1、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)入門篇之入門篇之用數(shù)學(xué)語言說話用數(shù)學(xué)語言說話主講教師主講教師 高全勝教授高全勝教授1.1.用數(shù)學(xué)說話的重要性用數(shù)學(xué)說話的重要性v 1.1.學(xué)生的問題學(xué)生的問題v 數(shù)學(xué)語言并沒有內(nèi)化到自己的語言系統(tǒng)中。數(shù)學(xué)語言并沒有內(nèi)化到自己的語言系統(tǒng)中。v 不會對問題進行閱讀、理解、轉(zhuǎn)換和編碼。不會對問題進行閱讀、理解、轉(zhuǎn)換和編碼。v 應(yīng)更加重視應(yīng)更加重視“理解理解”和和“轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換”。v 這就是美國數(shù)學(xué)教師全國委員會將這就是美國數(shù)學(xué)教師全國委員會將“學(xué)會數(shù)學(xué)地交流學(xué)會數(shù)學(xué)地交流”列為學(xué)校數(shù)學(xué)列為學(xué)校數(shù)學(xué)教育教育5 類基本目標(biāo)之一的重要原因。類基本目標(biāo)之一的重要原因。v 例子：過曲面上某

2、點的所有曲線的切線共面。例子：過曲面上某點的所有曲線的切線共面。本節(jié)素材來自本節(jié)素材來自數(shù)學(xué)教育學(xué)報數(shù)學(xué)教育學(xué)報，版權(quán)歸，版權(quán)歸數(shù)學(xué)教育學(xué)報數(shù)學(xué)教育學(xué)報所有所有1.2.1.2.用數(shù)學(xué)語言說話的好處用數(shù)學(xué)語言說話的好處v 通過用數(shù)學(xué)語言說話可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)感覺。通過用數(shù)學(xué)語言說話可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)感覺。v 前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)教育家維林金在前蘇聯(lián)的數(shù)學(xué)教育家維林金在中小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代基礎(chǔ)中小學(xué)數(shù)學(xué)的現(xiàn)代基礎(chǔ)中認(rèn)為數(shù)學(xué)中認(rèn)為數(shù)學(xué)語言具有消除煩瑣性、清除多值性和擴展表達的可能性的作用。這只語言具有消除煩瑣性、清除多值性和擴展表達的可能性的作用。這只是從數(shù)學(xué)語言的功能的角度而言的。是從數(shù)學(xué)語言的功能的角度而言的。v 在更

3、高層次上，數(shù)學(xué)語言是一種要被數(shù)學(xué)共同體所公認(rèn)并共同遵守的在更高層次上，數(shù)學(xué)語言是一種要被數(shù)學(xué)共同體所公認(rèn)并共同遵守的規(guī)范形式，因此在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺上具有特別的意義。規(guī)范形式，因此在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)感覺上具有特別的意義。v 數(shù)學(xué)感覺是以數(shù)學(xué)符號為主要詞匯，以數(shù)學(xué)公理、定理、公式等為語數(shù)學(xué)感覺是以數(shù)學(xué)符號為主要詞匯，以數(shù)學(xué)公理、定理、公式等為語法規(guī)則構(gòu)成的感覺。法規(guī)則構(gòu)成的感覺。v 通過數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界，對數(shù)學(xué)思想、理論、知識等進行表述、加通過數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界，對數(shù)學(xué)思想、理論、知識等進行表述、加工、交流、記錄時，就會逐漸形成數(shù)學(xué)感覺。工、交流、記錄時，就會逐漸形成數(shù)學(xué)感覺。 v “數(shù)學(xué)語言

4、數(shù)學(xué)語言”包括兩個不同范疇的概念，狹義的概念是指包括兩個不同范疇的概念，狹義的概念是指“數(shù)學(xué)所使數(shù)學(xué)所使用的語言用的語言”，廣義的概念是指，廣義的概念是指“數(shù)學(xué)就是一種人們進行交流的語言數(shù)學(xué)就是一種人們進行交流的語言”，因此學(xué)生通過用數(shù)學(xué)語言進行交流，就會形成數(shù)學(xué)感覺。，因此學(xué)生通過用數(shù)學(xué)語言進行交流，就會形成數(shù)學(xué)感覺。v 例子：例子：ax+byax+by的三種解釋。（行話）的三種解釋。（行話）v 通過用數(shù)學(xué)語言說話還可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)感情。通過用數(shù)學(xué)語言說話還可以培養(yǎng)數(shù)學(xué)感情。v 數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)感情的形成中具有重要作用，數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)感情的形成中具有重要作用，數(shù)學(xué)知識和思想的表征、交流、

5、傳播甚至構(gòu)造，都離不開數(shù)學(xué)語言。思想的表征、交流、傳播甚至構(gòu)造，都離不開數(shù)學(xué)語言。v 數(shù)學(xué)語言是溝通思維和實在的中介，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也包數(shù)學(xué)語言是溝通思維和實在的中介，數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也包含著數(shù)學(xué)語言的生成發(fā)展過程，數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)的演進本含著數(shù)學(xué)語言的生成發(fā)展過程，數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)的演進本身同步進行。身同步進行。v 數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)的重要知識單元，它的各個組成要素，諸數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)的重要知識單元，它的各個組成要素，諸如術(shù)語、符號、概念、文本等，共同構(gòu)成了完整的知識結(jié)如術(shù)語、符號、概念、文本等，共同構(gòu)成了完整的知識結(jié)構(gòu)，塑造了數(shù)學(xué)的知識框架，既是數(shù)學(xué)理論的表述載體，構(gòu)，塑造了數(shù)學(xué)的知識框架，既是數(shù)學(xué)理

