1、滾動摩阻及其實例分析 制33劉赟 馮燦 石磊 辛明鵬滾動摩阻及其實例分析制33劉 赟 2003010565馮 燦 2003010559石 磊 2003010558辛明鵬 20030105542004年12月關(guān)鍵詞：滾動，摩擦，滾動摩阻，約束反力，摩擦自鎖摘要：滾動摩阻是力學(xué)中一個非常重要，也非常復(fù)雜的問題。本文通過建立不同的模型，解釋了滾動摩阻的產(chǎn)生原理，并且討論了滾動摩擦中的摩擦自鎖問題。最后，本文通過網(wǎng)球和車輪滾動兩個實例，展示了滾動摩阻在生活中的應(yīng)用。理論力學(xué)中一個非常重要的模型就是輪子滾動的問題，在很多機械構(gòu)件的分析上，還有生產(chǎn)實踐中都會經(jīng)常遇到。在做理論分析時，很多時候都認為在滾動過

2、程中，輪子和地面都是不會有形變的，也就是利用了剛體這個理想模型。在這種假設(shè)條件下，輪子和地面是點基礎(chǔ)。如果輪子是純滾動，那么輪子除了受到地面的支持力外，還可能受到一個靜摩擦力（受力與否與輪子的運動狀態(tài)有關(guān)），作用點在輪子和地面的接觸點，方向與輪子運動方向相反。根據(jù)對靜摩擦力的分析，靜摩擦力所做的功。由于純滾動，輪子和地面接觸點的速度為零，則，故靜摩擦力所做的功?？芍o摩擦力不做功，那當輪子開始純滾動，且不受外力的情況下，輪子將保持初始速度一直滾下去。但在實際生活中，輪子或者是球在滾動一段時間后是會停下來的，與理論預(yù)計不符，說明理論模型中有不合理的地方。物體滑動時，實際情況會受到滑動摩擦力。但是

3、對于純滾動的物體，只會受到靜摩擦力，故不是一般的摩擦力阻礙物體的滾動，還有其它的作用使?jié)L動物體停下來。事實也是這樣的。在一開始建的模型中，輪子和地面都是不會產(chǎn)生形變的，但是在實際情況中，輪子和地面都會產(chǎn)生形變，而且在輪子滾動時，這個形變并不時均勻的，輪子受到的支持分布力也不均勻，將分布力簡化可以得到一個力和一個力偶，且這個力偶是阻礙著輪子的滾動。實際情況中也就是這個力偶的作用，使?jié)L動停止。我們稱這個力偶為滾動摩阻。下面我們將就滾動摩阻的概念、原理以及滾動中的一些問題作一些簡單的討論。滾動摩阻的原理我們以滾動中的圓柱體為模型來闡述滾動摩阻的原理。若滾動中圓柱體和其對應(yīng)的支持面間的相互接觸作用無須

4、考慮其面分布情況，則相互擠壓的接觸總作用便可認為是集中作用于接觸面的某一點上，接觸總作用可以用一個宏觀的力接觸合力來等效，它總可以分解為沿接觸面上力作用點處切向的彈力和法向的摩擦力。只要有形變存在，圓柱體前進時前方的擠壓必然增強，形變加劇。所以接觸合力的作用點就由其質(zhì)心軸的正下方向前偏移了一段水平距離，因此圓柱體所受彈力并非豎直向上，所受靜摩擦力也并非沿水平方向向后。為分析和的具體情況，可先從下述兩種理想情況入手。第一種理想情況是，圓柱體絕對堅硬而僅支持面產(chǎn)生了形變。先看的方向。圓柱體滾動時點已向前偏移，所以沿處法向指向但并非豎直向上。的方向我們可這樣考慮：設(shè)圓柱體和支持面間絕對無摩擦，圓柱體

5、在前進中的某時刻恰好只滾不滑。顯而易見，由于的作用此時圓柱體的平移速度立即減小而轉(zhuǎn)動角速度仍保持不變，所以圓柱體由只滾不滑的運動狀態(tài)立即變?yōu)橛只譂L的運動狀態(tài)，圓柱體表面上與支持面接觸的那一部分曲面(以下簡稱為觸地面)相對于對應(yīng)的支持面將沿自己轉(zhuǎn)動的正方向滑動。由此可見，若兩接觸面間有摩擦的話，那么在時刻，觸地面必將有一個沿自己轉(zhuǎn)動正方向相對滑動的趨勢，則此時圓柱體的處必將受到與這個相對滑動趨勢方向相反的靜摩擦力的作用，如圖1-1所示。第二種理想情況是，支持面絕對堅硬而僅圓柱體產(chǎn)生了形變。根據(jù)有關(guān)結(jié)論和上一理想情況的分析方法不難確定，此情況下圓柱體所受彈力豎直向上，摩擦力水平向后，如圖1-2所

