1、第8章 多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用§8.1 多元函數(shù)的基本概念一、 填空題1已知 ，則f(x,y)= 。2函數(shù)的定義域為 。3= 。二、 判斷題1 如果P沿任何直線y=kx趨于（0，0）,都有，則。 （ ）2 從和知不存在。 （ ）3 下面定義域的求法正確嗎？解：所以定義域為x>1/2的一切實數(shù)。三、 選擇題1 有且僅有一個間斷點的函數(shù)是（ ）（A）、 （B）、 （C）、 （D）、arctanxy2.下列極限存在的是（ ）（A）、 （B）、 （C）、 （D）、四、 求下列函數(shù)的定義域，并畫出定義域的圖形。1 112 / 192. 3五、 求下列極限，若不存在，說明理由。1 2.

2、3§8.2 偏導(dǎo)數(shù)一、 判斷題1 如果f(x,y)在(x0,y0) 處，存在，則一元函數(shù)f(x,y0)在（x,y0）處連續(xù)。 （ ）2 如果f在P處不連續(xù)，則f在點P偏導(dǎo)數(shù)均不存在。 （ ）3 （ ）二、 填空題1. 設(shè)f(x,y)=,則 。 。2. 設(shè)u(x,y)有對x,y的連續(xù)偏導(dǎo)，且當(dāng)y=x2時， y=x(x)時，= 。三、 選擇題1. f(x,y)在(x0,y0)處，均存在是f(x,y)在(x0,y0)處連續(xù)的（ ）條件。（A）、充分 （B）、必要 （C）、充分必要 （D）、既不充分也不必要2 已知>0，則（ ）（A）、f(x,y)關(guān)于x為單調(diào)遞增 （B）、f(x,y)

3、>0 （C）、>0 （D）、f(x,y)=x(y2+1)3.設(shè)函數(shù)Z=f(x,y), =2,且f(x,0)=1, x,則f(x,y)=( )(A)、x2+xy-1 (B)、y2+xy+1 （C）、y2+xy+c （D）、x2+xy+y2+1 四、 求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。1. z 2. u3.u= 4.F(x,y)=5.z=(1+xy)xy 6.f(x,y)= 五、 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。 1.z=x4+y4-4x2y2 2.u=ln 3.u= 4。 六、 設(shè)z=，求證：七、 若u=，求證：八、 求f(x,y)=在（0，0）點的偏導(dǎo)數(shù)。九、 設(shè)f(x,y,z)=xy2+yz2+z

4、x2,求， 。§8.3 全微分及其應(yīng)用一、 判斷題1.如果f(x,y)在(x0,y0)滿足條件：，存在且連續(xù)，則f(x,y)在(x0,y0)可微。（ ）2.f(x,y)有二階連續(xù)偏導(dǎo)且df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy,則 （ ）二、 填空題1.F(x,y,z)=,則df(1,1,1)= 。 2.設(shè)Z=ln(x+y2),則= 。三、 選擇題1 在點P處，f可微的充分條件是（ ）（A）、f的全部二階偏導(dǎo)連續(xù)。 （B）、f連續(xù) （C）、f的全部一階偏導(dǎo)連續(xù)。 （D）、f連續(xù)且，均存在 。 2 肯定不是某個二元函數(shù)的全微分的為（ ）（A）、ydx+xdy (B)、ydx-xdy （C

5、）、xdx+ydy （D）、xdx-ydy3.使的函數(shù)f為（ ）（A）、ax+by+c （B）、sinxy （C）、ex+ey （D）、x2+y2 四、 求下列函數(shù)的全微分.1.z=exysin(x+y) 2.u=xxyz3.z= 4.五、 設(shè)討論f(x,y)在（0，0）（1）.偏導(dǎo)數(shù)是否存在。 （2）.是否可微。 §8.4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)一、 判斷題1f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)，u=f(x,y,z)則= （ ）2設(shè)z=z（x,y）有二階連續(xù)偏導(dǎo)，變換把6+-=0簡化為=0， 則常數(shù)a,b滿足條件：a=3,b=3 ( )二、 填空題 1. z=xy+x3,則+= 。2. z=，

