1、精品文檔第一章：10從 0,1,2,9 等10 個(gè)數(shù)字中，任意選出不同的三個(gè)數(shù)字，試求下列事件的概率：a1三個(gè)數(shù)字中不含0 和 5， a2含 5 .三個(gè)數(shù)字中不含0 或 5， a3三個(gè)數(shù)字中含0 但不3c13解 p(a )c87 .1015c3c3c314p( a )998，或2c3c3c315101010c114p( a )1p( a )18，c1522310c72c30.8p( a3 )31016設(shè)事件a 與 b 互不相容，p(a)0.4,p(b)0.3 ，求p( ab ) 與p( ab)解 p( ab )1p( ab)1p( a)p( b)0.3因?yàn)?a, b 不相容，所以ab ，于是p

2、( ab)p( a)0.620設(shè)p( a)0.7,p( ab)0.3,p( ba)0.2 ，求p( ab ) 與 p( ab ) .解 0.3p( ab)所以p( a)p( ab)0.7p( ab) ，p( ab )0.4 ，故p( ab )0.6 ；0.2p(b)p( ab)p(b)0.4 .所以p( b)0.6 p( ab )1p( ab)1p( a)p( b)p( ab)0.122設(shè) abc ，試證明p( a)p(b)p(c)1證因?yàn)?abc ，所以p(c)p( ab )p( a)p( b)p( ab)p( a)p(b)1故p( a)p( b)p(c)1 .證畢 .1119設(shè)a, b,

3、c 是三個(gè)事件，且p(a)p(b)p(c), 4p(ab)p(bc)0 ，p( ac )，8求 a, b, c 至少有一個(gè)發(fā)生的概率。解 p( abc)p(a)p(b)p(c)p(ab)p(ac)p( bc)p( abc)因?yàn)?0p( abc )p( ab)0 ，所以p( abc )0 ，于是p( abc )31548822隨機(jī)地取兩個(gè)正數(shù)x 和 y ，這兩個(gè)數(shù)中的每一個(gè)都不超過(guò)1，試求 x 與 y 之和不超過(guò)1，積不小于0.09 的概率 .解 0xy.11, 0y1 ，不等式確定平面域s .a xy1, xy0.09 則 a發(fā)生的充要條件為0xy1, 1xy0.09 不等式確定了s 的子域

4、a，故p( a)a的面積s的面積0.9(1x0.10.9)dx x0.40.18ln30.2第二章4. 從 52 張樸克牌中任意抽取5 張，求在至少有3 張黑桃的條件下，5 張都是黑桃的概率.解設(shè) a至少有3 張黑桃， bi則5 張中恰有 i 張黑桃， i3, 4,5 ，ab3b4b5 ，所求概率為p( ab )p(b )c595p(b| a)5513.p( a)p( bbb )c3 c 2c4 c1c5168634513391339135. 設(shè)p( a)0.5,p( b)0.6,p(b | a)0.8 求 p( ab) 與p(ba) .解 p( ab)p( a)p(b)p( ab)1.1p(

5、a) p( b | a)1.10.40.7p( ba)p( b)p( ab)0.60.40.2 .6. 甲袋中有3 個(gè)白球 2 個(gè)黑球，乙袋中有4 個(gè)白球 4 個(gè)黑球，今從甲袋中任取2 球放入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳∫磺?，求該球是白球的概率。解設(shè) a從乙袋中取出的是白球， bi由全概公式從甲袋中取出的兩球恰有i 個(gè)白球 i0,1,2 .p( a)p( b0 ) p( a | b0 )p(b1 ) p( a | b1 )p(b2 )p(a | b2 )c 24c1c11c 26132323.c 210c 22c 210255557. 一個(gè)盒子中裝有15 個(gè)乒乓球，其中9 個(gè)新球，在第一次比賽時(shí)任意抽

6、取3 只，比賽后仍放回原盒中； 在第二次比賽時(shí)同樣地任取3 只球， 求第二次取出的3 個(gè)球均為新球的概率。解設(shè) a第二次取出的均為新球，bi第一次取出的3 個(gè)球恰有 i 個(gè)新球 i0, 1, 2, 3.由全概公式p( a)p(b0 )p(a | b0 )p( b1 )p( a| b1 )p(b2 ) p( a | b2 )p(b3 )p(a| b3 )c3c3c1c 2c3c 2c1c3c 3c36996896796c 3c3c3c 3c 3c 3c3c 3151515151515151552859150.089 .,17三人獨(dú)立地破譯一個(gè)密碼，他們能譯出的概率分別是111 ，求他們將此密碼譯