6、論的表述載體，也是保證數(shù)學(xué)思想進行無障礙交流的必備條件。也是保證數(shù)學(xué)思想進行無障礙交流的必備條件。v 通過不斷的交流，在逐漸強化數(shù)學(xué)感覺的基礎(chǔ)上會形成對通過不斷的交流，在逐漸強化數(shù)學(xué)感覺的基礎(chǔ)上會形成對數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的“感情感情”，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣。，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和學(xué)習(xí)興趣。v 對于對于9.49.4元給元給1010元的認(rèn)識。元的認(rèn)識。1.3.1.3.用數(shù)學(xué)語言說話的訓(xùn)練結(jié)構(gòu)用數(shù)學(xué)語言說話的訓(xùn)練結(jié)構(gòu)v1 建立符號基本單位系統(tǒng)：語素建立符號基本單位系統(tǒng)：語素v2 直接解碼單詞和詞組直接解碼單詞和詞組v3 閱讀與翻譯句子和句群閱讀與翻譯句子和句群v4 用數(shù)學(xué)語言解構(gòu)段落用數(shù)學(xué)語言解構(gòu)段

7、落v5 整合與數(shù)學(xué)化篇章情景整合與數(shù)學(xué)化篇章情景2.2.建立符號基本單位系統(tǒng)：語素建立符號基本單位系統(tǒng)：語素v 進行數(shù)學(xué)語言的交流與表達，如同任何一種語言一樣，必須具有構(gòu)成進行數(shù)學(xué)語言的交流與表達，如同任何一種語言一樣，必須具有構(gòu)成語言系統(tǒng)的基本單位，類似于英語中的字母或漢字中的語素，是最小語言系統(tǒng)的基本單位，類似于英語中的字母或漢字中的語素，是最小的語音語義結(jié)合體。的語音語義結(jié)合體。v 在數(shù)學(xué)語言中基本的語素包括的范圍更加廣泛，例如點、線、面也是在數(shù)學(xué)語言中基本的語素包括的范圍更加廣泛，例如點、線、面也是基本的語素內(nèi)容。通過這些基本單位再來進行組合形成內(nèi)涵豐富的單基本的語素內(nèi)容。通過這些基本

8、單位再來進行組合形成內(nèi)涵豐富的單詞和詞組。詞和詞組。v 數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)中的基本形式有：文字語言、符號語言、圖形語言。數(shù)學(xué)語言在數(shù)學(xué)中的基本形式有：文字語言、符號語言、圖形語言。 2.1.2.1.文字語言文字語言 v 是表達數(shù)學(xué)內(nèi)容最基本的語言形式，是數(shù)學(xué)概念、符號關(guān)是表達數(shù)學(xué)內(nèi)容最基本的語言形式，是數(shù)學(xué)概念、符號關(guān)系與自然語言的有機融合。系與自然語言的有機融合。v 文字語言的基本形式為：數(shù)學(xué)概詞，即表示數(shù)學(xué)概念的語文字語言的基本形式為：數(shù)學(xué)概詞，即表示數(shù)學(xué)概念的語言基本單位；數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)詞，即將數(shù)學(xué)概詞進行組合。言基本單位；數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)詞，即將數(shù)學(xué)概詞進行組合。v 具體來說，文字語言系統(tǒng)包括最基本的數(shù)

9、學(xué)概念，例如自具體來說，文字語言系統(tǒng)包括最基本的數(shù)學(xué)概念，例如自然數(shù)、負(fù)數(shù)、實數(shù)、概率、正態(tài)分布等。然數(shù)、負(fù)數(shù)、實數(shù)、概率、正態(tài)分布等。 2.2.2.2.符號語言符號語言 v 是數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)的推理過程等做出表述的一是數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)關(guān)系、數(shù)學(xué)的推理過程等做出表述的一種語言形式，它具有形式化、公理化、模式化的特征。種語言形式，它具有形式化、公理化、模式化的特征。 v 符號系統(tǒng)一般可分為：符號系統(tǒng)一般可分為：v 象形符號（如符號象形符號（如符號、 等）、等）、v 縮寫符號（如縮寫符號（如f表示函數(shù)，表示函數(shù)，ln 表示對數(shù)，表示對數(shù)，sin表示正弦等）表示正弦等）v

10、約定符號（如用約定符號（如用 表示增量，表示求和）。表示增量，表示求和）。v 這些符號有的是通用的固定符號，如阿拉伯?dāng)?shù)字、運算符號、數(shù)的標(biāo)這些符號有的是通用的固定符號，如阿拉伯?dāng)?shù)字、運算符號、數(shù)的標(biāo)識、輔助運算符號、關(guān)系符號、邏輯符號、圖形符號、集合號、組合識、輔助運算符號、關(guān)系符號、邏輯符號、圖形符號、集合號、組合號、函數(shù)號、重要常數(shù)等，不同分支的特殊約定符號。號、函數(shù)號、重要常數(shù)等，不同分支的特殊約定符號。v 有一些是臨時約定的符號，非通用符號每次都要有相關(guān)說明，這樣便有一些是臨時約定的符號，非通用符號每次都要有相關(guān)說明，這樣便于針對特定數(shù)學(xué)問題創(chuàng)造性的構(gòu)造和應(yīng)用符號系統(tǒng)。于針對特定數(shù)學(xué)問

11、題創(chuàng)造性的構(gòu)造和應(yīng)用符號系統(tǒng)。 2.3.2.3.圖形語言圖形語言 v是用直觀圖形對數(shù)學(xué)對象以及性質(zhì)做出一種刻畫是用直觀圖形對數(shù)學(xué)對象以及性質(zhì)做出一種刻畫的語言形式，它包括幾何圖形、函數(shù)圖像及其他的語言形式，它包括幾何圖形、函數(shù)圖像及其他圖形語言（示意圖、表格等）。圖形語言（示意圖、表格等）。v圖形語言在數(shù)學(xué)上具有非常重要的地位，它的直圖形語言在數(shù)學(xué)上具有非常重要的地位，它的直觀性可以彌補符號語言的抽象性，便于人們對數(shù)觀性可以彌補符號語言的抽象性，便于人們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解和認(rèn)識。學(xué)內(nèi)容的理解和認(rèn)識。v一篇好的數(shù)學(xué)建模文章，從數(shù)學(xué)語言上看，這幾一篇好的數(shù)學(xué)建模文章，從數(shù)學(xué)語言上看，這幾種語言都要有

