)有引力做正功，所以系統(tǒng)勢(shì)能減小，為負(fù)。)因此機(jī)械能為E二一GMm。同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛(wèi)星具有的機(jī)械能越大，發(fā)2r射越困難。一.建立兩種模型確定研究對(duì)象的物理模型是解題的首要環(huán)節(jié)，運(yùn)用萬(wàn)有引力定律也不例外，無(wú)論是自然天體（如月球、地球、太陽(yáng)），還是人造天體（如飛船、衛(wèi)星、空間站），也不管它多么大，首先應(yīng)把它們抽象為質(zhì)點(diǎn)模型。人造天體直接看作質(zhì)點(diǎn)；自然天體看作球體，質(zhì)量則抽象為在其球心。這樣，它們之間的運(yùn)動(dòng)抽象為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)繞另一質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。2 .抓住兩條思路無(wú)論物體所受的重力，還是天體的運(yùn)動(dòng)，都跟萬(wàn)有引

16、力存在著直接的因果關(guān)系，因此，萬(wàn)有引力定律在這些問(wèn)題中的應(yīng)用十分廣泛。但解決問(wèn)題的基本思路實(shí)質(zhì)上只有兩條：思路1:利用萬(wàn)有引力等于重力的關(guān)系思路2:利用萬(wàn)有引力等于向心力的關(guān)系3 .分清三對(duì)概念1 .重力和萬(wàn)有引力重力是由于地球的吸引而產(chǎn)生的，但它是萬(wàn)有引力的一個(gè)分力。在地球表面上隨緯度的增大而增大。由于物體的重力和地球?qū)υ撐矬w的萬(wàn)有引力差別很小，一般可認(rèn)為二者大小相等。即有，此時(shí)，這個(gè)式子稱為黃金代換。在解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，若環(huán)繞中心星球質(zhì)量M未知，可用該中心星體的半徑和其表面重力加速度來(lái)表示。2 .隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度和環(huán)繞運(yùn)行的向心加速度放于地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是地球?qū)ξ?/p>

17、體的引力和地面支持力的合力提供；而環(huán)繞地球運(yùn)行的衛(wèi)星所需的向心力完全由地球?qū)ζ涞囊μ峁?，兩個(gè)向心力的數(shù)值相差很多。對(duì)應(yīng)的計(jì)算方法也不同：物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度，T為地球的自轉(zhuǎn)周期；衛(wèi)星繞地球環(huán)繞運(yùn)行的向心加速度，式中M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星與地心的距離。名師整理精華知識(shí)點(diǎn)名師整理精華知識(shí)點(diǎn)題型解析方有引力定律的直接應(yīng)用m1m2【例題】下列關(guān)于萬(wàn)有引力公式F=Gm1T三的說(shuō)法中正確的是（）rA.公式只適用于星球之間的引力計(jì)算，不適用于質(zhì)量較小的物體B.當(dāng)兩物體間的距離趨近于零時(shí)，萬(wàn)有引力趨近于無(wú)窮大C.兩物體間的萬(wàn)有引力也符合牛頓第三定律D.公式中萬(wàn)有引力常量G的值是牛頓規(guī)定的【例題】設(shè)想把

18、質(zhì)量為m的物體，放到地球的中心，地球的質(zhì)量為M,半徑為R,則物體與地球間的萬(wàn)有引力是（）.GMmA.2B.無(wú)劣大RC.零D.無(wú)法確定【例題】設(shè)想人類開(kāi)發(fā)月球，不斷地把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上.假如經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間開(kāi)采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開(kāi)采前的圓軌道運(yùn)動(dòng)則與開(kāi)采前比較A.地球與月球間的萬(wàn)有引力將變大B.地球與月球間的萬(wàn)有引力將減小C.月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變長(zhǎng)D.月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期將變短解析：設(shè)地球和月球的質(zhì)量分別為M、m,它們之間的引力為F=GMm,由于地球和r月球M+m是一常數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)，當(dāng)M=m時(shí)，Mm取最大值，M、m相差越多，Mm越小，f=GM；越小。地球比月球的質(zhì)量大，

