1、第四章、數(shù)值微分與數(shù)值積分 數(shù)數(shù) 值值 微微 分分 0 1 ()( ) ( )lim h f xhf x fx h 、差商型求導(dǎo)公式 由導(dǎo)數(shù)定義 1 ()( ) ( ) 2 ( )() ( ) 3 ()() ( ) 2 fxhfx fx h fxfxh fx h fxhfxh fx h （ ）向前差商公式 （ ）向后差商公式 （ ）中心差商公式 （中點(diǎn)方法 ） x-h x x+h B C A T f(x) 差商型求導(dǎo)公式的余項(xiàng) 1 2 (3 )(3 ) 22 12 12 T aylor ()()() ()() 2 ()()() ()() 2 ()() () 2 ()() () 6 0,1 fx

2、hfxfxh fxhOh h fxfxhfxh fxhOh h fxhfxh fx h fxhfxh hOh 由公 式 從截?cái)嗾`差的角度看，步長(zhǎng)越小，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確； 從舍入誤差的角度來看，步長(zhǎng)不宜太小。 2、插值型求導(dǎo)公式 (),1(,() (0 ,1,) () ii fxa bnxfx in fx n 若 已 知 函 數(shù)在內(nèi)個(gè) 節(jié) 點(diǎn) ， 可 用 其 插 值 多 項(xiàng) 式 P ( x ) 的 導(dǎo) 數(shù) 近 似 函 數(shù)的 導(dǎo) 數(shù) 。 (1) 1 (1) (1) 1 1 () ( )( )( )( ) (1)! ( )() ( )( )( )() (1)!(1)! n nnn n n n n n

3、f RxfxPxx n xfd fxPxxf nndx 由 (1)(1) 1 0 , ( )( ) ()()()() (1)!(1)! nnn ininiij j j i xa b ff fxPxxxx nn 對(duì)任意，因 未知，故上式很難估計(jì)誤差， 但若只求某個(gè)節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值，誤差可估計(jì). 因此，插值型求導(dǎo)公式通常用于求節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的近似值. 兩 點(diǎn) 公 式 001110 01 101 0110 101 (,(), (,(), ()()(). 1 ()()() xfxxfxxxh xxxx Pxfxfx xxxx Pxfxfx h 設(shè) 給 出 兩 節(jié) 點(diǎn)記 有 1010 1110 10101 1

4、1102 1 ()()(), 1 ()()() 1 ()()()(), 2 1 ()()()(). 2 Pxfxfx h Pxfxfx h h fxfxfxf h h fxfxfxf h ； 帶 余 項(xiàng) 的 兩 點(diǎn) 公 式 是 ： (1) 0 ( ) ( )( )() (1)! nn iniij j j i f fxP xxx n 三 點(diǎn) 公 式 01020 12 20 0102 0201 12 10122021 0 2001 ,2 ()() ( )() ()() ()()()() ()(), ()()()() , 1 ()(1)(2)()(2)() 2 1 xxxhxxh xxxx P xf

5、 x xxxx xxxxxxxx f xf x xxxxxxxx xxth P xthttf xt tf x 設(shè)已給出三個(gè)節(jié)點(diǎn)上的 函數(shù)值, 可構(gòu)造插值多項(xiàng)式： 令則 2 (1)(), 2 t tf x 200 12 20012 2102 22012 1 ()( 23 )() 2 ( 44 )()( 21)(). 1 ()3()4()(); 2 1 ()()(); 2 1 ()()4()3(). 2 tPxthtfx h tfxtfx Pxfxfxfx h Pxfxfx h Pxfxfxfx h 上 式 對(duì)求 導(dǎo) ： （ 中 點(diǎn) 公 式 ） 2 0012 2 102 2 2012 1 ()3(

6、)4()()(); 23 1 ()()()(); 26 1 ()()4()3()(). 23 h fxfxfxfxf h h fxfxfxf h h fxfxfxfxf h 帶 余 項(xiàng) 的 三 點(diǎn) 求 導(dǎo) 公 式 ： （ 中 點(diǎn) 公 式 ） (1) 0 ( ) ( )( )() (1)! nn iniij j j i f fxP xxx n ()() ( )( ),1, 2, kk m fxPxk 可 利 用 插 值 多 項(xiàng) 式 ， 建 立 高 階 數(shù) 值 微 分 公 式 ： 200 12 20012 2 21111 2 2 (4) 1111 2 1 ()(23)() 2 (44)()(21)