12、。種語言都要有。2.4.2.4.數(shù)學(xué)語言的擴展數(shù)學(xué)語言的擴展v 數(shù)學(xué)語言中的語素發(fā)展隨著學(xué)生不斷的學(xué)習(xí)而不斷擴展并數(shù)學(xué)語言中的語素發(fā)展隨著學(xué)生不斷的學(xué)習(xí)而不斷擴展并不斷抽象。不斷抽象。v 在幼兒園階段基本的語素單元包括生動直觀的圖像和圖表在幼兒園階段基本的語素單元包括生動直觀的圖像和圖表，以加減乘除為代表的語素則是進入小學(xué)階段的標(biāo)志。，以加減乘除為代表的語素則是進入小學(xué)階段的標(biāo)志。v 在中學(xué)階段，方程、函數(shù)、平面和立體幾何中的線和面等在中學(xué)階段，方程、函數(shù)、平面和立體幾何中的線和面等語素成為學(xué)生學(xué)習(xí)的主題，這標(biāo)志著由常量數(shù)學(xué)上升到變語素成為學(xué)生學(xué)習(xí)的主題，這標(biāo)志著由常量數(shù)學(xué)上升到變量數(shù)學(xué)的水平

13、。量數(shù)學(xué)的水平。v 進入大學(xué)，基本的語素被擴展為極限、導(dǎo)數(shù)、積分、向量進入大學(xué)，基本的語素被擴展為極限、導(dǎo)數(shù)、積分、向量、矩陣、概率等，并向抽象和多維擴展。以后的發(fā)展則是、矩陣、概率等，并向抽象和多維擴展。以后的發(fā)展則是專業(yè)化語素的出現(xiàn)，最高層次就是對新的語素符號的創(chuàng)造專業(yè)化語素的出現(xiàn)，最高層次就是對新的語素符號的創(chuàng)造。 2.5.2.5.學(xué)生出現(xiàn)的主要問題學(xué)生出現(xiàn)的主要問題v 由于數(shù)學(xué)語言的基本單位系統(tǒng)的建立直接關(guān)系到數(shù)學(xué)語言由于數(shù)學(xué)語言的基本單位系統(tǒng)的建立直接關(guān)系到數(shù)學(xué)語言的表達，沒有這些基本的語言單位系統(tǒng)，就會出現(xiàn)數(shù)學(xué)問的表達，沒有這些基本的語言單位系統(tǒng)，就會出現(xiàn)數(shù)學(xué)問題不能被表達出來，或

14、者表達有錯誤，表達不全面，表達題不能被表達出來，或者表達有錯誤，表達不全面，表達不清楚，不能用不同的語言形式來表達同一個數(shù)學(xué)信息。不清楚，不能用不同的語言形式來表達同一個數(shù)學(xué)信息。v 這是一個長期積累的過程，需要多次反復(fù)呈現(xiàn)才能夠完全這是一個長期積累的過程，需要多次反復(fù)呈現(xiàn)才能夠完全被掌握，對數(shù)學(xué)語言基本單位的掌握可以評價學(xué)生對某一被掌握，對數(shù)學(xué)語言基本單位的掌握可以評價學(xué)生對某一數(shù)學(xué)知識的理解程度。數(shù)學(xué)知識的理解程度。v 另外的問題是學(xué)生在不同表達形式的數(shù)學(xué)語言之間，或在另外的問題是學(xué)生在不同表達形式的數(shù)學(xué)語言之間，或在同一表達形式的數(shù)學(xué)語言的內(nèi)部進行轉(zhuǎn)換時產(chǎn)生了困難。同一表達形式的數(shù)學(xué)語言

15、的內(nèi)部進行轉(zhuǎn)換時產(chǎn)生了困難。 3.3.直接解碼單詞和詞組直接解碼單詞和詞組v 詞是代表一定的意義、由語素或語素組構(gòu)成可以獨立運用的最小的語詞是代表一定的意義、由語素或語素組構(gòu)成可以獨立運用的最小的語言單位。詞所表達的概念一般是單純的固定的，其內(nèi)部的語義組合關(guān)言單位。詞所表達的概念一般是單純的固定的，其內(nèi)部的語義組合關(guān)系往往是融合性的。語素不是語言的系往往是融合性的。語素不是語言的“獨立運用獨立運用”單位，它不能充當(dāng)單位，它不能充當(dāng)句子結(jié)構(gòu)中的成分。而詞則可以作為句子的結(jié)構(gòu)要素，是最小的獨立句子結(jié)構(gòu)中的成分。而詞則可以作為句子的結(jié)構(gòu)要素，是最小的獨立運用的充當(dāng)句子成分的結(jié)構(gòu)要素。（極限是語素，極

16、限的和是詞組了運用的充當(dāng)句子成分的結(jié)構(gòu)要素。（極限是語素，極限的和是詞組了。）。）v 只有對單詞和詞組進行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，才是真正掌握數(shù)學(xué)語言的第只有對單詞和詞組進行數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，才是真正掌握數(shù)學(xué)語言的第一步。否則，當(dāng)基本的語言單位體系完全建立后，學(xué)生仍然不能夠用一步。否則，當(dāng)基本的語言單位體系完全建立后，學(xué)生仍然不能夠用數(shù)學(xué)語言靈活地表達實際問題。數(shù)學(xué)語言靈活地表達實際問題。v 最基礎(chǔ)的練習(xí)方法是學(xué)會對單詞和詞組的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換時，最基礎(chǔ)的練習(xí)方法是學(xué)會對單詞和詞組的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，在轉(zhuǎn)換時，必須做的是將日常生活單詞給換一個說法。必須做的是將日常生活單詞給換一個說法。案例案例1 1：極

17、限的定義問題：極限的定義問題 v 極限是初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生難于理解不易掌握的一個重要概念，而數(shù)極限是初學(xué)高等數(shù)學(xué)的學(xué)生難于理解不易掌握的一個重要概念，而數(shù)列極限概念在極限理論中起著關(guān)鍵的作用。列極限概念在極限理論中起著關(guān)鍵的作用。v 劉徽的割圓術(shù)，首先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作圓的內(nèi)接正十二邊形劉徽的割圓術(shù)，首先作圓的內(nèi)接正六邊形，再作圓的內(nèi)接正十二邊形、內(nèi)接正二十四邊形等等，當(dāng)邊數(shù)無限增大時、內(nèi)接正二十四邊形等等，當(dāng)邊數(shù)無限增大時, 這一串圓的內(nèi)接正多這一串圓的內(nèi)接正多邊形就無限接近該圓周，這個圓的內(nèi)接正多邊形的周長無限地趨近于邊形就無限接近該圓周，這個圓的內(nèi)接正多邊形的周長無限地趨近于一個常

