1、2018-2019學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）1（5分）已知集合，1，則a，b，cd，1，2（5分）若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位），則的實(shí)部為a1b2c3d43（5分）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是abc，d，4（5分）已知向量，的夾角為，且，則abcd5（5分）在中，則abcd6（5分）已知一個(gè)樣本，樣本容量為7，平均數(shù)為11，方差為2，現(xiàn)樣本中又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)11，此時(shí)樣本容量為8，平均數(shù)為，方差為，則abcd7（5分）九章算術(shù)勾股章有一“引葭赴岸”問(wèn)題：“今有池方一丈，葭生其中央，

2、出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊問(wèn)水深、葭長(zhǎng)各幾何”其意思是：有一水池一丈見(jiàn)方，池中生有一顆類(lèi)似蘆葦?shù)闹参?，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問(wèn)水有多深，該植物有多長(zhǎng)？其中一丈為十尺若從該葭上隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自水下的概率為abcd8（5分）已知拋物線焦點(diǎn)為，點(diǎn)為其準(zhǔn)線上一點(diǎn)，是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若，則直線的斜率為abcd9（5分）如圖，在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，則直線與直線所成角的余弦值為abcd10（5分）在區(qū)間，僅有三個(gè)零點(diǎn)，則的最小值是abcd11（5分）設(shè)是定義在上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間，上單調(diào)遞減，且滿足，則滿足不等式組的解集為abcd12（5分）

3、已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)原點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、分別為線段、的中點(diǎn)，以為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若，則的取值范圍是abcd二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分將答案填在題中橫線上）13（5分）雙曲線的漸近線方程為14（5分）的展開(kāi)式中的系數(shù)為15（5分）某學(xué)校舉辦科技節(jié)活動(dòng)，有甲、乙、丙、丁四個(gè)團(tuán)隊(duì)參加“智能機(jī)器人”項(xiàng)目比賽，該項(xiàng)目只設(shè)置一個(gè)一等獎(jiǎng)，在評(píng)獎(jiǎng)揭曉前，小張、小王、小李、小趙四位同學(xué)對(duì)這四個(gè)參賽團(tuán)隊(duì)獲獎(jiǎng)結(jié)果預(yù)測(cè)如下：小張說(shuō)：“甲團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小王說(shuō)：“甲或乙團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小李說(shuō)：“丁團(tuán)隊(duì)獲得一等獎(jiǎng)”；小趙說(shuō)：“乙、丙兩個(gè)團(tuán)隊(duì)均未獲得一等獎(jiǎng)”若這四位同

4、學(xué)中只有兩位預(yù)測(cè)結(jié)果是對(duì)的，則獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是16（5分）已知底面邊長(zhǎng)為3的正三棱錐的外接球的球心滿足，則正三棱錐的內(nèi)切球半徑為三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為（1）若且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，成等比數(shù)列，求公比18（12分）某工廠有兩臺(tái)不同的機(jī)器和，生產(chǎn)同一種產(chǎn)品各10萬(wàn)件，現(xiàn)從各自生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取20件，進(jìn)行質(zhì)量鑒定，鑒定成績(jī)的莖葉圖如圖所示：該產(chǎn)品的質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：鑒定成績(jī)?cè)?，?nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀；鑒定成績(jī)?cè)?，?nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為良好；鑒定成績(jī)?cè)?，?nèi)的產(chǎn)品，質(zhì)量等級(jí)為合格，將頻

5、率視為概率（1）完成下列列聯(lián)表，以產(chǎn)品質(zhì)量等級(jí)是否達(dá)到良好以上（含良好）為判斷依據(jù)，判斷能不能在誤差不超過(guò)0.05的情況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級(jí)是否達(dá)到良好以上（含良好）與生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器有關(guān)：機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品合計(jì)良好以上（含良好）合格合計(jì)（2）已知質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)秀的產(chǎn)品的售價(jià)為12元件，質(zhì)量等級(jí)為良好的產(chǎn)品的售價(jià)為10元件，質(zhì)量等級(jí)為合格的產(chǎn)品的售價(jià)為5元件，機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的成本為20萬(wàn)元，機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的成本為30萬(wàn)元，該工廠決定，按樣本數(shù)據(jù)測(cè)算，兩種機(jī)器分別生產(chǎn)10萬(wàn)件產(chǎn)品，淘汰收益低的機(jī)器，你認(rèn)為該工廠會(huì)怎么做？0.100.050.0102.7063.8416.63519（12

6、分）如圖，已知四邊形與四邊形均為菱形，且（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值20（12分）已知橢圓的離心率為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為（1）求、的值；（2）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有的點(diǎn)的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說(shuō)明理由21（12分）已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)、，且求的取值范圍；證明：請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22（10分）已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）把

7、曲線的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程為，直線與相交于點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)、異于極點(diǎn)），求線段的長(zhǎng)選修4-4：不等式選講23設(shè)（1）求不等式的解集；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍2018-2019學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市郊聯(lián)體高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的）【解答】解：集合，1，則，故選：【解答】解：的實(shí)部為3故選：【解答】解：在拋物線，即 ，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：【解答】解：向量，的夾角為，且，故選：【解答】解：，由正弦定理可得：，可得：，可得：為銳角，故選：【