7、出的534概率 .解 1 設(shè) a將密碼譯出 ， bi則第 i 個(gè)人譯出 i1,2,3.p( a)p(b1b2b3 )p(b1 )p(b2 )p(b3 )p(b1 b2 )p(b1 b3 )111111111534535434p( b2 b3 )p(b1 b2 b3 )111353450.6 .35一臺(tái)儀器中裝有2000 個(gè)同樣的元件，每個(gè)元件損壞的概率為0.0005 ，如果任一元件損壞，則儀器停止工作，求儀器停止工作的概率.解考察一個(gè)元件，可視為一次貝努里試驗(yàn)，2000 個(gè)元件為2000 重貝努里試驗(yàn)。np用泊松逼近定理，所求概率為1 ，利20002000pp2000 (k )1 e 10.6

8、3216k 1k1 k!第三章9設(shè)隨機(jī)變量x 的概率密度為f ( x)csin x,0x,0,其他.求：（ 1）常數(shù) c ；（ 2）使p( xa)p( xa) 成立的 a .解（ 1） 1f ( x) dxc0sin xdxccosx02c ， c1 ；2（2） p( xa)1 sin xdx1 cos x1 1 cos a ，a 22a22a 11a11p( xa)sin0 2xdx2 cos x 0cosa,22可見(jiàn) cosa0 ，a213設(shè)電子管壽命x 的概率密度為f (x)100 ,xx20,x100,100.若一架收音機(jī)上裝有三個(gè)這種管子，求（1）使用的最初150 小時(shí)內(nèi)，至少有兩個(gè)

9、電了管被燒壞的概率； （ 2）在使用的最初150 小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)y 的分布列；（3） y 的分布函數(shù)。解 y 為在使用的最初150 小時(shí)內(nèi)燒壞的電子管數(shù)，y b (3,p) ，其中pp( x150)150 100 dx1 ，（1） 所求概率為7100x2p(y2)3p(y2)p(y3)23c21213333；27（2） y 的分布列為即01238126127272727yp(yk)k3 kck123， k330,1, 2,3,.p（3） y 的分布函數(shù)為0 ,x0,f( x)8 ,0x12720 ,1x2,2726 ,2x3,271,16設(shè)隨機(jī)變量概率 .x3.x u 2,5，現(xiàn)對(duì) x

10、進(jìn)行 3 次獨(dú)立觀測(cè)，試求至少有兩次觀測(cè)值大于3 的解設(shè) y 為三次觀測(cè)中，觀測(cè)值大于3 的觀測(cè)次數(shù)，則y b(3,p) ，其中pp( x3)所求概率為532 ，523p(y2)p(y2)p(y3)23c32212203332718. 一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為t 的時(shí)間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)n (t) 服從參數(shù)為t 的泊松分布。（ 1）求相繼兩次故障之間時(shí)間間隔t 的概率分布； （ 2）求在設(shè)備已經(jīng)無(wú)故障工作了8 小時(shí)的情況下，再無(wú)故障運(yùn)行8 小時(shí)的概率。解（ 1）設(shè) t 的分布函數(shù)為ft (t) ，則ft (t )p(tt)1p(tt )事件 (tt ) 表示兩次故障的間隔時(shí)間超過(guò)t ，也就是說(shuō)在時(shí)間

11、t 內(nèi)沒(méi)有發(fā)生故障，故n (t )0 ，于是(t )0ft (t)1p(tt)1p(n (t)0)1et10!et ,t0 ，可見(jiàn)， t 的分布函數(shù)為tft (t )1e,t0,0,t0.即 t 服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（2） 所求概率為pt16,t8p(t16)e 168p(t16 |t8)p(t8)p(8)8e.e19. 設(shè)隨機(jī)變量（1） p (101.1x n (108, 3 ) 。 求2x117.6) ；（ 2）常數(shù) a ，使p( xa)0.90 ；（3） 常數(shù) a ，使p(| xa |a)0.01 。解（ 1）p(101.1x117.6108101.1108117.6)()()33(3

12、 2)(2 3)(3 2)(23)10.99930.989310.9886；（2） 0.90p( xa)( a108 ) ，查表知3a10831.28 ，所以 a111.84；（3） 0.01p (| xa |2a108a)1p(| xa |a)1p (0x2a)1(),3所以( 2a108 )0.99 ，3查正態(tài)分布表知2a1082.33 ，3故 a57.495。20. 設(shè)隨機(jī)變量x n (2,2 ) ，且p(2x4)0.3 ，求p( x0) 。解 0.3p(2x4)(42 )(0) ，2所以()0.8 ，p( x0)( 02)()122()0.2 。28設(shè)x u (0,1) ，求（ 1）