6、其中f(x,y)可微,則= 。3. 設(shè)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。則= 。三、 選擇題1設(shè)z=sin(xy2)，則+=（ ）（A）、cos(xy2) （B）、2ycos(xy2) （C）、2xcos(xy2) （D）、ycos(xy2)2.z=f(x,y,z) ,則=（ ）（A）、 （B）、/ （C）、/（1-） （D）、（+）/（1-）四、 設(shè)u=,z=x2siny,求，。五、 設(shè)u=f(xy,x2+y2)且f可微，求，。六、 設(shè)。七、 已知z=f(x2y,ln(xy), ,.。八、 設(shè)z=f(u,x,y),u=xey.f有連續(xù)偏導(dǎo)，求，。九、 若z=f(ax+by),f可微，求證：b-a=0.十、 若

7、f(x+y,x-y)=x2-y2,求證：+=x+y十一、 u=xf(2x+3y,ey+z),求十二、 設(shè)函數(shù)u滿足+=0，作變換，求證：=0§8.5 隱函數(shù)求導(dǎo)一、 填空題1 由方程確定的函數(shù)z=z（x,y）,在點（1，0，-1）處的全微分dz= 。2.設(shè)zsin(x+2y-3z)=x+2y-3z,則+= 。3.設(shè)，其中可微，則= 。二、選擇題1 設(shè)z=z(x,y)由方程F（x-az,y-bz）確定，其中F（u,v）可微，a,b為常數(shù)，則（ ）（A）、a-b （B）、b-a （C）、a+b （D）、b+a2 設(shè)z=z(x,y)由方程x2+y3-xyz2=0確定，yx+y=( )(A)

8、、 (B)、 (C)、 （D）、三、設(shè)確定y 與x的函數(shù)。用兩種方法求。四、由x+y+z=確定z是xy的函數(shù)，求dz。 五、3-3xyz=a3,求。六、 設(shè)，求，。，。七、設(shè)z=f(u),u=(u)+確定u=u(x-y),連續(xù)且可微，求證：P（u）+P(x) =0八、設(shè)f(x,y)=,求證：-+=0。§8.6 微分在幾何上的應(yīng)用一、 判斷題1為曲線T在t0處的切向量，則-也為切向量。 （ ）2曲面F(x,y,z)=0一般有兩個法方向，如果FZ>0,法向量=Fx,Fy,Fz一定指向曲面.（ ）3xoy平面中曲線F（）=0的一個法向量為Fx,Fy（如果Fx,Fy不全為0）。 （ ）

9、二、 填空題1曲線x=t3,y=t2,z=t在點（1，1，1）的切向量= 。2x2+y2+z2=12在點（2，-2，2）的切平面方程為 。三、 選擇題1 曲面Z=F(x,y,z)的一個法向量為（ ）（A） （B）（C） （D）2 旋轉(zhuǎn)拋物面z=2x2+2y2-4在點（1，-1，0）處的法線方程為（ ）（A） （B）（C） （D）四、 求曲線l：x=cost,y=sint,z=2t在t=處的切線和法平面方程。五、 求曲線在點M0（）處的切線方程。六、 求曲面Z=xy在（1，2，2）處的切平面與法線方程。七、 求曲線x=t2,y=t,z=t3上的點使該點的切線平行于平面2x+y+z=4.八、 設(shè)M

10、（1，-1，2）為曲面Z2=上的一點，且，求曲面在點M處的切平面指向該曲面下側(cè)的法向量軸正向的夾角的余弦。九、 求證Ax2+By2+Cz2=D上任一點（x0,y0,z0）處的切平面方程為Ax0x+By0y+Cz0z=D.§8.7 方向?qū)?shù)與梯度一、 判斷題1平行于z軸，則。 （ ）2若均存在，則 任何方向的方向?qū)?shù)均存在。 （ ）二、 填空題1函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與 ，而它的模為方向?qū)?shù)的 。2設(shè)f(x,y,z)=ln(x2+y2+z2)，則 。三、 選擇題1設(shè)是曲面2x2+3y2+z2=6在點P(1,1,1)處指向外側(cè)的法向量,則在點P沿方向的方向?qū)?shù)為 （ ）

