1、第18講不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內(nèi)容結(jié)合.高考解答題中，常滲透不等式 證明的內(nèi)容，純不等式的證明，歷來(lái)是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，本難點(diǎn)著重培養(yǎng)考生數(shù)學(xué)式 的變形能力，邏輯思維能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.難點(diǎn)磁場(chǎng)()已知 a>0, b>0,且 a+b=l.1?5求證：(°)(b)$ .ab4案例探究例1證明不等式1+ -丄+丄+ + l < 2石(/?$1)v2 y/3 am命題意圖：本題是一道考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學(xué)生觀察能力、 構(gòu)造能力以及邏輯分析能力，屬級(jí)題h.知識(shí)依托：木題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首

2、先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及 不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等.錯(cuò)解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯(cuò)誤：1 h亠 + 丄 < -p. + -p. + ht7-=兀 v. 2 4n.y/3jri -/n v/t4'h刼這樣只注重形式的統(tǒng)一，而忽略人小關(guān)系的錯(cuò)誤也是經(jīng)常發(fā)牛的.技巧少方法：本題證法一釆用數(shù)學(xué)歸納法從川=£到心+1的過(guò)渡釆用了放縮法；證法 二先放縮，后裂項(xiàng)，冇的放矢，直達(dá)冃標(biāo)；而證法三運(yùn)川函數(shù)思想，借助單調(diào)性，獨(dú)具匠心, 發(fā)人深省.證法一：(1)當(dāng)川等于1時(shí)，不等式左端等于1,右端等于2,所以不等式成立；假設(shè)心心21)時(shí)，不等式成立，即1 +1+7t<2a/

3、t,則1 + a + + +亠< x/2 v3 vtfi2仮+1vf+t2jk(£ + l) +1 < k + 伙十 1) +1vm vm當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.綜合(1)、(2)得：為wn時(shí)，都右1 +了亍+ 了亍 f另從k到r+1時(shí)的證明還冇下列證法：-<2 y/lt .*.* 2( k +1) 1 2k(k +1) k 2 jk 伙 +1) + 伙 +1) =(vt-vm)2 >o,/. 2 jr 伙 +1) +1 < 2伙 + 1),vvt+t>o,.-. ijk<2a/t+1.乂如i:2vtm-2vt = 2vt + = <

4、; 2jr + l. vt+i證法二：対任意都有:1 2 24k4k+4k vr+vrn= 2(vt-vd),因此 1 h-7= h1= + -7= <v2 a/37/72 + 2(2 1) + 2(v v) + + 2(vt y/n ) = 2yh.證法三:設(shè)血)=2麗- (11 1 m+那么對(duì)任意run *都冇:f(k + 1)-/伙)=2(>/ 低)一刁亙以+ 1=2伙 +1)-2jk伙 +1) -1=-伙+ 1)-2於伙+ 1)+切二止7-皿 >o vtmvtm/伙+1)>張)因此，對(duì)任意«en*都有和)>血一1)>>/(1)=1&g

5、t;(),1111c廠. 1 f= h；= + f= < 2-v n.v2 v3am例2求使vx +77 wa jx + y (q0, y>0血成立的a的最小值.命題意圖：木題考杏不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力，屬于 級(jí)題目.知識(shí)依托:該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題冃，所求q的最值蘊(yùn)含丁恒成立的不等式中, 因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把。呈現(xiàn)出來(lái)，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再 利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯(cuò)解分析：木題解法三利用三角換元示確定。的取值范i韋i,此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與 cos 、sin &來(lái)對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元,即令 yx =cos

6、 0 , jy =sin (0< < ),這樣也得 6/sin2+cos，但是這種換元是錯(cuò)誤的.英原因是：(1)縮小了 x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本 題又增加了 “x、)=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)的.技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)。 滿足不等關(guān)系，cl2f(x),貝'j «min=a)max；若。今»，貝0 «max=iz()min»利用這一基本事實(shí)，可 以較輕松地解決這一類不等式屮所含參數(shù)的值域問(wèn)題.還有三介換元法求最值用的恰當(dāng)好 處，可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化.解法一：由于d的值為疋

7、數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2 jxy w a2(x-y),即 2 jxy w (/ 1)(兀+y), x, y>0, .xy2yxy , 當(dāng)且僅當(dāng)ey時(shí)，屮有等號(hào)成立.比較、得q的最小值滿足1=1,./=2, a=42 （因«>0）, :.a的最小值是血.解法二:設(shè)分世聲+77）2jx+y v 兀+ytx>0, y>0, .x+y2yxy （當(dāng) x=y 時(shí)“二"成立）,逅w1,巫的最大值是1. x + yx + y從而可知，u的最大值為jl +1 =血,乂由已知，得au, .*.a的最小值為忑.解法三：了>0,.原不等式可化為