19、還要把月球上的礦藏搬運(yùn)到地球上，就使得rM, m相差更多，所以M m就越小,Mm ,一F =G-2越小。答案: rB、DCCBD重力加速度g隨離高度h變化情況表面重力加速度：MmGMG二mgogo;-2-RR軌道重力加速度：GMmR h 2= mgh ghGMR h 2【例題】設(shè)地球表面的重力加速度為g,物體在距地心4R（R是地球半徑）處，由于地球的引力作用而產(chǎn)生的重力加速度g,則g/g'為（）A、1;B、1/9;C、1/4;D、1/16。解析：因?yàn)間= GM2 , gR2g和天體的半徑R,Mm由 G 2mr¥I r<T,234 二 rGT2=GM2,所以g/g=1/1

20、6,即D選項(xiàng)正確。(R3R)2.1.1【例題】火星的質(zhì)量和半徑分別約為地球的'和1,地球表面的重力加速度為g,則火星102表面的重力加速度約為（）(A)0.2g(B)0.4g(C)2.5g(D)5gDB萬(wàn)有引力定律求天體的質(zhì)量和密度通過(guò)觀天體衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r或天體表面的重力加速度就可以求出天體的質(zhì)量M。gt2r3【例題】已知地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道半徑r=1.49X1011m,公轉(zhuǎn)的周期T=3.16x107s,求太陽(yáng)的質(zhì)量M。解析：根據(jù)地球繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源于萬(wàn)有引力得：2-Mm2n、G=mrr2<TJGT2=1.961030kg【例題】宇航員在一星球表面上的某

21、高處，沿水平方向拋出一小球。經(jīng)過(guò)時(shí)間t,小球落到星球表面，測(cè)得拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)。若拋出時(shí)初速度增大到2倍，則拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)之間的距離為<3L。已知兩落地點(diǎn)在同一水平面上，該星球的半徑為R,萬(wàn)有引力常數(shù)為G。求該星球的質(zhì)量M。解析：設(shè)拋出點(diǎn)的高度為h,2、，L2-H2=，J3L2-h2可得h設(shè)該星球上的重力加速度為g,由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得：.1,2一,rh=-gt可彳導(dǎo)g2由萬(wàn)有引力定律與牛頓第二定律得：mg =GMm鏟23LR2聯(lián)立以上各式解得M=2R3Gt2【例題】某行星的衛(wèi)星，在靠近行星的軌道上運(yùn)動(dòng)，若要計(jì)算行星的密度，唯一要測(cè)量出的物理是（）A：行星的半徑B:衛(wèi)星的半徑C

22、:衛(wèi)星運(yùn)行的線速度D:衛(wèi)星運(yùn)行的周期T,則【例題】如果某行星有一顆衛(wèi)星沿非?？拷撕阈堑谋砻孀鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng)的周期為可估算此恒星的密度為多少？則有解析：設(shè)此恒星的半徑為R,質(zhì)量為M,由于衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，2Mm4 二G-2- =mR-2-，R2T2所以，M=4二2RGT2而恒星的體積V=4兀所以恒星的密度 p必 3V3 二2 °GT2【例題】中子星是恒星演化過(guò)程的一種可能結(jié)果，它的密度很大。現(xiàn)有一中子星，觀測(cè)到它的自轉(zhuǎn)周期為T=so問(wèn)該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星的穩(wěn)定，不致因自轉(zhuǎn)30而瓦解。計(jì)算時(shí)星體可視為均勻球體。（引力常數(shù)G=6.67X1013m /kg s )解析：設(shè)

23、想中子星赤道處一小塊物質(zhì)，只有當(dāng)它受到的萬(wàn)有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時(shí)，中子星才不會(huì)瓦解。設(shè)中子星的密度為量為m,則有p,質(zhì)量為M ,半徑為R,自轉(zhuǎn)角速度為,位于赤道處的小物塊質(zhì)M 二4 二R3：3GMm；二m'R2由以上各式得工2，GT2代入數(shù)據(jù)解得：P=1.27父1014kg/m3。宇宙中往往會(huì)有相距較近，質(zhì)量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠(yuǎn)，因此其它星球?qū)λ鼈兊娜f(wàn)有引力可以忽略不計(jì)。在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點(diǎn)做同周期的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。這種結(jié)構(gòu)叫做雙星。由于雙星和該固定點(diǎn)總保持三點(diǎn)共線，所以在相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度必相等，即雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的角速