6、示。（此時可以等效為作用在重力作用線上的以及一力偶 即滾動摩阻）圖1-1圖1-2然而，實際情況總是圓柱體和支持面兩者都產(chǎn)生了形變，所以和的情況介于上述兩理想情況之間。具體說來，設(shè)圓柱體及支持面由前述第一種理想情況開始，保持其它條件不變，僅圓柱體的堅硬程度逐漸減小而支持面的堅硬程度逐漸增大，直到前述第二種理想情況為止，則觸地面偏前部分的形變逐漸加劇其形狀逐漸趨于平緩，各處的曲率中心漸離了質(zhì)心軸，處法向由指向逐漸偏離并往豎直向上的方向偏轉(zhuǎn)靠近。在前述第一種理想情況中，沿處法向指向質(zhì)心軸，沿處切向向前偏上，見圖1-1。隨后在圓柱體的形變逐漸增大而支持面的形變逐漸減小的一個有限范圍內(nèi)，逐漸增大而其方向

7、偏離了指向的方向并逐漸向上偏轉(zhuǎn)，逐漸減小而方向向下偏轉(zhuǎn)且始終與垂直。圖1-3為這個有限范圍內(nèi)和的示意圖。當圓柱體和支持面形變相對達到某一程度時，增加到最大而減小為零，此時恰好等于接觸合力，如圖1-4。圖1-4圖1-3此后隨著圓柱體形變的繼續(xù)增大而支持面形變的繼續(xù)減小，則逐漸減小但方向繼續(xù)向上并往豎直方向偏轉(zhuǎn)靠近，則由零增大但方向改變?yōu)橄蚝笃虏⒅饾u往水平向后的方向偏轉(zhuǎn)靠近。圖1-5為這一有限范圍內(nèi)和的示意圖。當形變達到前述第二種理想情況時，減小到等于重力其方向達到豎直向上，增大到其方向水平向后，見圖1-2。圖1-5在以上討論分析的基礎(chǔ)上，若把進行力系等效處理，可將其平移至作用線上，并附加一力偶

8、M，即為滾動摩阻。滾動摩阻的另一個模型我們再來分析受主動力偶作用的圓盤所受的約束反力，從另一個角度來解釋滾動摩阻現(xiàn)象。1 對靜止圓盤的分析圓盤受重力時，平面對圓盤的約束反力呈對稱分布(見圖2-1)，當又有主動力偶作用時(不太大)，由于相對于過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量最小，所以圓盤有繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動趨勢，因而在各法向反力的作用點處，必然產(chǎn)生切向靜滑動摩擦力(見圖2-2)，且分布的切向靜滑動摩擦力對點的力矩等于。將圖2-2的約束反力系向點簡化，法向分布力向點簡化的結(jié)果為一垂直向上的力，切向分布力向點簡化的結(jié)果為水平向右的切向力和一個力偶(見圖2-3)。圖2-3圖2-2圖2-1此外，當不太大時，由于切向的靜滑動

9、摩擦力的約束，圓盤在有繞點轉(zhuǎn)動趨勢的同時，還必然產(chǎn)生繞點的轉(zhuǎn)動趨勢，因此圓盤上(除點外)的弧線上各點均有運動趨勢，因此在上各點就必然產(chǎn)生與運動趨勢相反的約束全反力(見圖2-4)。以點作為分析對象，上其它各點類推，點所受約束全反力如圖2-4所示，且， 向水平方向和豎直方向分解得水平向左的分力和豎直向上的分力，然后將圓盤所受的約束反力系向A點簡化：水平向左的力，此力與圖2-3中的相抵消，豎直向上的力以及逆時針的滾動摩阻力偶（見圖2-5）。圖2-4圖2-5 綜上，受主動力偶作用的靜止圓盤所受的總約束反力為法向反力(等于由引起的分布力的合力加上)和滾動摩阻力偶(等于圖2-3，圖2-5中的滾動摩阻力偶的