18、數(shù)，這個常數(shù)就是該圓的周長。把一串周長看成一列數(shù)。一個常數(shù)，這個常數(shù)就是該圓的周長。把一串周長看成一列數(shù)。國籍姓名比賽成績（秒）日期(按時間排序)比賽地點當(dāng)時年齡牙買加博爾特9.582009年8月17日德國柏林23牙買加博爾特9.692008年8月16日中國北京22牙買加博爾特9.722008年6月1日美國紐約22牙買加鮑威爾9.742007年9月9日意大利雷蒂25牙買加鮑威爾9.772005年6月14日希臘雅典23美國蒙哥馬利9.782002年9月14日法國巴黎26美國格林9.791999年6月16日希臘雅典25加拿大貝利9.841996年7月27日美國亞特蘭大29美國伯勒爾9.851994

19、年6月7日瑞士洛桑25美國劉易斯9.861991年8月25日日本東京30美國伯勒爾9.901991年6月14日美國紐約22美國劉易斯9.921988年9月24日韓國漢城27美國史密斯9.931983年7月3日科羅拉多22美國海因斯9.951968年10月14日墨西哥首都22德國哈里10.01960年6月21日瑞士蘇黎世美國威廉姆斯10.11956年8月3日德國柏林美國歐文斯10.201936年6月20日德國柏林加拿大威廉斯10.301930年8月9日多倫多美國帕多克10.401921年4月23日美國利平科特10.61912年7月6日美國伯克11.81896年通俗定義通俗定義v給出一列數(shù)，隨著這

20、列數(shù)的個數(shù)的無限增給出一列數(shù)，隨著這列數(shù)的個數(shù)的無限增加，這一列數(shù)會慢慢靠近一個固定的數(shù)，加，這一列數(shù)會慢慢靠近一個固定的數(shù)，這個固定的數(shù)就是這一列數(shù)的極限這個固定的數(shù)就是這一列數(shù)的極限STEP 1：原始單詞解碼STEP 2STEP 2：派生單詞解碼：派生單詞解碼極限歷史極限歷史v 明確地將極限作為微積分基本概念的是法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾明確地將極限作為微積分基本概念的是法國數(shù)學(xué)家達朗貝爾( D Alembert ，1717 1783):一個變量趨于一個固定量一個變量趨于一個固定量,趨于程度小于任趨于程度小于任何給定量何給定量,且變量永遠達不到固定量。但他沒有把它公式化且變量永遠達不到固定量。但他

21、沒有把它公式化, 他的極限概念仍他的極限概念仍是描述性的、通俗的。但是他所定義的極限已初步擺脫了幾何、力學(xué)的直觀是描述性的、通俗的。但是他所定義的極限已初步擺脫了幾何、力學(xué)的直觀原型。因此原型。因此,達朗貝爾的極限概念被看作是現(xiàn)代嚴(yán)格極限理論的先導(dǎo)。達朗貝爾的極限概念被看作是現(xiàn)代嚴(yán)格極限理論的先導(dǎo)。v 嚴(yán)格的極限理論是由法國數(shù)學(xué)家柯西（嚴(yán)格的極限理論是由法國數(shù)學(xué)家柯西（1789 1857)初建初建,由德國數(shù)學(xué)家由德國數(shù)學(xué)家外爾斯特拉斯完成的。外爾斯特拉斯完成的。 v 1821年年,柯西在柯西在教程教程中寫道中寫道: “當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨一個定值當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨一個定值,最

22、終使變量的值和該定值之差要多小有多小最終使變量的值和該定值之差要多小有多小,這個定值叫做所有其它值的極這個定值叫做所有其它值的極限。限。 ”柯西使極限概念明確的成為算術(shù)的柯西使極限概念明確的成為算術(shù)的,而擺脫了長期以來的幾何說明。而擺脫了長期以來的幾何說明。v 他提出了極限理論的他提出了極限理論的 -方法，把整個極限用不等式來刻畫方法，把整個極限用不等式來刻畫,引入引入“ l im”來來表示極限表示極限,并且用希臘字母并且用希臘字母 表示任意小的差。表示任意小的差。v 以極限的算術(shù)定義為基礎(chǔ)以極限的算術(shù)定義為基礎(chǔ),柯西給出了無窮小柯西給出了無窮小,無窮大定義無窮大定義: “當(dāng)一個變量的數(shù)當(dāng)一個

23、變量的數(shù)值這樣地?zé)o限減小值這樣地?zé)o限減小,使之收斂到極限零使之收斂到極限零,那么這個變量就叫做無窮小那么這個變量就叫做無窮小;當(dāng)變的數(shù)當(dāng)變的數(shù)值這樣地?zé)o限的增大值這樣地?zé)o限的增大,使該變量收斂到極限使該變量收斂到極限,那么該變量就成為無窮大。那么該變量就成為無窮大。 ”v 在在 1851 1854年期間年期間,外爾斯特拉斯對柯西的外爾斯特拉斯對柯西的 - 方法進行了改造。外方法進行了改造。外爾斯特拉斯反對爾斯特拉斯反對“一個變量趨于一個極限一個變量趨于一個極限”的說法的說法,因為這種說法使人們想起因為這種說法使人們想起了時間和運動。他把一個變量簡單的解釋成一個字母了時間和運動。他把一個變量簡單