13、yex的概率密度； （ 2） y2lnx 的概率密度。解 x 的密度為1,0x1,fx ( x)0,其它.（1）xye 在 (0,1) 上單調(diào)增，反函數(shù)為h( y)lny ，所以 y 的密度為fy ( y)1 ,1yye,（2） y0,2ln1y其他.x 在 (0,1) 上單調(diào)減，反函數(shù)為h( y)ye 2 ，所以 y 的密度為e 2 ,fy ( y)2y0,0,y0.31設(shè)隨機(jī)變量x 的概率密度為f ( x)2x ,20x,0,其它.求 ysin x 的概率密度 .解 1 函數(shù) ysin x 在 (0, 上單調(diào)增，反函數(shù)為2h1 ( y)arcsin y在 (, 2) 上單調(diào)減，反函數(shù)為h2

14、 ( y)arcsin y .y 的概率密度為：fy ( y)f (arcsin y)1f (11y2arcsin y)1y22arcsin y2121y22arcsin y21,01y2y1,0,其他.210y2,0y1,其他.解 2 設(shè) y 的分布函數(shù)為fy ( y) ，則fy ( y)p( xp(yy)p(sin xy)p( xarcsin yxarcsin y)arcsin y)1p( xfx (arcsin y)所以1fx (arcsin y)arcsin y)fy ( y)f (arcsin y)111y2f (arcsin y)1y221y2,0y1,0,第四章其他.5已知隨機(jī)變

15、量x 和 y 的聯(lián)合概率密度為f ( x, y)4xy,0x1, 0y10 ,其它.求 x 和y 的聯(lián)合分布函數(shù).解 1 設(shè) (x ,y ) 的分布函數(shù)為f ( x, y) ，則0 ,xxy0 或 y0,4uvdudv,000x1, 0y1,f( x, y)xyf (u, v) dudvx14uydudy,0x1, y1,001y4xvdxdv,x1, 0y1,0,x001 ,0 或 y0,x1, y1.x2 y2 ,0x1, 0y1,x2 ,0x1, y1,y2,x1,0y1,1 ,x1,y1.解 2 由聯(lián)合密度可見(jiàn)，x ,y 獨(dú)立，邊緣密度分別為fx ( x)2x,0x 1,fy ( y)

16、2y,0y 1,0 ,其他;0 ,其它.邊緣分布函數(shù)分別為fx ( x),fy ( y) ，則0,x0,f(u)dux2 ,0x1,1 ,x1.f(v)dv0,y2 ,y 00,y1,1 ,y1.xf( x)xxyf( y)設(shè) ( x , y) 的分布函數(shù)為f ( x, y) ，則0,x0或y0,x2 y2 ,0x1,0y1f ( x, y)f( x)f( y)x2 ,0x1,y1,y2 ,x1,0y1,1 ,x1,y1.7設(shè) ( x ,y) 的概率密度為yxxyf ( x, y)e y ,0xy,0 ,求邊緣密度和概率解其他.p( xy1)fx (x)0,f ( x, y)dyyx0,0,x

17、0,xedy,xx0;e,x0.fy ( y)0 ,yf (x, y)dxyy0,0 ,yy0,edx,01y0;ye,1 xy0.1p( xy1)1x y 1f (x, y)dxdy2e ydy dx0 x2 (e x0e 1ex )dx12e 2e 1 .8一電子儀器由兩個(gè)部件組成，以x 和y 分別表示兩個(gè)部件的壽命（單位：千小時(shí)） 已知 x ,y 的聯(lián)合分布函數(shù)為：f (x, y)1e 0.5 xe 0.5 ye 0.5( x y) ,x0,y0（1） 問(wèn)0,x ,y 是否獨(dú)立？為什么？其他.（2） 求兩個(gè)部件的壽命都超過(guò)100 小時(shí)的概率 .解（ 1）先求邊緣分布函數(shù)：xf( x)li

18、myf ( x, y)1e 0.5 x,0,1e 0.5 y ,x0,x 0.y 0,fy ( y)limxf ( x, y)0,y0.因?yàn)?f ( x, y)fx ( x)fy ( y) ，所以x ,y 獨(dú)立 .（2） p( x0.1, y0.1)p(x0.1) p(y0.1) 1p(x0.1)1p(y0.1)e 0.05e 0.05e 0.1 .18設(shè) x ,y 相互獨(dú)立，其概率密度分別為fx ( x)1,0x1,fy ( y)e y ,y0,0,其他;0 ,y0.求 xy 的概率密度 .解 1 設(shè) zxy ，由卷積分式，z 的概率密度為fz (z)f x (zy) fy ( y)dyfx