10、疊加)，并與主動力偶相平衡，無水平方向的摩擦力(見圖2-6)。圖2-6 圖2-72 對滾動圓盤的分析當主動力偶矩逐漸增大(一最大滾動摩阻力偶)時，圓盤即開始滾動，此時除點外，上各點均有速度，因此圖2-4中的約束全反力沿圓盤切向的分量已達到最大靜摩擦力，已不能抵消繼續(xù)增大的如圖2-3中A點的靜摩擦力(因增大，A點向左滑動的趨勢增大)，因此當,，開始運動的圓盤受力分析如圖2-7所示。此時又出現(xiàn)了水平向右的靜摩擦力，其大小由下列平面運動微分方程確定：上述方程對純滾動圓盤：，未知；對又滾又滑的圓盤： ，。綜上所述，受主動力偶作用的圓盤，當，圓盤上除受因重力引起的垂直向上的反力外，只出現(xiàn)滾動摩阻力偶()

11、與平衡，而無切向摩擦力時(見圖2-6)，圓盤處于靜止狀態(tài)。當時，圓盤上除受豎直向上的力外，還出現(xiàn)最大滾動摩阻力偶，并出現(xiàn)切向摩擦力 (見圖2-7)。物體滾動時滑動摩擦力上面我們介紹了滾動摩阻的原理，但是物體滾動時，同樣也存在著滑動摩擦力，而且滑動摩擦力情況較平動而言比較復(fù)雜，所以下面也分析一下。這些分析將在后面的實例分析中用到。在平動問題中，摩擦力總是阻礙接觸面之間的相對滑動，這樣可以判斷摩擦力的方向。在轉(zhuǎn)動問題中，接觸面間的摩擦力也是由“阻礙相對滑動”的原則來確定的。但是由于既有移動又有轉(zhuǎn)動，因此，判斷相對滑動就比較麻煩一些。圖3-1純滾動，即當滑動摩擦力為零。若輪子與平面接觸點間有相對運動

12、趨勢，則有靜摩接力，且方向與相反。由前面分析，可以知道靜摩擦力不做功。則在純滾動時，摩擦力不做功，沒有機械能向內(nèi)能的轉(zhuǎn)換。既滾又滑時會有滑動摩擦力的存在。下面分兩種情況討論：（1）當，即平動速度大于滾動速度，則輪子是向前滑動的。輪子所受的滑動摩擦力將與方向相反，故由動量定理，使減小。對質(zhì)心的力矩方向與相同，力矩做正功。使輪子平動減速，做負功；又使輪子滾動加速，做正功?；谝陨戏治觯梢缘贸鰰r間內(nèi)滑動摩擦力做的總共為?？偣樨摴?。（2）當，即平動速度小于滾動速度，則輪子滾動更快。輪子所受的滑動摩擦力將與方向相同，故由動量定理，使增大。對質(zhì)心的力矩方向與相反，力矩做負功。使輪子平動加速，做正功；又

13、使輪子滾動減速，做負功?？梢缘贸鰰r間內(nèi)滑動摩擦力做的總共為?？偣θ詾樨摴?。由分析可以看出，產(chǎn)生的效果一方面使輪子動能減小，動能轉(zhuǎn)換為熱能，另一方面，也使?jié)L動動能和平動動能之間相互轉(zhuǎn)換。無論何種情況，總是在調(diào)整滾動速度和平動速度，使它們向轉(zhuǎn)變。關(guān)于滑動摩擦力方向和功的分析會在后面對實例的分析中得以運用。物體滾動時的摩擦自鎖現(xiàn)象同滑動摩擦一樣，滾動摩擦也存在摩擦自鎖現(xiàn)象。下面以圓柱體為模型，來分析討論一下滾動摩擦自鎖的條件。圖4-1圓柱體在斜面上做純滾動時，受到靜摩擦力和滾動摩阻力矩的共同作用。如圖所示。與質(zhì)心速度相反，使得圓柱體質(zhì)心的速度減小。但是對質(zhì)心的力矩確與轉(zhuǎn)動的角速度方向相同，它應(yīng)該增大

14、圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度。產(chǎn)生的力矩。由前面原理知，分布再圓柱體與斜面接觸初的約束反力不通過質(zhì)心，而是向運動前方偏移。于是對質(zhì)心產(chǎn)生的力矩與轉(zhuǎn)動角速度的方向相反，會減小圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度。這個力矩就是滾動摩阻力矩。其大小由表示。為滾動摩阻系數(shù)。則，圓柱體在斜面上做純滾動的動力學(xué)方程若在一定條件下，圓柱體在斜面上，既不向下滑動，也不向下滾動，此時，。這就是滾動摩擦中的摩擦自鎖現(xiàn)象，下面來討論摩擦自鎖的條件。自鎖時，為靜摩擦力，又。為靜摩擦系數(shù)。發(fā)生摩擦自鎖時結(jié)合前式可得由于，即滾動摩阻系數(shù)遠遠小于滑動摩擦系數(shù)，故圓柱體會先發(fā)生滾動，這也是我們平常推輪子而滾動的原因。這樣，上面兩式可化為一式，即這就是滾