7、(). 1 ()()2()(), 1 ()()2()(), 1 ()()2()()( ). 12 Pxthtf x h tf xtf xt Pxthf xf xf x h Pxf xhf xf xh h h fxf xhf xf xhf h 例：對(duì) 再對(duì) 求導(dǎo)， 有 帶余項(xiàng)的二階三點(diǎn)公式： 同樣，針對(duì)m也可擴(kuò)展，如五點(diǎn)插值求積公式。 3、 樣 條 求 導(dǎo) ()() ()()4 () () ()()(1, 2,) ()()(). kk kkk Sx fx fxSxk fxSxO h 三 次 樣 條 函 數(shù)及 其 一 、 二 階 導(dǎo) 數(shù) 均 一 致 收 斂 于 被 插 值 函 數(shù)及 其 一 、 二

8、 階 導(dǎo) 數(shù) ， 故 用 樣 條 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 近 似 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 不 僅 可 靠 性 好 ， 且 可 計(jì) 算 非 節(jié) 點(diǎn) 處 導(dǎo) 數(shù) 的 近 似 值 . 其 截 斷 誤 差 為 ： 011 3 11 , ( )() 2(1, 2,1); () nkk kk jjjjjj k k axxxbxxh SxS xm mmmgjn m fx 對(duì)等距劃分且 三次樣條在節(jié)點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值滿足下列 連續(xù)性方程組 在給定一類邊界條件下，求解方程組得出的即可 作為導(dǎo)數(shù)的近似值. 數(shù)值積分 ( ) n fx常取插值或分段插值多項(xiàng)式. ( ) ; ( ) ( )( ) . ()( ) ( ) ( )( )

9、b a n b nn a n f xf x I ff x dx f I ffx dx I f Eff xf 的原函數(shù)不存在或不適宜計(jì)算 只有的離散數(shù)據(jù)點(diǎn) 求的近似數(shù)值 簡(jiǎn)單想法： 用簡(jiǎn)單函數(shù) 的積分 作為的近似值，誤差： ( ). b n a x dx 1. 插值型求積公式 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) bb aa P xf x P xf xf x dxP x dx 是的插值多項(xiàng)式： 1 b a ( ) 2 xaxb () a,b : f(x)P(x)f(b)f(a) baab x-axbba I ff(b)f(a) dx(f(a)f(b) b-aab 一過兩點(diǎn) y=P1() 直

10、邊梯形代替曲邊梯形 y=f() 稱梯形公式 y 0 (二) 拋物型求積公式 2 b , , , b, 2 b ()(b) ()()b 2 ( )( )() bbb 2 ()(b)()(b) 222 b ()() 2 ( ) b ()() 2 2bb ()() ( )2()() () ()22 a a ba a xx xa xba P xf af aaa aaa a xa x f b a ba b aa xxb f axa xb f ba 區(qū)間二等分：作拋物線 b ()() ( ) 2 a xa xf b 2 ( )( )( )4( ) 62 b a baab I fP x dxf aff b

11、y=P2(x) y=f(x) 稱 Simpson 公式 a（a+b）/2 b (三.1) Newton-Cotes求積公式 , : ,0,1, , i ba a b nxaihinh n 將等分 0 0 1 n nin i ii n w(x) P(x)f(x ), w(x)(xx )(xx ) (xx )w(x ) 則個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式為： 00 Newton-Cotes ) ( ) n bb nn niii ii iiaa w(x) I(f)P x dxdx f(x )A f x (xx )w(x ) 稱 階求積公式. 1 ,0, 2 11, n xathtnw(x) (atha)(atha

12、h)(athah)(athanh) th(t)h(tn)hht(t)(tn) 作變換由于 (三.2)計(jì)算系數(shù) Ai 011 ()()()() 11 1, iiiiiiin n i n ik w(x )xxxxxxxx ihh ()h( (ni)h h i ! (n -i) ! (x (xx(ik)h) ath) 1 0 0 1 ( 1) ( 1)1 . bn n i n in iia n n i w(x)ht(t)(tn) Adxhdt (xx )w(x )h (i!)(ni)!h(ti) ht(t)(tn) dt i!(ni)!(ti) 故有 n ( ) 0 ( ) ( 1)1 n i n