24、的解釋成一個字母,該字母代表它可以取值該字母代表它可以取值的集合中的任何一個數(shù)的集合中的任何一個數(shù),這樣運動就消除了。一個連續(xù)變量是這樣一個變量這樣運動就消除了。一個連續(xù)變量是這樣一個變量,若若 x0是該變量的集合中的任一值而是該變量的集合中的任一值而 是任意正數(shù)是任意正數(shù),則一定有變量的其它值在則一定有變量的其它值在區(qū)間區(qū)間(x0 - , x0 + )中。中。STEP 3STEP 3：綜合單詞解碼：綜合單詞解碼v 綜合前面的描述（許多時候需要多次反復(fù)，逐步深入），可以得到極綜合前面的描述（許多時候需要多次反復(fù)，逐步深入），可以得到極限的精確定義：限的精確定義：v 對數(shù)學(xué)語言進行操作所出現(xiàn)的困

25、難一方面是在實際生活單詞及其數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)語言進行操作所出現(xiàn)的困難一方面是在實際生活單詞及其數(shù)學(xué)術(shù)語之間不能建立有效的聯(lián)系，例如看到術(shù)語之間不能建立有效的聯(lián)系，例如看到“近近”后不知道可以用后不知道可以用“距距離離”表示。有時候?qū)W生表現(xiàn)出的困難是在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，學(xué)表示。有時候?qū)W生表現(xiàn)出的困難是在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，學(xué)生很難構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表示所研究的數(shù)學(xué)術(shù)語。例如，同樣生很難構(gòu)造出適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言來表示所研究的數(shù)學(xué)術(shù)語。例如，同樣是是“距離距離”，在直線上和在平面上的距離在表達形式上是有所區(qū)別的，在直線上和在平面上的距離在表達形式上是有所區(qū)別的，在解釋問題時僅僅需要符號，在解釋問題時

26、僅僅需要符號“d”就可以了，但在運算時，則可能就可以了，但在運算時，則可能需要符號需要符號 。 4. 閱讀與翻譯句子和句群v 由由“詞詞”到到“句子句子”有三種途徑：有三種途徑：(1)詞組成詞組，詞組再帶語調(diào)轉(zhuǎn)化成句詞組成詞組，詞組再帶語調(diào)轉(zhuǎn)化成句子；子； (2)詞帶語調(diào)轉(zhuǎn)化成句子；詞帶語調(diào)轉(zhuǎn)化成句子； (3) 詞直接組合成句子。在數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)詞直接組合成句子。在數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)化過程中，主要是詞或詞組直接組合成句子的過程?；^程中，主要是詞或詞組直接組合成句子的過程。v 詞匯是構(gòu)成語句的最小意義單元，對語句的理解是以正確理解單個詞匯意義詞匯是構(gòu)成語句的最小意義單元，對語句的理解是以正確理解單個詞

27、匯意義為前提的。但掌握了詞義信息并不能保證能夠正確理解語言，因為句子中的為前提的。但掌握了詞義信息并不能保證能夠正確理解語言，因為句子中的詞匯都是按照一定的句法關(guān)系組織起來的，只有在正確理解這些句法關(guān)系的詞匯都是按照一定的句法關(guān)系組織起來的，只有在正確理解這些句法關(guān)系的前提下，才能把不同的詞語意義連貫起來組成完整的語義概念。前提下，才能把不同的詞語意義連貫起來組成完整的語義概念。v 在具體的對句子進行翻譯的過程中，常常使用的手段有：在具體的對句子進行翻譯的過程中，常常使用的手段有：v (1)順序譯法，如果漢語句子的邏輯順序與數(shù)學(xué)表達習(xí)慣大致相同，就可以順序譯法，如果漢語句子的邏輯順序與數(shù)學(xué)表達

28、習(xí)慣大致相同，就可以按照原句的順序譯出來；按照原句的順序譯出來；v (2)倒敘譯法，數(shù)學(xué)語言和漢語是兩種有各自特點的語言，它們在行文習(xí)慣倒敘譯法，數(shù)學(xué)語言和漢語是兩種有各自特點的語言，它們在行文習(xí)慣和表達方式等方面必然存在許多差異。有時數(shù)學(xué)語言和漢語的敘述層次相反和表達方式等方面必然存在許多差異。有時數(shù)學(xué)語言和漢語的敘述層次相反，需要在理解的基礎(chǔ)上，改變原句的順序；，需要在理解的基礎(chǔ)上，改變原句的順序；v (3)拆譯法，有時根據(jù)邏輯的需要，可以將原有的漢語句子拆譯為兩個或兩拆譯法，有時根據(jù)邏輯的需要，可以將原有的漢語句子拆譯為兩個或兩個以上的句子，而有時則需要用連接成分將原有的兩句話連成一句。

29、個以上的句子，而有時則需要用連接成分將原有的兩句話連成一句。案例案例2 2：無窮小的和還是無窮小問題：無窮小的和還是無窮小問題 STEP 1STEP 1：尋找語素，符號表示：尋找語素，符號表示STEP 2STEP 2：尋找新語素，簡化表示：尋找新語素，簡化表示STEP 3STEP 3：單詞解碼，逐步表示：單詞解碼，逐步表示 STEP 4STEP 4：形成句群，綜合表示：形成句群，綜合表示v 只要將上述表示進行綜合就可以得到句群的表示。只要將上述表示進行綜合就可以得到句群的表示。v 注意到這里的分析方法和證明的順序是完全顛倒的，如果按照教材的注意到這里的分析方法和證明的順序是完全顛倒的，如果按照

30、教材的順序講授就忽視了證明問題的本質(zhì)過程，另外這里的證明只要將問題順序講授就忽視了證明問題的本質(zhì)過程，另外這里的證明只要將問題用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言進行描述就可以完全找到證明的關(guān)鍵點。用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語言進行描述就可以完全找到證明的關(guān)鍵點。v 在數(shù)學(xué)題設(shè)條件中，字母符號所呈現(xiàn)的各種特征，可以暗示著解題思在數(shù)學(xué)題設(shè)條件中，字母符號所呈現(xiàn)的各種特征，可以暗示著解題思路。路。v 特別地，在題設(shè)條件里地位相同的未知量暗示著它們在解答中的地位特別地，在題設(shè)條件里地位相同的未知量暗示著它們在解答中的地位也相同。根據(jù)這個原理在很多時候能使我們預(yù)測到問題的解，或者發(fā)也相同。根據(jù)這個原理在很多時候能使我們預(yù)測到問題的解，