15、動摩擦自鎖發(fā)生的條件。與滑動摩擦自鎖類似的是，滾動摩擦自鎖與否與滾動體質(zhì)量以及約束力大小無關(guān)，而只與、有關(guān)。滾動摩擦的最大摩擦角。由于往往比較小，所以滾動摩擦角也很小。與滑動摩擦相比，發(fā)生滾動摩擦自鎖現(xiàn)象的最大摩擦角小于發(fā)生滑動摩擦自鎖時的最大摩擦角。特別是在滾動體及斜面剛性較強時，其摩擦角就更小，自鎖現(xiàn)象也就不明顯。但在現(xiàn)實生活中，我們根據(jù)滾動摩擦的自鎖條件，通過減小斜面傾角或圓拄體的剛性，在滾動體下側(cè)加墊物體等措施，增大滾動摩阻系數(shù)，增大滾動摩擦自鎖的最大摩擦角，實現(xiàn)滾動摩擦自鎖，達到使?jié)L動體在斜面上靜止的目的。滾動摩擦自鎖在現(xiàn)實生活中也有較多的應(yīng)用。在斜面上停車，還有雜技中獅子滾繡球中都

16、有用到。特別是在車輪前方墊物塊防止車滑下在現(xiàn)實生活中更是常用。下面我們將以網(wǎng)球受力和車輪滾動兩個模型為例，應(yīng)用滾動摩阻的基本理論，分析一下滾動摩阻在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽?yīng)用。滾動摩阻實例分析考慮滾動摩阻的網(wǎng)球受力分析打網(wǎng)球時，拍擊打球的過程也涉及到滾動摩擦力。圖5-1如圖5-1，2，3所示為拍擊球的全過程示意。來球的速度為，旋轉(zhuǎn)角速度為，人揮拍的速度為。取球拍為參考系，根據(jù)復(fù)合運動合成關(guān)系，在此參考系中來球的速度為，設(shè)回球速度為，則。圖5-2圖5-3分析一般的來球和揮拍動作，一種是在球落地后高速彈起時擊球，一種是在球從高處落下時擊球。另外，網(wǎng)球和人揮動球拍的速度關(guān)系也有很多種，為了分析簡潔，我們建

17、立如下的坐標系，軸在球拍平面上，軸垂直于球拍平面。將球和拍的相對運動分為兩大類。如下圖，根據(jù)經(jīng)驗，可設(shè)來球角速度方向均為圖所示情況，但網(wǎng)球相對于拍的速度方向有兩種。將分為水平和垂直兩個分量。如下圖5-4，5-5所示。圖5-6圖5-5圖5-4建立模型。網(wǎng)球為一空心球。若不考慮滾動摩阻，則拍對球垂直方向的碰撞沖量改變的方向和速度；二者之間水平方向的滑動摩擦力改變，從而將球擊出?？紤]滾動摩擦。事實上，雖然網(wǎng)球拍的線被上得很緊，但在與球碰撞時會產(chǎn)生形變，由此建立拍面的線的模型。網(wǎng)球與拍面接觸情況如圖5-6。網(wǎng)球拍線發(fā)生形變，這樣，拍對球的作用力如圖所示。為由形變產(chǎn)生的分布力軸分力，其到球質(zhì)心距離為，包

18、括線對球的滑動摩擦力及分布力在軸向的分力。則對于網(wǎng)球，提供了一個相當于滾動摩阻作用的力矩。引入滾動摩阻主要是為了討論網(wǎng)球的角速度問題。列描述此運動狀態(tài)的幾個方程。設(shè)網(wǎng)球和球拍質(zhì)量分別為和，網(wǎng)球為空心球，其轉(zhuǎn)動慣量由動量矩定理設(shè)常量，使其中為球絕對速度，為拍絕對速度。由動量定理作定性分析，使用純滾動條件下方程，實際運動并不一定在純滾動狀態(tài)。，對此式求導(dǎo)，得聯(lián)立以上三式，很顯然可以得到與相比，應(yīng)該是一個很小的量，所以系數(shù)很小。在研究和對球質(zhì)心力矩的影響時，我們小組中最初有兩種意見，一種認為很小，所以力矩的作用與相比會很小，另一種意見則相反，因為很大。由簡化條件得出的上式說明，力矩應(yīng)該比大，既滾動摩