13、i i n i At(t)(tn) Cdt ban(i!) (ni)!(ti) Cf(x)a,b n 記 是不依賴于與的常數(shù)，只與有關(guān). (三.3) Newton-Cotes系數(shù) ( )( )( ) 0 ( ) , 1, 0 . 8 , 8 . 4 Cotes . n nnn in ii i n i C CC C nn n 可以證明且由此可以 推出當(dāng)時(shí)插值型求積公式有數(shù)值穩(wěn)定性 當(dāng)時(shí)出現(xiàn)負(fù)數(shù)時(shí)不常用 時(shí)成求積公式 () 0 ()() b n n nii i a P (x)dxbafx C ( )n i C n k C 1 21 2 1 61 62 3 1 83 83 81 8 7 90 16

14、45 2 15 16 45 7 90 n ( ) 0 ( 1)1 n i n i t(t)(tn) Cdt n(i!) (ni)!(ti) ( ) 2 ba I f(f(a)f(b) ( )( )4( ) 62 baab I ff aff b Newton-Cotes 公式的穩(wěn)定性 ( ) ( )( ) 00 ( ) ( )( ) 00 ( ) ()() ()()() )()()(), max, ()()(). n kk kk kkkk nn nn kkkkk kk n kk k nn nn kkkk kk n k Cx f xf x f xf xf x baf xf xCbaC C baCb

15、aCba C 系數(shù)及節(jié)點(diǎn)值可以精確給出,誤差來 自函數(shù)值的計(jì)算.設(shè)為準(zhǔn)確值， 為計(jì)算值， 令， 則 （ 記若均為正數(shù)， 則得 若有8), n 正負(fù)（穩(wěn)定性沒有保證. n ( ) i=0 1 n i C 2. 梯形、拋物線公式的誤差估計(jì) ( ) 00 ( )()=()( ) ( ) ( ) ( ) 1 b nn n kkii ki a k f x dxA f xbaf x C Af xf x n f xn n 定義（）對(duì)一個(gè)一般的求積公式： 其中是不依賴于的常數(shù).若為任意一個(gè) 次數(shù)不高于的代數(shù)多項(xiàng)式時(shí)，式中等號(hào)成立；而對(duì) 是次多項(xiàng)式時(shí)不全精確成立，則稱該求積 代數(shù)精確度 公式有次代數(shù)精確度. 衡

16、量插值型求積公式的精度,可以用多項(xiàng)式的次 數(shù)作為標(biāo)準(zhǔn). 1 ( ) ( )( )()(), 2! f f xP xxa xbab 由梯形公式的誤差： 梯形求積公式的代數(shù)精確度 11 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( )( ). b a f x fxf xP xI fP x dx 當(dāng)是一次多項(xiàng)式時(shí)， 2 33 222 1 ( ) ( )( )(), 32 1. bbb aaa f xx baba f x dxx dxP x dxab 但當(dāng)時(shí)， 因此代數(shù)精確度是 (1) NewtonCotes ( ) ( )( )( ), b. (1)! n n f f xP xw xa n 求積公式有誤差

17、： (1) ( ) 0( ) b n n a f xn f(x) I(f) P x dx , n 當(dāng)為次多項(xiàng)式時(shí) 從而至少有次代數(shù)精確度. Newton-Cotes求積公式的代數(shù)精確度 n=偶數(shù)時(shí)，考慮n+1次多項(xiàng)式 (1) 1 , n q(x)(n)! 則積分誤差為 (1) 2 0 /2 2 0 /2 ( ) ( )( )( )( ) (1)! () (1)(n) ()()0. 22 bbbb n n aaaa n n n n n j n q q x dxP x dxw x dxw x dx n xathht ttdt nn tuhuj du 令 令 ( )( ) NewtonCotes n

18、 n1 bb n aa q x dxPx dx 從 而 ， 即求 積 公 式 當(dāng)為 偶 數(shù) 時(shí) 至 少 有 次 代 數(shù) 精 確 度 . 1, n q(x)x 梯形公式的截?cái)嗾`差 2 3 ) , , () ( )( ) ( )( )( ),. 212 b a f(xC a b baba R ff x dxf af bf (a,b) 定理: 若則： 0, , , ; f(x) xa b注意：當(dāng)則積分值小于計(jì)算值 反之類似. 1 ( ) ( ) 2 f R xf(x)P(x)(xa)(xb) (a,b) 證明：由插值公式余項(xiàng)： 1 ( ) ( )( ), 2 bb aa f R(f)fxP x dx