31、或者發(fā)現(xiàn)解題途徑。現(xiàn)解題途徑。學(xué)生出現(xiàn)的問題學(xué)生出現(xiàn)的問題v 在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，用數(shù)學(xué)語言對句子進行識別過程中的問題主要在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，用數(shù)學(xué)語言對句子進行識別過程中的問題主要是學(xué)生不能識別數(shù)學(xué)語言的是學(xué)生不能識別數(shù)學(xué)語言的基本屬性及其暗示的信息基本屬性及其暗示的信息，包括不能識別，包括不能識別數(shù)學(xué)語言的基本屬性及其所表示的數(shù)學(xué)對象以及不能識別符號語言的數(shù)學(xué)語言的基本屬性及其所表示的數(shù)學(xué)對象以及不能識別符號語言的暗示功能。暗示功能。v 用數(shù)學(xué)語言理解句子中的問題包括學(xué)生在理解數(shù)學(xué)詞語、數(shù)學(xué)命題等用數(shù)學(xué)語言理解句子中的問題包括學(xué)生在理解數(shù)學(xué)詞語、數(shù)學(xué)命題等數(shù)學(xué)語言信息時產(chǎn)生了困難，從而不能

32、完全理解數(shù)學(xué)語言并把握它們數(shù)學(xué)語言信息時產(chǎn)生了困難，從而不能完全理解數(shù)學(xué)語言并把握它們之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。v 例如本案例中，出現(xiàn)了多個例如本案例中，出現(xiàn)了多個“無窮小無窮小”的概念，學(xué)生往往都把他們看的概念，學(xué)生往往都把他們看成是處于一個地位，不加以區(qū)別，在識別和理解上都會出現(xiàn)困難。另成是處于一個地位，不加以區(qū)別，在識別和理解上都會出現(xiàn)困難。另外的困難是學(xué)生在運用數(shù)學(xué)的符號語言進行推理、運算的過程中出現(xiàn)外的困難是學(xué)生在運用數(shù)學(xué)的符號語言進行推理、運算的過程中出現(xiàn)錯誤。錯誤。 5.5.用數(shù)學(xué)語言解構(gòu)段落用數(shù)學(xué)語言解構(gòu)段落v 正如段落是由一組語義相關(guān)的句子構(gòu)成一樣正如段落是由一組語義相關(guān)的句子

33、構(gòu)成一樣, 篇章是由一篇章是由一組相互關(guān)聯(lián)的段落構(gòu)成的組相互關(guān)聯(lián)的段落構(gòu)成的, 段落是篇章組織的基本構(gòu)成單段落是篇章組織的基本構(gòu)成單位。段落作為介于語篇與句子之間的語篇單位，段落有表位。段落作為介于語篇與句子之間的語篇單位，段落有表示始末的句法標(biāo)記，示始末的句法標(biāo)記，v 作為文章基本單位的段落作為文章基本單位的段落,它是由一組相互關(guān)聯(lián)的、能表它是由一組相互關(guān)聯(lián)的、能表達同一個中心思想的句子包括主題句、支持句及結(jié)論句構(gòu)達同一個中心思想的句子包括主題句、支持句及結(jié)論句構(gòu)成。成。v 段落語言的數(shù)學(xué)表達練習(xí)中，因為有上下文的幫助，所以段落語言的數(shù)學(xué)表達練習(xí)中，因為有上下文的幫助，所以采用迂回表達方式一

34、般都能準(zhǔn)確或比較準(zhǔn)確地表達出作者采用迂回表達方式一般都能準(zhǔn)確或比較準(zhǔn)確地表達出作者的意圖。在完全理解段落的意圖后，對段落用數(shù)學(xué)語言進的意圖。在完全理解段落的意圖后，對段落用數(shù)學(xué)語言進行結(jié)構(gòu)的主要手段是發(fā)現(xiàn)主題句中的關(guān)鍵詞，對主題句的行結(jié)構(gòu)的主要手段是發(fā)現(xiàn)主題句中的關(guān)鍵詞，對主題句的限定語句，以及支持句中的關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)表達。限定語句，以及支持句中的關(guān)鍵詞的數(shù)學(xué)表達。 案例3：馬步問題 v馬在國際象棋棋盤中的某個位置，按照馬步規(guī)則馬在國際象棋棋盤中的某個位置，按照馬步規(guī)則，移動馬并讓馬訪問所有的格子，每個格子每次，移動馬并讓馬訪問所有的格子，每個格子每次訪問且僅僅訪問一次，請問能否走？如何走？訪問

35、且僅僅訪問一次，請問能否走？如何走？v說明：我們不關(guān)注如何解決這個問題，而是關(guān)注說明：我們不關(guān)注如何解決這個問題，而是關(guān)注如何將問題數(shù)學(xué)化。如何將問題數(shù)學(xué)化。 STEP 1STEP 1：段落分解，尋找關(guān)鍵詞：段落分解，尋找關(guān)鍵詞v本問題中主題句、限定語句和支持句的劃分不很本問題中主題句、限定語句和支持句的劃分不很明確，幾乎每一句都需要進行解構(gòu)。明確，幾乎每一句都需要進行解構(gòu)。v通過對段落中的句子進行解構(gòu)，首先要注意幾個通過對段落中的句子進行解構(gòu)，首先要注意幾個主要關(guān)鍵詞：棋盤，位置，馬步規(guī)則，訪問，所主要關(guān)鍵詞：棋盤，位置，馬步規(guī)則，訪問，所有。有。STEP 2STEP 2：語素對應(yīng)，解碼關(guān)鍵

36、詞：語素對應(yīng)，解碼關(guān)鍵詞STEP 3STEP 3：單詞連接，回到段落：單詞連接，回到段落學(xué)生遇到的問題學(xué)生遇到的問題v 在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生出現(xiàn)的主要問題首先是不能正在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生出現(xiàn)的主要問題首先是不能正確理解數(shù)學(xué)詞語，這仍然屬于前面的問題。確理解數(shù)學(xué)詞語，這仍然屬于前面的問題。v 其次，由于文本內(nèi)容長度增加，一方面學(xué)生難以理解各個其次，由于文本內(nèi)容長度增加，一方面學(xué)生難以理解各個數(shù)學(xué)語言信息塊，另一方面學(xué)生也更加難以正確理解數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語言信息塊，另一方面學(xué)生也更加難以正確理解數(shù)學(xué)語言信息塊之間的關(guān)系。語言信息塊之間的關(guān)系。v 學(xué)生在數(shù)學(xué)語言的理解過程中，應(yīng)該重視體現(xiàn)自己的已有學(xué)