24、度必相等，因此周期也必然相同。由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬(wàn)有引力提供的，因此大小必然相等，由F=mw2r可得r工工，于是有r1-mm2m1 -m2.mi.L,2 二Lml -m2列式時(shí)須注意：萬(wàn)有引力定律表達(dá)式中的r表示雙星間的距離，按題意應(yīng)該是L,而向心力表達(dá)式中的r表示它們各自做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，在本題中為門、r2,千萬(wàn)不可混淆【例題】在天文學(xué)中，把兩顆相距較近的恒星叫雙星，已知兩恒星的質(zhì)量分別為兩星之間的距離為L(zhǎng),兩恒星分別圍繞共同的圓心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示，求恒星運(yùn)動(dòng)的半徑和周期。解析：兩顆恒星在萬(wàn)有引力作用下圍繞共同點(diǎn)。（物理學(xué)上把它叫做質(zhì)心）作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，。點(diǎn)在兩

25、顆恒星的連線上，設(shè)兩顆星到O的距離分別為r、R,它們運(yùn)動(dòng)的周期為 T,由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律對(duì)質(zhì)量為m的恒星有c Mmgf22n) 一 I r<T J對(duì)質(zhì)量為M的恒星有Mm gf2y=M I R<T Jr+R=L由以上三式解得 r =一MRjiT =213(M m)G答案：r13T 二2二(M m)G技巧點(diǎn)拔：解圓周運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，確定圓心的位置是很重要的。另外，雙星系統(tǒng)在宇宙中是比較普遍的，如果兩顆星的質(zhì)量相差懸殊，如m v<M ,則 r=L,R=O, T = 213、曰,這是可GM以把大質(zhì)量星看作靜止的，小質(zhì)量星圍繞大質(zhì)量星運(yùn)動(dòng)。【例題】?jī)蓚€(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的

26、萬(wàn)有引力作用下, 同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R,其運(yùn)動(dòng)周期為繞連線上某點(diǎn)做周期相T,求兩星的總質(zhì)量。解析：設(shè)兩星質(zhì)量分別為M1和M2,都繞連線上 O點(diǎn)作周期為T的圓周運(yùn)動(dòng)，星球1和星球2到O的距離分別為li和總由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得Mi：GM1MA = M1（21）2 11R2T4二 2R211GT2對(duì)M2：GMJMA = M2（型）R22 124二2R%GT2兩式相加得M1+M2=4B!GT2（I1 + I2）=4 二 2R3GT21 與2【例題】在光滑桿上穿著兩個(gè)小球m1、m2,且m=2m2,用細(xì)線把兩球連起來(lái)，當(dāng)盤架勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，兩小球剛好能與桿保持無(wú)相對(duì)滑

27、動(dòng)，如圖所示。此時(shí)兩小球到轉(zhuǎn)軸的距離之比為（miA. 1 ：C. 2 :B.1：J2D.1：2解析：兩球向心力、角速度均相等，由公式F=mw2r得oc工，貝U=-2-=om2m12答案：D【例題】宇宙中存在一些離其他恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對(duì)它們的引力作用，已觀測(cè)到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式:種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行，設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為m。(1)試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期；(2)假設(shè)兩種形式下星體的運(yùn)動(dòng)

28、周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？解析：【分析】第一種形式下,由力仃引力定律和牛頓第二定律,得第種形式下,由萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律,cos 300 =2/?第二種彬式下星體之間的距離應(yīng)為/=一行人造衛(wèi)星的一組問(wèn)題【例題】神舟三號(hào)"順利發(fā)射升空后，在離地面340km的圓軌道上運(yùn)行了108圈。運(yùn)行中需要多次進(jìn)行軌道維持”。所謂軌道維持”就是通過(guò)控制飛船上發(fā)動(dòng)機(jī)的點(diǎn)火時(shí)間和推力的大小方向，使飛船能保持在預(yù)定軌道上穩(wěn)定運(yùn)行。如果不進(jìn)行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會(huì)逐漸降低，在這種情況下飛船的動(dòng)能、重力勢(shì)能和機(jī)械能變化情況將會(huì)是A.動(dòng)能、重力勢(shì)能和機(jī)械