19、(xa)(xb)dx ( ) , ( ),f a b mfM在上連續(xù) 0 ( ) (, bb aa b a x(a,b)(xa)(xb) M (xa)(xb)dxf(xa)(xb)dx m xa)(xb)dx 由 于時(shí) ( ) b a b a f(xa)(xb)dx mM (xa)(xb)dx 3 3 , (): ( )()() () ( )( ) 6 () ( ). 12 b a b a a b fxaxb dx ba f(xa)(xb)dx f ba R(f)f 存在使積分中值定理 故， 4 5 (4) , , : 4 62 () ( ), . 2880 b a f(x)C a b baa

20、b R(f)f(x)dxf(a)f()f(b) ba f (a,b) 定理若則 拋物求積(Simpson)公式的截?cái)嗾`差 證明思路: 1,將 用插值多項(xiàng)式表示，且與拋物公式值相同， 2, , n R(x)f(x)(x)用插值余項(xiàng)公式求出 3, ( ) b a R x dx 利用積分中值定理求出的表示. ( )f x 33 33 3. ( ), .: 2222 f x P(a)f(a) , P(b)f(b) abababab P()f() , P ()f () 由于拋物公式代數(shù)精確度是可構(gòu)造一個(gè)的三次插值多項(xiàng)式 與拋物公式值相等而且 拋物求積公式誤差證明(1) (4) 2 3 42 ( ) ()

21、 4!2 1 ( )()() 42 bb () aa fab R(x)f(x)P(x)(xa) x(xb) (a,b) ab R(x)dx xaxxb dx ! f) 則可以證明，插值余項(xiàng)： 33332 ()()4()( )() 62 b b a a baab Px dxPaPPbPx dx 2 ( )( ) ( ) 4 ()( ) 62 b b a a b aa b f x dxP x dxf aff b 證明:求積公式 拋物求積公式誤差證明(2) 3 (4)2 1 ()()() 42 b a P (x) ab R(f) fxax(xb)dx ! 由 于 三 次 多 項(xiàng) 式的 積 分 與 拋

22、 物 求 積 公 式 精 確 度 相 等 ： (4) 2 ( ) , () : ()() () 0 2 fa bxa,b ab xa xxb 由：在上連續(xù)， 當(dāng)時(shí) (4)2 5 (4)2(4) . ( , ) ( )()() 2 () ( ) ()( ),( , ) 22880 b a b a a b ab fxax(xb)dx abba fxa) x(xb)dxf a b 由積分中值定理存在使 3. 復(fù)化公式及其誤差估計(jì) 誤差公式: 區(qū)間越小, 誤差更小復(fù)化。 1 (). . , 0 1 , , . k kk a,b n xakh , k, , ,n, ba h x x n 一復(fù)化梯形公式

23、等分 節(jié)點(diǎn) 對(duì)每個(gè)小區(qū)間用梯形公式 然后累加 3 () ()( ) , 12 ba R ff 5 (4) () ( )( ) 2880 ba R ff 1 1 0 1 1 1 0 11 1 00 1 01 ( ) ()() 2 ()() 2 ()() 2 k k n bx ax k n kk kk k nn kk kk nn kk kk Ifxdxf(x)dx xx fxfx h fxfx h fxfx 1 1 2) 2 . n n k h f(a)f(b)f(akhT 復(fù)化梯形公式 a, b2n 等分, 可得 T2n : 復(fù)化梯形公式的分半加密算法 21 2 1 1 ()( )2(/ 2)

24、22 n n k h Tf(a)f bfakh 1 11 ( )( )222(21) / 2) 42 nn kk hh f af bfakf akh 1 11 1 ( )( )2()(21) 2 22 1a (T), (21) 22 nn kk nnn n hh f af bf akhhfak b HHhfak n H 為所有新增分點(diǎn)函數(shù)值之和乘步長(zhǎng). 1 1 T2) 2 n n k h f(a)f(b)f(akh 復(fù)化拋物型公式 由于拋物線公式用到區(qū)間中點(diǎn)，故可將區(qū)間看作等分偶 數(shù)份. 令 是整數(shù),在每個(gè) 上用拋物線公式： 則有 2 22 22212 222 ( ) ()4 ()(), 3