37、生在數(shù)學(xué)語言的理解過程中，應(yīng)該重視體現(xiàn)自己的已有知識對語言理解的程度，缺乏有關(guān)的信息，或者未能激活知識對語言理解的程度，缺乏有關(guān)的信息，或者未能激活記憶中的相關(guān)信息，就會導(dǎo)致數(shù)學(xué)語言理解障礙。最后就記憶中的相關(guān)信息，就會導(dǎo)致數(shù)學(xué)語言理解障礙。最后就是有的題目，思路有了，因語言遲鈍，就是寫不清、道不是有的題目，思路有了，因語言遲鈍，就是寫不清、道不明。明。6. 6. 整合與數(shù)學(xué)化篇章情景整合與數(shù)學(xué)化篇章情景v 當(dāng)讀者加工一篇文章時，首先是對篇章文字表層的解碼，獲得表層結(jié)當(dāng)讀者加工一篇文章時，首先是對篇章文字表層的解碼，獲得表層結(jié)構(gòu)，然后將這些表層結(jié)構(gòu)解釋為一連串基本命題，這些命題按照語義構(gòu)，然后

38、將這些表層結(jié)構(gòu)解釋為一連串基本命題，這些命題按照語義關(guān)系被組織起來。關(guān)系被組織起來。v 篇章的這種語義結(jié)構(gòu)包括兩種水平：一是微結(jié)構(gòu)水平，一是宏結(jié)構(gòu)水篇章的這種語義結(jié)構(gòu)包括兩種水平：一是微結(jié)構(gòu)水平，一是宏結(jié)構(gòu)水平。微觀結(jié)構(gòu)又稱課文基面，是篇章的局部水平，即一個個命題以及平。微觀結(jié)構(gòu)又稱課文基面，是篇章的局部水平，即一個個命題以及它們間關(guān)系的結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)是一個更為全局、整體性的結(jié)構(gòu)。篇章它們間關(guān)系的結(jié)構(gòu)，宏觀結(jié)構(gòu)是一個更為全局、整體性的結(jié)構(gòu)。篇章理解是一個從微觀結(jié)構(gòu)到宏觀結(jié)構(gòu)不斷循環(huán)往復(fù)的過程。理解是一個從微觀結(jié)構(gòu)到宏觀結(jié)構(gòu)不斷循環(huán)往復(fù)的過程。v 讀者在加工篇章中特定的命題以形成宏觀結(jié)構(gòu)的過程中

39、，需要對某些讀者在加工篇章中特定的命題以形成宏觀結(jié)構(gòu)的過程中，需要對某些命題運用一定的規(guī)則，譬如刪除、概括和構(gòu)造等。通過一系列這樣的命題運用一定的規(guī)則，譬如刪除、概括和構(gòu)造等。通過一系列這樣的宏規(guī)則，能夠濃縮、抽象篇章基面的細節(jié)、要點，以產(chǎn)生篇章的主題宏規(guī)則，能夠濃縮、抽象篇章基面的細節(jié)、要點，以產(chǎn)生篇章的主題意思，即宏觀結(jié)構(gòu)意思，即宏觀結(jié)構(gòu) 案例案例4 4（人口預(yù)測問題）（人口預(yù)測問題） v中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國中國是一個人口大國，人口問題始終是制約我國發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。近年來中國的人口發(fā)展出發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。近年來中國的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加

40、速、出現(xiàn)了一些新的特點，例如，老齡化進程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著中國人口的增長。因素，這些都影響著中國人口的增長。試從中國試從中國的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)的實際情況和人口增長的上述特點出發(fā)，建立中，建立中國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長國人口增長的數(shù)學(xué)模型，并由此對中國人口增長的中短期和長期趨勢做出預(yù)測（的中短期和長期趨勢做出預(yù)測（2007年全國大年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題）。題）。 STEP 1STEP 1：情景分析，設(shè)定模型：情景分析，設(shè)定模型v 首先需要從語篇中首先

41、獲得表層結(jié)構(gòu)，即對語篇文字表層首先需要從語篇中首先獲得表層結(jié)構(gòu)，即對語篇文字表層的解碼。的解碼。v 本問題是一個對我國人口數(shù)量進行中短期和長期預(yù)測問題本問題是一個對我國人口數(shù)量進行中短期和長期預(yù)測問題。對人口數(shù)量進行預(yù)測目前有許多比較成熟的方法，但根。對人口數(shù)量進行預(yù)測目前有許多比較成熟的方法，但根據(jù)我國目前人口狀況的新的特點和形勢，所選擇的預(yù)測模據(jù)我國目前人口狀況的新的特點和形勢，所選擇的預(yù)測模型必須要考慮到我國老齡化程度的加快、人口性別比例失型必須要考慮到我國老齡化程度的加快、人口性別比例失調(diào)和城鎮(zhèn)化加劇的實際。調(diào)和城鎮(zhèn)化加劇的實際。v 人口系統(tǒng)是一個典型的社會動態(tài)系統(tǒng)，因此人口預(yù)測應(yīng)是人

42、口系統(tǒng)是一個典型的社會動態(tài)系統(tǒng)，因此人口預(yù)測應(yīng)是一項實時性研究，需要根據(jù)人口生育水平和死亡水平的最一項實時性研究，需要根據(jù)人口生育水平和死亡水平的最新變化特點，不斷跟蹤分析人口發(fā)展態(tài)勢。新變化特點，不斷跟蹤分析人口發(fā)展態(tài)勢。v 為了清晰地了解生育率、死亡率及遷移率等因素對人口系為了清晰地了解生育率、死亡率及遷移率等因素對人口系統(tǒng)的影響，在此利用帶有統(tǒng)的影響，在此利用帶有Leslie 矩陣的狀態(tài)空間簡化模矩陣的狀態(tài)空間簡化模型來研究人口系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)。型來研究人口系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)。v我們選擇利用矩陣方法進行人口數(shù)量預(yù)測的動態(tài)我們選擇利用矩陣方法進行人口數(shù)量預(yù)測的動態(tài)模型，該模型比較全面地考慮了上述