29、能都逐漸減小B.重力勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增大，機(jī)械能不變C.重力勢(shì)能逐漸增大，動(dòng)能逐漸減小，機(jī)械能不變D.重力勢(shì)能逐漸減小，動(dòng)能逐漸增大，機(jī)械能逐漸減小解析：由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛(wèi)星運(yùn)行的每一圈仍可認(rèn)為是勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于摩擦阻力做負(fù)功，根據(jù)機(jī)械能定理，衛(wèi)星的機(jī)械能減小；由于重力做正功，根據(jù)勢(shì)能定理，衛(wèi)星的重力勢(shì)能減?。挥蓈=；'GMh!可知，衛(wèi)星動(dòng)能將增大。這也說(shuō)明該過(guò)程中r.rP點(diǎn)點(diǎn)火重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正。答案選D【例題】如圖所示，某次發(fā)射同步衛(wèi)星時(shí)，先進(jìn)入一個(gè)近地的圓軌道，然后在加速，進(jìn)入橢圓形轉(zhuǎn)移軌道（該橢圓軌道的近地點(diǎn)為近地圓軌道上的

30、P,遠(yuǎn)地點(diǎn)為同步軌道上的Q）,到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)再次自動(dòng)點(diǎn)火加速，進(jìn)入同步軌道。設(shè)衛(wèi)星在近地圓軌道上運(yùn)行的速率為V1,在P點(diǎn)短時(shí)間加速后的速率為V2,沿轉(zhuǎn)移軌道剛到達(dá)遠(yuǎn)地點(diǎn)Q時(shí)的速率為V3,在Q點(diǎn)短時(shí)間加速后進(jìn)入同步軌道后的速率為V4。試比較VI、V2、V3、V4的大小，并用小于號(hào)將它們排列起來(lái)。解析：根據(jù)題意在P、Q兩點(diǎn)點(diǎn)火加速過(guò)程中，衛(wèi)星速度將增大，所以有V2>V1、V4>V3,而Vl、V4是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的人造衛(wèi)星的線速度，由于它們對(duì)應(yīng)的軌道半徑<",所以Vi>V4。把以上不等式連接起來(lái)，可得到結(jié)論：V2>V1>V4>V3。（衛(wèi)星沿橢圓

31、軌道由P-Q運(yùn)行時(shí)，由于只有重力做負(fù)功，衛(wèi)星機(jī)械能守恒，其重力勢(shì)能逐漸增大，動(dòng)能逐漸減小，因此有V2>V3。）【例題】發(fā)射地球同步衛(wèi)星時(shí)，先將衛(wèi)星發(fā)射至近地圓軌道1,然后經(jīng)點(diǎn)火，使其沿橢圓軌道2運(yùn)行，最后再次點(diǎn)火，將衛(wèi)星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切于Q點(diǎn)。軌道2、3相切于P點(diǎn)（如圖），則當(dāng)衛(wèi)星分別在1,2,3,軌道上正常運(yùn)行時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）A.衛(wèi)星在軌道B.衛(wèi)星在軌道3上的速率大于在軌道1上的速率3上的角速度小于在軌道1上的角速度C.衛(wèi)星在軌道D.衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度大于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度解析：從

32、動(dòng)力學(xué)的角度思考，衛(wèi)星受到的引力使衛(wèi)星產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)的加速度（Fn=man）,所以衛(wèi)星在軌道1上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道2上經(jīng)過(guò)Q點(diǎn)時(shí)的加速度，衛(wèi)星在軌道2上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度等于它在軌道3上經(jīng)過(guò)P點(diǎn)時(shí)的加速度。必須注意，如果從運(yùn)動(dòng)2V9學(xué)的角度思考（an=.r）,由于衛(wèi)星在不同的軌道上經(jīng)過(guò)相同點(diǎn)時(shí)，不但線速度、角r速度不同，而且軌道半徑（曲率半徑）不同，所以不能做出判斷。案：B、D【例題】歐洲航天局用阿里亞娜火箭發(fā)射地球同步衛(wèi)星。該衛(wèi)星發(fā)射前在赤道附近（北緯5。左右）南美洲的法屬圭亞那的庫(kù)盧基地某個(gè)發(fā)射場(chǎng)上等待發(fā)射時(shí)為1狀態(tài)，發(fā)射到近地態(tài)。將下列物理量按從小到大的順序用不等號(hào)排列:這三個(gè)狀態(tài)

