1、華中科技大學(xué)數(shù)值分析實驗報告（實驗6.1）9華中科技大學(xué)系、學(xué) 姓 類數(shù)值分析實驗報告年級 研究生院2012級口號名別碩 士2013年5月6日實驗6.1實驗要求:根據(jù)教材實驗6.1做出相應(yīng)改編：分別使用 Gauss消元、列選主元。全選主元的方法求解線性方程組，分別比較三種消元方法的結(jié)果和算法的區(qū)別，并說明 主元的選取在Gauss消元的中的作用。問題提出:Gauss消去法是我們在線性代數(shù)中已經(jīng)熟悉的。但由于計算機的數(shù)值運算是在一個有限的浮點數(shù)集合上進行的，如何才能確保Gauss消去法作為數(shù)值算法的 穩(wěn)定性呢？ Gauss消去法從理論算法到數(shù)值算法，其關(guān)鍵是主元的選擇。主元的選擇從數(shù)學(xué)理論上看起來

2、平凡，它卻是數(shù)值分析中十分典型的問題。 一般來說書 本上采用的列選主元的辦法對其線性方程組進行求解的， 那么我們是否可以選擇一種行列都選取主元消去的辦法來減小相應(yīng)的誤差呢？全主元消元法和列主元消元法一樣都是由高斯消元法演變而來。只不過選取主元的范圍有所加大。全選主元相對于列選主元的更加復(fù)雜化了， 因為在運算的過程中導(dǎo)致了元的位置發(fā)生了變化，這樣我們就不得不追蹤每個元的位置。本次實驗就幾個問題進行了matlab實驗分析，比較幾種計算方法的優(yōu) 劣性。實驗內(nèi)容:考慮線性方程組Ax b, ARn n,bRn編制一個程序：分別能進行Gauss消去、列選主元 Gauss消去、全選主元Gauss消去法進行解

3、線性方程組。對三種算法所得到的結(jié)果進行比較，分析三種計算方法的準(zhǔn)確性。具體內(nèi)容:715（1）取矩陣A,b161514取n=10、n=20計算矩陣的條件數(shù)。分別編寫利用Gauss消去、列選主元消去以及全選主元消去的方法。，則方程有解x*（1,1,1）T。matlab編寫運算程序，實現(xiàn)比較三種計算方法的運算結(jié)果。在列選主元的過程中分別采用每步消去過程總選取按模最小或按模盡可能小的元素作為主元或每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結(jié)果又如何?分析實驗的結(jié)果。1采用普通Gauss消元法進行計算Gauss消去法的基本思想是，通過將一個方程乘或除某個數(shù)以及兩個方程相加減這兩種運算手續(xù)，逐步減少方程組

4、中變元的數(shù)目，最終使某個方程只含有一個變元，從而得出所求的解。對于? ? Gauss消去法的求解思路為:若?）工0，先讓第一個方程組保持不變，利用它消去其余方程組中的?,使之變成一個關(guān)于變元?,?的n-1階方程組。(2)按照（1）中的思路繼續(xù)運算得到更為低階的方程組。(3)經(jīng)過n-1步的消元后，得到一個三角方程。利用求解公式回代得到線性方程組的解。根據(jù)這個思路編寫matlab程序如下:10/20 )')fun cti onx=gauss (n)dis p('請輸入構(gòu)造的矩陣的階數(shù)(n=input('');disp('構(gòu)造矩陣為A=')A = di

5、ag(6*o nes(1, n) )+diag(o nes(1, n-1),1)+diag(8*o nes(1, n-1),-1) disp('由A構(gòu)造岀矩陣b=')b = A*o nes( n,1)m,n =size(A);disp('增廣矩陣為:')Ab=A bfor i=1: n-1yua n= Ab(i,i);for k=i+1: nAb(k,i:( n+1)=Ab(k,i:( n+1)-(Ab(k,i)/yua n)*Ab(i,i:( n+1);enddis p(Ab);p auseendx=zeros( n,1);x( n)=Ab( n,( n+1)