43、問題。模型，該模型比較全面地考慮了上述問題。v使用的主要參數(shù)包括：各年齡段的嬰兒出生比例使用的主要參數(shù)包括：各年齡段的嬰兒出生比例，可用來研究我國目前人口比例逐漸不合理問題，可用來研究我國目前人口比例逐漸不合理問題，人口死亡率和存活率指標(biāo)可以用來研究老齡化，人口死亡率和存活率指標(biāo)可以用來研究老齡化進程加快的影響，遷移人口指標(biāo)可以用來刻畫城進程加快的影響，遷移人口指標(biāo)可以用來刻畫城鎮(zhèn)化加劇的影響。鎮(zhèn)化加劇的影響。STEP 2STEP 2：篇章分解，表示模型：篇章分解，表示模型v 然后將這些表層結(jié)構(gòu)解釋為一系列基本命題，命題按照語義關(guān)系組織然后將這些表層結(jié)構(gòu)解釋為一系列基本命題，命題按照語義關(guān)系組

44、織在一起，形成一個連貫的語義表征。為此先要用一些符號表示關(guān)鍵詞在一起，形成一個連貫的語義表征。為此先要用一些符號表示關(guān)鍵詞，將關(guān)鍵詞連接為句子，包括一些隱含的限制條件。，將關(guān)鍵詞連接為句子，包括一些隱含的限制條件。v 則有下面的人口變動條件：則有下面的人口變動條件：v （1）t+1年年0歲人口總數(shù)歲人口總數(shù)=（1嬰兒死亡率）嬰兒死亡率）*（t時時刻各年齡段性別比例、刻各年齡段性別比例、t時刻各年齡段的婦女生育率和時刻各年齡段的婦女生育率和t時時刻各年齡段人口總數(shù)的乘積之和）凈遷移人數(shù)；刻各年齡段人口總數(shù)的乘積之和）凈遷移人數(shù)；v （2）t+1時刻時刻i+1歲的人口總數(shù)歲的人口總數(shù)=（1- i歲

45、人口死亡率歲人口死亡率）*t時刻人數(shù)時刻人數(shù)+t時刻時刻i歲凈遷移人數(shù)；歲凈遷移人數(shù)；v 將上述條件符號化，得到：將上述條件符號化，得到：STEP 3STEP 3：歸納整理，形成模型：歸納整理，形成模型v最后是通過宏觀規(guī)則建立語篇的整體意義結(jié)構(gòu)，最后是通過宏觀規(guī)則建立語篇的整體意義結(jié)構(gòu)，它呈現(xiàn)語篇的整體聯(lián)系。整合階段的主要務(wù)是產(chǎn)它呈現(xiàn)語篇的整體聯(lián)系。整合階段的主要務(wù)是產(chǎn)生新的激活向量，使得文章網(wǎng)絡(luò)中與問題要求有生新的激活向量，使得文章網(wǎng)絡(luò)中與問題要求有關(guān)的重要信息有較高的激活性，無關(guān)信息失去活關(guān)的重要信息有較高的激活性，無關(guān)信息失去活，從而突出表征中的有用節(jié)點，剔除無用信息，從而突出表征中的有

46、用節(jié)點，剔除無用信息，形成一個高度整合的篇章表征。形成一個高度整合的篇章表征。v但進行實際計算時，由于數(shù)據(jù)資料的限制，上述但進行實際計算時，由于數(shù)據(jù)資料的限制，上述數(shù)據(jù)不可能全部得到，為此需要進行數(shù)據(jù)的補充數(shù)據(jù)不可能全部得到，為此需要進行數(shù)據(jù)的補充。寫成矩陣的形式為：。寫成矩陣的形式為： 學(xué)生出現(xiàn)的困難學(xué)生出現(xiàn)的困難v 在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生出現(xiàn)的困難主要是在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生出現(xiàn)的困難主要是數(shù)學(xué)語言組織困難數(shù)學(xué)語言組織困難，它，它是指學(xué)生在接收數(shù)學(xué)語言信息時不能有效地進行篩選、整合、貯存等是指學(xué)生在接收數(shù)學(xué)語言信息時不能有效地進行篩選、整合、貯存等加工過程。加工過程。v 數(shù)學(xué)語言組織困

47、難包括三個層次，數(shù)學(xué)語言組織困難包括三個層次，v 第一個層次是由于語篇的巨大長度，學(xué)生難以在短時間內(nèi)把握語篇的第一個層次是由于語篇的巨大長度，學(xué)生難以在短時間內(nèi)把握語篇的要點，不能明確解決問題的思路，得出解決問題的方法。要點，不能明確解決問題的思路，得出解決問題的方法。v 第二個層次是不能篩選出有關(guān)數(shù)學(xué)語言特征的信息，審題發(fā)生困難，第二個層次是不能篩選出有關(guān)數(shù)學(xué)語言特征的信息，審題發(fā)生困難，理解出現(xiàn)偏差，例如本案例中所選擇的預(yù)測模型必須要考慮到我國老理解出現(xiàn)偏差，例如本案例中所選擇的預(yù)測模型必須要考慮到我國老齡化程度的加快、人口性別比例失調(diào)和城鎮(zhèn)化加劇的實際。齡化程度的加快、人口性別比例失調(diào)和城鎮(zhèn)化加劇的實際。v 第三個層次是不能分析出數(shù)學(xué)語言之間的聯(lián)系，列出關(guān)系式，不能歸第三個層次是不能分析出數(shù)學(xué)語言之間的聯(lián)系，列出關(guān)系式，不能歸納出各個數(shù)學(xué)公式間的關(guān)系，不能再現(xiàn)概念的定義、公式和定理的證納出各個數(shù)學(xué)公式間的關(guān)系，不能再現(xiàn)概念的定義、公式和定理的證