11、(A) (B) (C) (D)22.已知V=（x,y,z）= ( )（A） （B）（C）2x，2y，2z （D）四、 求Z=x2+y2在點(1,2)沿P(1,2)到Q(2,2+)的方向的方向?qū)?shù)。五、 求z=1-在點M0（）處沿曲線的內(nèi)法向量的方向?qū)?shù)。六、 求u=x+xy+xyz在點M0（1，2，-1）處的梯度，并求該梯度方向的方向?qū)?shù)。七、 f(x,y)在（x0,y0）可微，且該x軸正向到射線的轉(zhuǎn)角方向的方向?qū)?shù)分別為1，0，求f(x,y)增長反映的方向的反大增長率。八、 v=，求v。§8.8 極值一、 填空題1 函數(shù)f(x,y)=(6x-x2)(4y-y2)的極值點有 。2 函

12、數(shù)f(x,y)=xy-xy2-x2y 的可能極值點為 和 。二、 選擇題1如果點(x0,y0)有定義且f(x,y)在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有連續(xù)二階偏導(dǎo)，=B2-AC，A=，B=，C=，則當(dāng)（ ），f(x,y)在(x0,y0) 取 極大值。（A）、>0,A>0 (B)、<0,A>0 （C）、<0,A<0 （D）、>0,A<02.函數(shù)Z=x3-y3+3x2+3y2-9x的極值點有（ ）（A）、（1，0）和（1，2） （B）、（1，0）和（1，4） （C）、（1，0）和（-3，2） （D）、（-3，0）和（-3，2）三、 求 f(x,y)=(x2+

13、2x+y)e2y的極值點及極值。四、 u=f(x,y)=x-x2-y2,求u在D(x,y) 點的最大值與最小值。五、 半徑為r的圓外切三角形何時面積最小。六、 圓(x-1)2+y2=1含于橢圓內(nèi)。問a,b取何值時，此橢圓半徑最小。七、已知三角形的周長為2P，求出這樣的三角形當(dāng)它繞著自己的一邊旋轉(zhuǎn)時所生成的 體體積最大。第八章自測題一、 填空題1 若，則= . 2 由xy+yz+zx=1確定隱函數(shù)z=f(x,y),則= .3 函數(shù)z=-的定義域為D=(x,y) 4 已知f(x+y,x-y)=x2y+y2,則f(x,y)= .5 u=sin(x2+y2+z2),則u= .二、 選擇題1 使=2x-

14、y成立的函數(shù)是（ ）（A）、Z=x2y-xy2+ex+y （B）、Z=x2y-xy2+ex(C)、Z=x2y-xy2+sin(xy) （D）、Z=x2y-xy2+exy+32 曲線x=t,y=2t2,z=3t3在點（1，2，3）處的一個切向量為（ ）（A）、1，2，3 （B）、2，4，6 （C）、1，4，9 （D）、1，4，83 函數(shù)f(x,y,z)=4(x-y)-x2-y2( )(A)、有極大值8 （B）、有極小值8 （C）無極值 （D）有無極值不確定4 u=e-xsin,則在點（2，）處的值為（ ）（A） （B）（）3 （C）（）2 （D）15 z=xy+x3則+=（ ）（A）x+y+2x2 （B）x+y+3x3 （C）2x+y+3x2 （D）x+y三、 設(shè)u=f(xy,x+2y),f有連續(xù)的二階偏導(dǎo)，求。四、 設(shè)M0（x0,y0,z0）是 z=xf() 上一點，求證M0處的法線垂直于向徑。五、 設(shè)z=z(x,