1、定積分基本公式定積分是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的基本概念，在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng) 域中都有廣泛的應(yīng)用本章將由典型實(shí)例引入定積分概念，討論定積分性質(zhì)和計(jì) 算方法，舉例說(shuō)明定積分在實(shí)際問(wèn)題中的具體運(yùn)用等 第二節(jié)微積分基本公式、變上限的定積分I f（ x）d x 設(shè)函數(shù)f（x）在a,b上連續(xù)，a,b，于是積分a v j這種寫(xiě)法有一個(gè)不方便之處，就是 X既表示積分上限，又表示積分變量.為避免X是一個(gè)定數(shù),混淆,y我們把積分變量改寫(xiě)成t，于是這個(gè)積分就寫(xiě)成了Ja f（t）dty=f(x)X在a，護(hù)（X）上變動(dòng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于每一個(gè)X值，積分a "Mt就有一個(gè)確定的ax a f（t）dt是變上限X的一

2、個(gè)函數(shù)，記作（X）= a PM值，因此b ）通常稱(chēng)函數(shù) （X）為變上限積分函數(shù)或變上限積分，其幾何意義如圖所示定理1如果函數(shù)f（x）在區(qū)間a,b上連續(xù)，則變上限積分X（x）= afdt在a,b上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)是d x（譏/"）X推論連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)一定存在且函數(shù)（X）haf（t）dt即為其原函9 / 52計(jì)算(x)= ,sintdt£ n在x=0 ,2處的導(dǎo)數(shù).9 xsint2dt因?yàn)閐x 0=sin x2,故2(2) =sin -=返(0) =sin02=0 ；( 2 )4例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)(x)sexl nt嚴(yán)0)-7這里（X）是x的復(fù)合函數(shù),其中中間變量u

3、 =ex,所以按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，有dx du(udt)d(ex)dxIn ex xe =x(2)(“=1 sin 萬(wàn)出(x .0)sin、弓解 dx dxM（x2）sin x2sin x2x = -x2、牛頓-萊布尼茨（Newton-Leibniz ）公式定理2 設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a，b上連續(xù)，又F（x）是f（x）的任一個(gè)原函b數(shù)，則有 af(x)dF(b)-F(a)x（x） f 證 由定理1知，變上限積分af（t）dt也是f（x）的一個(gè)原函數(shù)，于是知(x)-F(x) =Co,C0為一常數(shù),即a我們來(lái)確定常數(shù)C0的值，為此，令X二a，有a f(t)dF(a) C0，得C-F(a)因此有x

4、j f(t)dt = F(x)-F(a)t a再令x = b，得所求積分為bJ f(t)dt=F(b)F(a)-a因此積分值與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān)，仍用x表示積分變量，即得bjaf(x)dx = F(b)-F(a),其中 F(x)=f(x).上式稱(chēng)為牛頓-萊布尼茨公式，也稱(chēng)為微積分基本公式.為計(jì)算方便，該公式 常采用下面的格式：bbf (x)dx 二 F(x) a二F(b) -F(a)求定積分:2(1) 1 (x-)dx 刃；(2)dx；x2dx解(1)21(X -)2dx =：(x2 22)dxx=()+2x-丄)x 3x21 (2)2x(1 - x)dx2=22 -(I xFE2-arcs

5、in3*) 93398.231 二 2(arcsin2(3)" x二 2arcsin . x二x在T,1上寫(xiě)成分段函數(shù)的形式 Vxdx =于是二0X)dx.0f(x)X,-仁 x 0,x, 0 _ x _1,1xdx =0-1COSX t2e1 dtlim 2例2 計(jì)算x )0x0解 因?yàn)閤 > 0時(shí),cosx > 1,故本題屬0 型未定式，可以用洛必達(dá)法cosx 12則來(lái)求這里1是x的復(fù)合函數(shù)，其中u =cosx,所以d cosx 12L e dt-cos2 x .=e (cos x)'cos2x二一sin xe,于是思考題1.若cosx2e dt2_cos x1 .sin x e-sinx os2x2= limlirexx J02xx0 2x丄2e .x2f(x)=.2sint dtf（X）二？2.在牛頓-萊布尼茨公式中，要求被積函數(shù) f（x）在積分區(qū)間a,b上連續(xù).問(wèn)當(dāng)f（x）在a,b區(qū)間上有第一類(lèi)間斷點(diǎn)時(shí)，還能否用牛頓-萊布尼茨公式計(jì)算 定積分？并計(jì)算22 f(x)dx,其中x2,