6、/Ab( n,n);fori=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,( n+1)-Ab(i,i+1: n)*x(i+1: n) )/Ab(i,i);end取n=10運行的結(jié)果為:Ab =15151515151515150消去結(jié)束后的矩陣為:6. ODOC<000000c00L cao«4, CflC01,0000i. 2B5/14fl<5<10<100000解得線性方程組的解為:ans =00 i. oooo i. 133300000 l.dO'UO 4. C6i500000000'0'Ij'MO0000UOOiQO4- Cl

7、廊000daaaa a I. oocn 4 007 aQd00D0Qa0l.OOOD00 n01,0000'4.” 0020r.doooaLlSb；5. 13335.06455,0317Fj.crsr5.aO?B1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00001.00001.0000 1.00001.0000 1.00001.0000取n=20運行的結(jié)果為：Ab =AhID口Q4QQCl c>QC0卵0DDD00i3iS0D440al?i000ID>90ID0El0IIIIL-9謝9000IDIDcIDIDD力e ID ID9s咼rQ心IQ

8、DDDDBDgQDDDb aDaDDD90aa000DDDCPDCQEBDDD00DDDbDDDDDDD000EB000DDDD53000-O'00D0000DD0006E0DDDD000QQfl00000D00000000cOi0006SD0DaQ00O'000000O'0O'00010t巧C'】50>“D5D5D5dC制C1S015115E1消去結(jié)束后的矩陣為:I：&JX LOWi：I L 郵 LOfflflI di： L翩 ：I :曲 lowI：:.眥 LIKI IKil?5【翥LOOMI哋 Lj»M3 ；flW LMWfl

9、flQ IMM LMNI iOC 5.M>I 機I 5.M('L? iNMil111 i.MOa L.»Ma 個 M .N» iWWQ LNH 二刪解得線性方程組的解為:ans =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00002采用列選主元消去法進行計算在采用Gauss消去法的時候，主元絕對值的大小將影響到計算結(jié)果，主元的絕對值越大，

10、算法的穩(wěn)定性越好。列選主元消去法matlab程序的計算思路為:華中科技大學(xué)數(shù)值分析實驗報告(實驗6.1)(1) 先構(gòu)造需要計算的矩陣，得到增廣矩陣 Ab 0(2) 將系數(shù)矩陣A的每一列的絕對值最大的元素換至對角線上，矩陣b中的元素也隨之改變，先判斷主元是否為 Oo然后利用此主元逐行消去此主元所在的列中的元素，矩陣b中的元素也隨之改變。(3)經(jīng)過n-1步運算過后，矩陣A就變換成為一個三角矩陣。(4)逐次回代，就能計算出方程組的解。分別每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元和每步消去過程總選取按模最小的元素作為主元選取列選主元消去法的matlab程序為:10/20 )')fun cti

11、onx=gauss (n)dis p('請輸入構(gòu)造的矩陣的階數(shù)(n=input('');disp('構(gòu)造矩陣為A=')A = diag(6* on es(1, n)+diag(o nes(1, n-1),1)+diag(8*o nes(1, n-1),-1) disp('由A構(gòu)造岀矩陣b=')b = A*o nes( n,1)m,n =size(A);disp('增廣矩陣為:')Ab=A bfor i=1: n-1if way=1i=idisp('輸入每一列的主元所在的行)hang=input(''

12、);Ab(i han g,:)=Ab(ha ng i,:);dis p(Ab);p auseendzhuyua n= Ab(i,i);for k=i+1: nAb(k,i:( n+1)=Ab(k,i:( n+1)-(Ab(k,i)/zhuyua n)*Ab(i,i:( n+1); enddis p(Ab);p auseend x=zeros( n,1);x( n)=Ab( n,( n+1)/Ab( n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,( n+1)-Ab(i,i+1: n)*x(i+1: n) )/Ab(i,i);end(i (取n=10手動執(zhí)行該程序:消去結(jié)束后的矩陣為