8、63;+10 石二，設(shè)=tan 0,0 e (0,).y2tan +1 wd jtan? & +1 :即 tan + 1 wasec &.dmsin +cos 0=y5 sin( +),4乂 vsin( 0+蘭)的最大值為1(此時(shí)二三).44由式可知a的最小值為v2 .錦囊妙計(jì)1 不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的 方法.(1) 比較法證不等式有作差倆)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配 方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述；如果作差以示的式了可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則 考慮用判別式法證.(2) 綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ?/p>

9、執(zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提， 充分運(yùn)用這-辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)擴(kuò)視野.2. 不等式證明還有一些常川的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式 法、數(shù)形結(jié)合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法吋，要注意代換 的等價(jià)性.放縮性是不等式證明中最璽要的變形方法z-,放縮要冇的放欠，冃標(biāo)可以從要 證的結(jié)論屮考杏.有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法.凡是含有“至少” “惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時(shí)，耍依據(jù)題設(shè)、題h的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，耍熟悉各 種證法中的推理思維，并學(xué)握相應(yīng)的步驟、技巧和語(yǔ)言

10、特點(diǎn).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、填空題.()已知x、)，是正變數(shù)，0、b是正常數(shù)，且= x+y的最小值為?.( )設(shè)正數(shù) a、b、c、d 滿足 a+d=b+c,且a-d<bc,則 ad 與 be 的大小關(guān) 系是.3. (*)若 fn<n, p<q,且則加、“、p、q 的 人小順序是.二、解答題()已知 a, b, c 為正實(shí)數(shù),a+b+c=l.求證：(1 )a2+b2+c2-3(2) j3a + 2 + j3b + 2 + j3c + 2 w65. ()知 x, yt zwr,且 x+y+z=l, xy2+z=-,證明：x, y, 0,彳6. (*)iie明下列不等式：若x, yf z

11、wr, a, b, cer 則-x2 +-y2?2(a>+zx)abc(2)若 x, y, zwr*, il x+v+z=x>*z, 則込+ 土+岀$2(丄+丄+丄) 兀yzx y z7. 伙*知已知i,加、川是正整數(shù)，且 <i：m<n.(1) ile 明:ka： sa：；(2) 證明：(1+?)">(i+n)”&( )若 a>0, b>0, /+滬=2,求證：a+bw2, abwl參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)證法一：(分析綜合法)欲證原式，即證4(”)2+4(/+旳一25"+4鼻0,即證4(必)233(必)+820,即證丄或4 cib

12、28.va>0, b>0, a+b=l, :.ab8 不可能成立 =a+b22 后,:abw丄，從而得證.4證法二：(均值代換法)mx1,1ix a= t 9 b込2 2 -va+z?=l, a>0, b>0, art +t2=o, kii< , lr2l< 2 2(1、"1、亍 + 1 滬+ 1.(a + -)(/? + -) =x aba b1 9 1 9 1 7 1 2(+ “) +1 (+ r2)+1 (才 +(1+/1 +1)(玄 + /2+(2 +1) =x -i= j:2+ r! 2 + t2 2+ 2+ ?2c + f + 1)(1

13、 + 匚 + f + 1) c + f)2 f/-44_±425 3 2 . 4 二丘 + / +s1 t 2225 >h=25 "144顯然當(dāng)且僅當(dāng)i即予時(shí),等號(hào)成立.證法三：（比較法）/a+b= 1, a>0, b>0, c.a+b2yab ,:abw 425* + i 滬 + i 254局2+33"+ 8(1 - 4")(8 - ab)、八=> 0(a + )(/? + )-a b 4 a b 4 (g + )(/? + ) a b 4證法四：(綜合法)4ab4abva+b=l, d>0, b>0, j.a+b2

14、yab , :.abw 4,cc(l-)2+l> i a9'/i a ab>= => (1 ab)2 > =>44161、”>4 ab即（記）叫）浮證法五：（三角代換法）一(1-謝+1、25=>nab4t a>oj b>0, a+b= ,故令 a=sin2(j, b二cos? a , a g(0,)2(a + )(b + ) = (sin2 a + -)(cos2 a + a bsin asin4 a + cos4 a - 2sin2 6rcos2 a+ 2(4 sin，a)? + 164sin2 2a/ sin2 26/ <

15、 1,. 4 - sin2 2z > 4 - 1 = 3.4-2sin226z+16>25_j_>1sin2 2a 4ii75即得(6/+-)(/7 + -)>ab44sin2 2a(4-sin2 26if)2,>-4sin" 2a 4殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：令一=cos? ， =sin2 0,則 x=asec2 0, y=bcsc2 0, .x+v=«sec2 +/?csc2二d+b+dtai? 0 +bcop 0 a-b+2 vci tan2 0 - z?cot2 g = a + b + 2ab .答案：a+b+2 yab2. 解析：山