19、阻的影響不能忽略。由以上準備，我們簡要分析引入滾動摩阻后的拍擊網(wǎng)球問題。1、圖5-7如圖5-7，由剛體運動速度公式，此時球與拍線接觸點的速度方向指向軸正向，則由形變產(chǎn)生的和滑動摩擦力方向均指向軸負方向。合力矩使減小。很小，但由于值很大，滑動摩擦力并不小，它使很快減小，某時刻球的速度和角速度會滿足純滾動條件，接下來，滑動摩擦將變向，轉(zhuǎn)而增大，并且與共同提供正力矩，使角速度反向并增大。這符合實際的情況，擊球后，回球角速度一般都與初角速度反向。寫論文時，我們還特意作了簡單的實驗驗證。2、圖5-8如圖5-8，此情況下，摩擦力一開始就提供使小球加速的正向加速度，和提供使角速度變向的正力矩。關(guān)于和的大小問

20、題不便討論，但易知，拍線發(fā)生較大的形變時間很短，碰撞作用后，隨網(wǎng)球方向速度的減小至反向，和的大小將明顯減小，此后給網(wǎng)球提供加速度和產(chǎn)生角加速度的力矩的便主要是滑動摩擦力了，回到了一般忽略滾動摩阻的分析。3、初方向為負圖5-9此時的受力情況如圖5-9所示。由速度和角速度方向關(guān)系可知，接觸點速度指向X軸負方向，所以滑動摩擦力和均為正向。和共同為網(wǎng)球提供力矩。以上的分析模型以及情況分類十分簡化，主要是為了引入滾動摩擦的概念。實際上，網(wǎng)球方向上速度變化影響了拍和球的作用時間，需要根據(jù)碰撞理論進行分析。人揮拍不同階段有不同動作，也會影響網(wǎng)球的受力。滾動摩阻實例分析車輪的滾動摩阻分析單輪模型首先我們建立如

21、右圖所示的模型，一般情況下，輪子在地面上滾動，地面的形變相對較小，而輪子的形變是產(chǎn)生股動摩阻的主要原因，滾動摩阻只考慮的作用。圖中，是靜摩擦力，是作用在軸上的主動力。（為了討論方便，下列模型均不討論空氣阻力）圖6-1輪子只有一個自由度，取的水平位移x為廣義坐標，由動量矩定理，以接觸點(瞬心)為轉(zhuǎn)動中心，有其中是輪對瞬心的轉(zhuǎn)動慣量。根據(jù)動量定理，有補充運動學(xué)方程圖6-2這種輪子，假如加在馬車的架構(gòu)上，就是馬車輪子的力學(xué)模型。然后我們建立另外一種受力情況下輪子的模型。人或者發(fā)動機，在軸上產(chǎn)生一個主動力矩作用，其他條件如圖所示。同樣取為廣義坐標，于是，對質(zhì)心其中是輪對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量補充運動學(xué)方程這種

22、力學(xué)模型是在對獨輪自行車車輪受力分析下得到的。對它進行討論，可以得到以下的結(jié)論：1、輪子作勻速運動時，所以靜摩擦力。輪子在地面上運動由主動力矩提供牽引力。而且=0，所以，即牽引力等于滾動摩擦力。換句話說，牽引力克服滾動摩阻，使輪子能勻速運動。2、輪子作加速運動時，靜摩擦力且提供輪子的加速度。設(shè)為輪子動能，則其中是發(fā)動機的輸出功率。同時，這也再一次說明了靜摩擦力不做功。3、輪子作加速運動時，其余討論類似于2雙輪模型將上面兩種輪子加在一起，中間夾以連接裝置，就成了單驅(qū)動輪的車輛模型。如下圖下面以后輪驅(qū)動為例。發(fā)動機對軸作用一個大小為的力矩。車體通過連接結(jié)構(gòu)給后輪軸產(chǎn)生力、，對前輪產(chǎn)生力、。依然以軸的位移為廣義坐標，輪的質(zhì)量為。圖6-3對前輪列力學(xué)方程：對于后輪列力學(xué)方程：汽車正常行駛時，輪子是無滑滾動，則可以補充運動學(xué)方程對于車體聯(lián)立10、12、15可以得到系統(tǒng)動能為給動能對時間求導(dǎo)：若輪子又滑又滾，為輪子與地面之間的滑動摩擦力，并假設(shè)兩個輪子的角速度均為。則不能補充那兩個運動學(xué)方程，最終結(jié)果為既是輪子與