13、:fl-ODOOl.OOCin000Q0015 的dO«.ODOOfl.OOCQi.oaooD0000aJ5. OiJOO303. JOCd勺 OQC O1. a O'OU0000a15. 0300ID009. oaoo6. aaoo1.0 DIDO00001&. CiiDOOID0d0B. CO'ODe.'OOiDO'I.DQOO00015. OiDOOID0Q0DgjooHDO6,DOOQi.ocoo0015*OiiilOOID0(1ti00fi. CCWOfil. ncflo1. tiotli)aiFj. onoc00(1nD00B. n

14、oon6. tie fidi-aoDo15. ninoo00000O'003. QQQQG.O'OOOu.ooog0000D00Q1)-G, ai5S-0,1)156S.解得線性方程組的解為:ans =1.0000 1.0000 1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000111.0000 1.0000取n=20運行的結(jié)果為:Ab =jlmiLWilftduElS W：1(1fl(t 1I1 :fl0fl 111Jill'】mfl1O'r(:11*0g0 ('11i.iir1】<1畑：LD

15、7;1flI(1«(flflfl 111s,!irfl1師師1flr(1t 1fl00 (111UIJ1fl觀Ulll*t111f 1fli(1 111i脂01U(UH；LiHWr11( fl0 (1111i1fl(1ti'15'11t 1fl*0 (111gfl1Q(1a1tI Jfl0fl (111urig01fl(01UJJJ-Vo1 nI* 19fl(1 111illH4«1Ja0I曲JintE iflflfl (111LIE1a1Q(1irtill】LMK(】flfl0 111IJILI0fl1flC1fl'11;1血m1fla(1I11U

16、lh01Q(10(J11|：| tKG i nsfla0 (111Uli：')01Qf10(1(UKl曲0!：i(1111.IILa1U(1flI1i( 1幽曲0 (111UIIL001fl1ari1( :flL 働 1.0111iJlliIfl1fl1flI11(fl4 M M11Mill01Q(1flr1t(flflfl師JII1iJiirifl1flt1Ir1t1fla I皿IIMillMill01(1(1i(31t1flfl0 11MillMill解得線性方程組的解為:ans =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1

17、.0000 1.0000 1.0000 1.00001.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000(ii)每步消去過程總選取按模最小的元素作為主元取n=10手動執(zhí)行該程序:消去結(jié)束后的矩陣為:匕0DM0000L CO 00i.CflCflfl0l.OOJD .26570Q001, OOOlO4, 1333Q000 l.OO'OO i. 0QJ500t)旺I. 0Q0000a a a a a00000 a flQar.dooo5,28075, J3335. Q6i5000000fl00000000000Q000

18、0i.OjJ?血000bO(J3Q000q L. oooa 4.007aad00 l.QOflO 4.'003!>0QQQ1.0-MO4.” 002(1寶5.015.5,0035A咖解得線性方程組的解為:ans =1.0000 1.0000 1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000 1.0000取n=20運行的結(jié)果為:消去結(jié)束后的矩陣為:華中科技大學(xué)數(shù)值分析實驗報告（實驗6.1）flLXIf I I II 印 LSM I 1i丄赴I1 I皿；I嬸J I I W:i：I®i<1L»KDaB

19、030fl0Da0DaLM«iWt-l3a5flLjHMI'flWflLMWfl9aag0flflaaflflfl3QLMHaa00flfl L鯽 WNfl.NMVNU:MW 1跖 倆 5.JJ3 儷 irar 5【翥 iWCI 5.0訓(xùn)】Q iWffi i觀 訓(xùn)L 5.PMIL 測5.MW解得線性方程組的解為:ans =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0

20、000 1.0000由上述兩種選取主元的方法比較可知，采用每一步消去過程總選取按模最大或按模盡可能大的元素作為主元的選取方法最終得到的方程組的解更加精確，這是因為在計算過程中人為的避免了大數(shù)除小數(shù)而造成的誤差的擴大，而每一步消去過 程總選取按模最小或按模盡可能小的元素作為主元的選取方法最終得到的解會 有誤差，而誤差的產(chǎn)生就是由于上訴原因而造成了。 所以在實際計算過程中，必 須考察計算模型的可行性。3采用全選主元消去進行計算全選主元和列選主元消去法的區(qū)別在于全選主元不僅要用到列選主元，而且 需要行選絕對值最大的元，這樣的麻煩之處就在于不僅需要進行線性方程順序的變換，而且在解方程的過程中未知數(shù)的順