16、0 w ladl < lbcl o (ad)2 v (bcf o (a+b)24ad< (b+c)24bca+d=b+c, 4ad < 4bc,故 ad>bc.答案：ad>be3. 解析：把p、q看成變量，則m<p<nf m<q<n.答案：m<p<q<n二、4.(1)證法一:«2+z?2+c2 = (3a2+3b2+3c2l)=3/+3/,+3。2(°+b+c)23= 3«2+3/?2+3c2 a2b2c22ab2ac2bc 3=(q 防+少一c)?+(c d)2 20 .*.2+/?2+c2

17、 3 3證法二:*.* (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ah+2ac-2bc w a2+b2+c2+a2+h2+a2+c2+b2+c23(a2+b2+c2) 2 (a+b+c)2= 1/. a2+b2+c2 2 2>9 1 "+/t+c 仝 3證法四：設(shè) a=-+ a , b=- + b, c=-+ y.3 339a+b+c= 9 / a + 0+ k=0荷+h±+汀+(§+"+(§+')= -+ ( q+ /)+a +0 + f33w氣證法-:+ 2 = j(3a + 2)x 1 < 3 七；+, 同理j3b + 2

18、 <竺三,73c+ 2 <仝空2 23a + 2 + j3b + 2 + j3c + 2 < 3(" + u + 9 = 62原不等式成立.證法二j3g + 2 + q3b + 2 + y/3c + 2 < (3g + 2) + (3b + 2) + (3c + 2)3 v33(° +b + c) + 6如 + 2 + j3b + 2 + j3c + 2 w 3遲 <6原不等式成立5.證法一：由 x+y+z=l, x2+y2+z2 =丄，得 x2+>f2+( 1 xy)2=丄，整理成關(guān)于 y 的一元二2 2次方程得:2)/2( 1 x)y

19、+2x22x+ =0, tr,故 / 2()77-1i ' ' 22同理可得)，瀉0,-1 9q4(1兀尸一4x2(2?_n+ )20,得 0wa:w , axe 0,-2 33證法二： 設(shè)x= +xr , 尸丄+)33于是-=(-+x, )2+(-+yz+(丄+z )2233 -3=+xz 2+yr31 ，=+x +y3z=+zr，則 x +)+z' =0,證法三：設(shè)32+zf 2+ (x1 +yr +zr )? r 1/ 2 (+/) 213 f 2_+ =- + -xz32321177 .* w , xe 0,同理y, 0,3333x、八乙三數(shù)中若有負(fù)數(shù)，不妨設(shè)x

20、<0,則x2>0,丄=x2+y2+z' >2agw=(1z< + x2 = 3x2_%+1>1> 矛盾.2 2 2 2三數(shù)中若有最大者大于2,不妨設(shè)x> - f則丄=?+y2+? m332+呼=a(1z< = 3?_x+12 2 2=-|x(x矛盾.2 3222故兀、y、zg 0,3z口口 b + c 2 c + d 22“、6.(1)證明:x2 +y2 +z -2(xy+ yz + zx)2bcz b 2 d 2 r 、彳 c 2 b 2 r 、2 c 2 r 、=(y 2xy) + ( y hz 2yz) + (z x 2zx) a

21、bb cc ab + c 2 c + a a +、x +y +l > 2(xy + >7 + zx)abc(2)證明：所證不等式等介丁(+ )> 2( + yz + zxyx y z0 xyz yz(y + z) + zx(z + x) + xy(x + y) > 2(xy + yz + zx) o(x + y + z)(y2z +膚 +次 +十 +兀勺+妒)> 2(x2y2 + y2z2 + z2x2) + 4(x2 yz + xy2z + xyz2 )o y3z + yz3 + z3x + zx3 x3y + xy3 >2x2yz + 2xy2z2xyz

22、2o yz(y-z)2 -zx(z-x)2 + xy(x-y)2 +x2(y-z)2 + y2(z-x)2 + z2(x-y)2 >0 上式顯然成立，.原不等式得證.7.證明：對(duì)于且a；” -m伽一z+l),a： _ m m i = iim m m竺土同理絲mnl nn 1由于m<n,對(duì)于整數(shù)k=l, 2,，li,有一> ,n ma y a z所以牛3,即沖a： > na”n m(2)|l|項(xiàng)式定理有：(l+7n)"=l+c加+c： w2+ +c mnf(1+m"二 1+c lm n+c : /+c ； nm, a' a/由知/a/a；>

23、;"a； (lvwm),而 c；” = fhc；二一fiiii/.>n/c/m( 1 <m < w),77°c =/7()c = h mc , =nc n =m n, w2c >n2c , ，賦"c：嚴(yán)c；：, mn,+lc 0,，亦c；0,即(1 +m)w> (1 +n)w 成立.&證法一：因 a>0, b>0, a3+b3=2f 所以(a+b)323=a'+b3+3a8 8所以對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)d、b,有亡竺2(凹)32 2因?yàn)?«>0, b>0, /+戾=2,所以 1=/+慶2 2上也 w1,即a+bw2,(以下略) 證法五：假設(shè)a+b>2,貝ij a3+b3=(a-