8、解答】解：某7個(gè)數(shù)的平均數(shù)為11，方差為2，現(xiàn)又加入一個(gè)新數(shù)據(jù)11，此時(shí)這8個(gè)數(shù)的平均數(shù)為，方差為，故選：【解答】解：設(shè)水深為尺，則，解得，即水深12尺又葭長(zhǎng)13尺，則所求概率，故選：【解答】解：當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，如圖：過(guò)作準(zhǔn)線于，則根據(jù)拋物線的定義得因?yàn)?，所以，此時(shí)的斜率為，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，同理可得直線的斜率為故選：【解答】解：在正三棱柱中，底面邊長(zhǎng)為2，以為原點(diǎn)，為軸，在平面中，過(guò)作的垂線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，0，0，0，0，設(shè)直線與直線所成角為，則直線與直線所成角的余弦值為故選：【解答】解：在區(qū)間，僅有三個(gè)零點(diǎn)，即在區(qū)間，僅有三個(gè)解，即在區(qū)間，僅有三個(gè)解，這三個(gè)根應(yīng)為：，故選：【

9、解答】解：根據(jù)題意，為周期為2的偶函數(shù)，則且，則有，則函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又由在區(qū)間，上單調(diào)遞減，且，則在，上遞增，且，則，即不等式組的解集為，；故選：【解答】解：記線段與軸交點(diǎn)為的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，、為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，設(shè)，易得由，可得得，直線斜率為，由于，離心率的取值范圍為，故選：二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分將答案填在題中橫線上）【解答】解：雙曲線，雙曲線的漸近線方程為，即故答案為：【解答】解：的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開(kāi)式中的系數(shù)為，故答案為：1792【解答】解：若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是甲團(tuán)隊(duì)，則小張、小王、小趙預(yù)測(cè)結(jié)果是對(duì)的

10、，與題設(shè)矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是乙團(tuán)隊(duì)，則小王預(yù)測(cè)結(jié)果是對(duì)的，與題設(shè)矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是丙團(tuán)隊(duì)，則四人預(yù)測(cè)結(jié)果都是錯(cuò)的，與題設(shè)矛盾，即假設(shè)錯(cuò)誤，若獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是丁團(tuán)隊(duì)，則小李、小趙預(yù)測(cè)結(jié)果是對(duì)的，與題設(shè)相符，即假設(shè)正確，即獲得一等獎(jiǎng)的團(tuán)隊(duì)是：丁故答案為：丁【解答】解：正三棱錐的外接球的球心滿足，為的外心外接圓的圓心為正三棱錐的外接球的球心，則這個(gè)正三棱錐的內(nèi)切球半徑滿足：，解得故答案為：三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）【解答】解：（1）且，解得，或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2），成等比數(shù)列，整理可得，則或，當(dāng)時(shí)，公比為1，

11、當(dāng)，【解答】解：（1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表如下，機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品合計(jì)良好以上（含良好）61218合格14822合計(jì)202040計(jì)算，不能判斷在誤差不超過(guò)0.05的情況下，認(rèn)為產(chǎn)品等級(jí)是否達(dá)到良好以上（含良好）與生產(chǎn)產(chǎn)品的機(jī)器有關(guān)；（2）機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），機(jī)器每生產(chǎn)10萬(wàn)件的利潤(rùn)為（萬(wàn)元），則，所以該工廠不會(huì)仍然保留原來(lái)的兩臺(tái)機(jī)器，應(yīng)該會(huì)賣(mài)掉機(jī)器，同時(shí)購(gòu)買(mǎi)一臺(tái)機(jī)器【解答】證明：（1）設(shè)、交于點(diǎn)，連結(jié)、，四邊形與四邊形均為菱形，且，四邊形與四邊形均為菱形，平面（2），平面，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，0，1，0，1，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)

12、平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則二面角的余弦值為【解答】解：（1）設(shè)，直線的方程為，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，即；（2）由（1）知橢圓的方程為，即，假設(shè)存在滿足題設(shè)條件的直線，由題意知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，、，把代入橢圓方程，整理得，顯然由韋達(dá)定理有：，在橢圓上，代入橢圓方程整理得，解得，此時(shí)點(diǎn)，直線方程為，即【解答】解：（1），由條件知，函數(shù)在處的切線方程為，即，（2），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，此時(shí)在上單調(diào)增，函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由解得當(dāng)時(shí)，單調(diào)增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，有兩個(gè)零點(diǎn)、，解得由條件知，可得，方法一：故設(shè)，則，且，解得，要證：，即證明，即證明，設(shè)，令，則，在上單調(diào)增，（1），在上單調(diào)增， 則（1）即時(shí)，成立，方法二：則，設(shè)，則，為的兩個(gè)零點(diǎn)，易得在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，所以，設(shè)，則，恒成立，則在上單調(diào)增，（1），即，即，又在上單調(diào)減，即，請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程【解答】解：（1）曲線的參數(shù)方程是，曲線的普通方程為，即，曲線的極坐標(biāo)方程為，即（2）直線的極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為，直線與相交于點(diǎn)，直