21、序也發(fā)生了相應(yīng)的改變，這就給程序的 編寫和運算的時間的上帶來了很大的麻煩。全選主元消去法的基本思路為:(1)先構(gòu)造需要計算的矩陣，得到增廣矩陣 Ab(2)將每次更新后系數(shù)矩陣的每一列的絕對值最大的元素換至對角線上(絕對值最大的元素必須在對角線的下方)，矩陣b中的元素也隨之改變。(3) 然后將更新后系數(shù)矩陣的每行中的絕對值最大元素換至對角線上(該絕對值最大元素必須要在主元的右側(cè))。先判斷主元是否為 0,然后利用此主元逐行消去此主元所在的列中的元素，矩陣 b中的元素也隨之改變。(4) 經(jīng)過n-1步運算過后，矩陣A就變換成為一個三角矩陣。(5) 逐次回代，就能計算出方程組的解。采用全選主元Gaus消

22、去法編寫的matlab程序為:10/20 )')fun cti onx=gauss (n)dis p('請輸入構(gòu)造的矩陣的階數(shù)(n=input('');disp('構(gòu)造矩陣為A=')A = diag(6*o nes(1, n) )+diag(o nes(1, n-1),1)+diag(8*o nes(1, n-1),-1) disp('由A構(gòu)造岀矩陣b=')b = A*o nes( n,1)m,n =size(A);disp('增廣矩陣為:')Ab=A bfor i=1: n-1zhuyua n = max(max

23、(abs(A(i: n,i:n); for r = i:nfor t = i:nif zhuyua n = abs(A(r,t) zhuha ng = r;zhulie = t;endendendph = A(i,:);A(i,:) = A(zhuha ng,:);A(zhuha ng,:) = ph; b = b'bb = b(i);b(i) = b(zhuha ng); b(zhuha ng) = bb;b = b'pl = A(:,i);A(:,i) = A(:,zhulie);A(:,zhulie) = pl;Ab = A,b; zhuyua n = Ab(i,i);f

24、or k=i+1: nAb(k,i:( n+1)=Ab(k,i:( n+1)-(Ab(k,i)/zhuyua n)*Ab(i,i:( n+1); endA = Ab(:,1: n); b = Ab(:,(n+1); dis p(Ab);p auseend x=zeros( n,1);x( n)=Ab( n,( n+1)/Ab( n,n);for i=n-1:-1:1x(i)=(Ab(i,( n+1)-Ab(i,i+1: n)*x(i+1: n)/Ab(i,i);end取n=10手動執(zhí)行該程序:消去結(jié)束后的矩陣為:呦加00000000扎 O'OOOJ 4-MOO0£.00000

25、0D000a-3. 5000i.saoo00S. OQCD. OQD O1. QC'OD0a00J 5. 03003003. co co6. OO'ODlx 0030000015. 0300000S.OO'OO6.00130L OOOO0a015. 0130000Q0a*oojo6-OOOOl-OCOO005. OJOO1900000s. oooo乩 000 Q1* OCi'OO0&+1)19000000DO'0乩 ocoo5*00000*137514376g0000O'003,0000l,3'5O9, 3'500000D

26、00Q0-C,O15S-0,0156解得線性方程組的解為:ans =1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.00001.00001.00001.0000 1.0000 1.00001.0000取n=20運行的結(jié)果為：Ab =15華中科技大學(xué)數(shù)值分析實驗報告（實驗6.1）IIJJy曲1丨A !i 洶 tj)aI溺iraLHEA(10fl0flflI IW 緞 lIM :sI】1 INK刪：敝jI1：l M 斕 L 加IJ：l1】IEJ；l0')0Q00rl Ita00ijia0I)0aflI03flI0fl1J1HIM01J'IJ11fli1q1巾1lba1ui:l:Licmfl101JJJ.OQ14i0:UK»fl1011*:E.Bflr51.J；U(H1fl1b1:l1E.Bfl