33、下衛(wèi)星的線速度大小軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)為2狀態(tài)，最后通過(guò)轉(zhuǎn)移、調(diào)試，定點(diǎn)在地球同步軌道上時(shí)為3狀;向心加速度大小;周期大小。解析：比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?<3,所以V3<V2；比較1、3狀態(tài)，周期相同，即角速度相同，而門<r3由v=r®顯然有Vi<V3；因此v1<V3<V2。比較2、3狀態(tài)，都是繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?<3,而向心加速度就是衛(wèi)星所在位置處的重力加速度g=GM/r281/r2,所以a3<a2；比較1、3狀態(tài)，角速度相同，而C<3,由a=rwr,有a1<a3；所以a1<a3&l

34、t;a2。比較1、2狀態(tài)，可以認(rèn)為它們軌道的周長(zhǎng)相同，而v1<v2,所以丁2<；又由于3狀態(tài)衛(wèi)星在同步軌道，周期也是24h,所以丁3=，因此有丁2<丁1=丁3星的追及問(wèn)題【例題】如右圖所示，有A、B兩個(gè)行星繞同一恒星O做圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)方向相同，A行星的周期為，B行星的周期為T2,在某一時(shí)刻兩行星第一次相遇（即兩行星距離最近），則（BD）。A,經(jīng)過(guò)時(shí)間t=T2+，兩行星將第二次相遇B.經(jīng)過(guò)時(shí)間t =丁211，兩行星將第二次相遇C.經(jīng)過(guò)時(shí)間t=1-沔，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)d.經(jīng)過(guò)時(shí)間t=y，兩行星第一次相距最遠(yuǎn)【例題】A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行方向相同

35、，A的軌道半徑為1,B的軌道半徑為2,已知恒星質(zhì)量為m',恒星對(duì)行星的引力遠(yuǎn)大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑1<r2。若在某一時(shí)刻兩行星相距最近，試求：（2）再經(jīng)過(guò)多少時(shí)間兩行星距離最遠(yuǎn)？解析：（1）A、B兩行星如右圖所示位置日距離最近，這時(shí)A、B與恒星在同一條圓半徑上，A、B運(yùn)動(dòng)方向相同，A更靠近恒星，A的轉(zhuǎn)動(dòng)角度大、周期短，如果經(jīng)過(guò)時(shí)間t,A、B與恒星連線半徑轉(zhuǎn)過(guò)的角度相差2兀的整數(shù)倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近。解：（1）設(shè)A、B的角速度分別為31、32,經(jīng)過(guò)時(shí)間t,A轉(zhuǎn)過(guò)的角度為31t,B轉(zhuǎn)過(guò)的角度為32t。A、B距離最近的條件是：31t-32t=n2

36、Rn=1,2,3）。恒星對(duì)行星的引力提供向心力，則:Gmm=mr62,即切由得得出：1求得：t=Gm2嚷S=1,2,3-)°(2)如果經(jīng)過(guò)時(shí)間t',A、B轉(zhuǎn)過(guò)的角度相差兀的奇數(shù)倍時(shí)，則A、B相距最遠(yuǎn)，即到tr_C02t'=(2k1)n(k=1,2,3)。故t=ek'。把31、32代入得：.1-2t=G：；1,2,3)丁,了點(diǎn)評(píng)：太陽(yáng)系有九大行星，它們之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如要知道哈雷彗星下次光顧地球是什么時(shí)間,就要分析兩運(yùn)動(dòng)間的角速度關(guān)系，本題關(guān)鍵是正確寫出兩行星相距離最近和相距最遠(yuǎn)的條件。數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用物理是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的。合理運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。甚至在有的問(wèn)題中，數(shù)學(xué)知識(shí)起關(guān)鍵作用。1 .用比值法求解有關(guān)問(wèn)題【例題】假設(shè)火星和地球都是球體，火星的質(zhì)量為M火和地球質(zhì)量M地之比M火/M地=p,火星半徑R火和地球半徑R地之比R火/R地=4,那么火星表面重力加速度g火和地球表面重力加速度g地之比為(A)D. pqP2pA.B.pqC.1qq2 .割補(bǔ)法的運(yùn)用【例題】如圖所示，在距一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體中心