19、 ( zy)fy ( y)e y ,y0,0z y1,0 ,其它.不等式 y0, 0zy1 確定平面域d 如圖 .當(dāng) zz0 時(shí)， f z ( z)0當(dāng) 0z1 時(shí)，zfz ( z)e0y dy1y zze01ey0當(dāng) z1 時(shí)， f( z)e y dyez (e1),zzz 1綜上所述0,z0,fz (z)1e z ,0z1,e z (e1),z1.解 2 變量代換法：fz ( z)f x ( x) fy ( zx)dx ，注意到當(dāng) 0x1 時(shí) f x ( x) =1，有1令 u z xz 1fz (z)f x (x) fy(zx)dxfy 0( zx)dxfyz(u)duzz 1因fy (

20、u)fy (u)du,0 ,u0,ue,u0.所以，當(dāng) z0 時(shí)，fz (z)0 ，當(dāng) 0z1 時(shí)，fz ( z)ze udu01 e z ，當(dāng) z1 時(shí)，fz ( z)ze u duez 1z (e1) .綜上所述0,z0fz (z)1e z ,0z1,e z (e1),z1.解 3 分布函數(shù)法：設(shè)z 的分布函數(shù)為fz ( z) ，則fz ( z)yp(zz)p( xyz)x y zf x (x) f y( y)dxdyx+y=10,當(dāng) z0 時(shí),ze y dyz ydx,當(dāng) 0z1 時(shí),0010z xy1x當(dāng)時(shí),edydx,z1000,x+y=z00,ze z1,0z1,1e ze z e

21、,z1.z 的概率密度為0,z0fz (z)fz ( z)1e z ,0z1,36設(shè) x 關(guān)于 y 的條件概率密度為e z (e1),z1.fx |y (x | y)3x2 /y3 ,0xy,0,其他.而 y 的密度為fy ( y)5 y4 ,0y1,求 p( x0 ,其他.1 )2解 ( x , y) 的概率密度為15 x2 y ,0xy1,f ( x, y)yf x |y (x | y)fy ( y)0 ,其他.p( x1 )1115x2 ydxdy21115x2211/21 x22dxx47x.2164第五章6設(shè)隨機(jī)變量x 分別具有下列概率密度，求其數(shù)學(xué)期望和方差.（4）xf ( x)2

22、,0x,1x1,x2,0,其他.（4） ex1 x2dx2223(2 xx2 )dx1x2x2381 ,01313 13312ex 2x3dx(2 x2x3 )dx12 (81)1 (161)14 ,01所以14143412dx1.12620設(shè)x ,y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為f x (x)2x,0x 1f y ( y)e ( y5) ,y 5,求 e( xy ),解 exd ( xy )1 2 x2dx2 ，030 ,其他;0,y5.ey6（注： 因?yàn)閰?shù)為1 的指數(shù)分布的數(shù)學(xué)期望為1，而fy ( y) 是前指數(shù)分布向右平移了5 個(gè)單位，所以 ey156）因 x ,y 獨(dú)立

23、，所以2exyexey今求 dxy64 .3方法 1 dxyex 2y 2( exy )2ex 2 ey 2161 2x3dx0 dy( ey)2 1615 .222方法 2 利用公式：當(dāng)x , y 獨(dú)立時(shí)dxydxdydx( ey )2dy (ex )211136142.5.1818931 設(shè)x ,y, z 為 三 個(gè) 隨 機(jī) 變 量 ， 且exey1, ez1, dxdydz1 ，0,1 ,1，若 wxyz 求 ew ,dw .xyxzyz22解 ewe( xyz )exeyez1dwd( xyz)dxdydz2cov(x,y)2cov(x,z )2cov(y,

24、z)32112113.2239設(shè) ( x ,y)為二維正態(tài)變量ex1, ey0,dx4, dy9 ， cov( x ,y)3 ，求( x ,y) 的概率密度 .解 ( x , y) 的相關(guān)系數(shù)為3162，所以 ( x ,y ) 的密度為f ( x, y)1exp4( x1)2( x1)yy26364691exp 631 (9 x25418x6 xy6 y4 y29)42若 dx0.004，利用切比雪夫不等式估計(jì)概率p(| xex|0.2) .解由切比雪夫不等式p(|xex|0.2)1dx (0.2) 210.0040.040.9第六章17求總體n (20,3)的容量分別為10，15 的兩個(gè)獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3 的概率。解設(shè) x 1 和x 2 為兩個(gè)獨(dú)立樣本的均值，則15x 11n (20,3) ， x 210 n (20,3) 于是15x1x 2 n (0,) 即 x 130x 2 n (0,)2p(| x 1x 2 |0.3)1p(| x 1x 2 |0.3)0.30.31()()1/21/222(0.42)220.66280.6744第七章5設(shè)總體的密度為(1)x,0x1,f ( x;)試用樣本0,x1 , x 2 , x n其他.求參數(shù)的矩估計(jì)和極大似然估計(jì).解先求矩估計(jì)：解出得1ex1(1)x01dx1 x