25、. 2 k k x kkk x kk h f x dxf xf xf x xxba h n 其中， ( )( )4( ) 62 baab I ff aff b 222 , kk xx 2 ,nmm 22 2 1 22212 1 1 2212 011 1 212 11 ( ) ()4()() 3 ()4()() 3 ( )( )4()2() 3 k k m k x m kkk k mmm kkk kkk mm kk kk n If x dx h f xf xf x h f xf xf x h f af bf xf x S Simpson 稱復(fù)化公式 33 11 2 0 2 , 2 0 () (

26、( , T )()( ) ) ( )C b ( , T )( )T( ), (a,b) 12 12121 2 nn k nk k a a k b b nn fh f x a R ff x dxh f nhba ba h R ffh f n n 定理1 ： 若，則 其中 復(fù)化公式誤差 4 , 4(4) ( )C ( , )( )( ), ( ,b) 2880 . a b b nn a f x ba R fSf x dxSh fa ba h n 定理2:若，則 其中 3 () ( ) 12 ba R(f)f 1 22 0 2 4 (, T )11 ()( ) 1212 1 h0 ( )( ) .

27、12 Simpson I1 ( )( ), 1802 b n nn k k a n R fIT h ffx dx hh IT fbfa h fbfa n 4 當(dāng)時(shí)， 類似地，對(duì)于復(fù)化的法 S h 11 . 416 若步長(zhǎng)h減半(n加倍），則梯形法與Simpson法的 誤差分別減至原誤差的與 I ,0 II (0 I p n h CC h p n n 定 義 : 如 果 一 種 復(fù) 化 求 積 公 式當(dāng)時(shí) 成 立 漸 近 關(guān) 系 式定 數(shù) ） ， 則 稱階求 積 公 式是收 斂 的 . 1 0 n? S n? x n n Ie dxT 計(jì)算積分保留五位有效數(shù)字.試用計(jì)算， 用計(jì)算 復(fù)化求積例 (

28、4) (4) . ( )( )( ) (0,1) ( )( ) x f xfxfxex: fxfxe 解 224 11 (, ) ( ) 10 12122 n ba R fTh feh 14lgelg61 lg 1.8280768. 2h n h 則 44 1 11 (, ) 10 28802 n RfSeh 11 14lgelg14401 lg0.3189833. 4 n hh 自動(dòng)選步長(zhǎng)計(jì)算 由誤差要求可定出n ，但事先難估計(jì)：應(yīng)邊算邊估計(jì) 進(jìn)而加密， 2 : ba ( ,)(), ( , ) 12 n nnn n R f Th fa b 等分計(jì)算 T 2 2 222 2 T: ba (,

29、)()(), ( ,) 122 n nnn n h Rf Tfa b 取等 分 計(jì) 算 2 22 ba ( ) 4() () 122 nnnn h TTff 2 2 222 n ( ) (a,b) ) (), ba TT ()() 33(). 122 nn nnnn f f(f h fIT 若充分大在上連續(xù)且則 22 1 () 3 nnn ITTT 22 3 () nnn TTIT當(dāng)時(shí)，要求誤差 1 21111 4213 2 1 n1, ( )( ), 2 11 n2, (), 222 1 n4, ()(), 24 1 (21) 222 n nn i ba Tf af b ba TTHTfx

30、ba TTfxfx baba TTfai nn 計(jì)算過程： ） 2 3 ? nn TT每次檢驗(yàn) 自動(dòng)分半的 Simpson 公式 4(4) 4(4) 22 ( ,)() 2880 1 ( ,)() 288016 nnn nnn ba R f S h f ba R f S h f 2 22 22 16() 1 15 15 (). nn nnn nnn ISIS ISSS SSIS 當(dāng)時(shí)要求誤差 只要利用公式不斷計(jì)算新分點(diǎn)之函數(shù)值， S2 ， S4 ， Sn ， S2n /2 0 , S Newton-Cotes Isin. nn Txdx 用及公式計(jì)算 復(fù)化求積例（3） 2345 0 12121

31、212122 sin 0 0.258 0.5 0.707 0.866 0.965 1 .99429 , 0.0057 1.00003 , n n x T S 填上值： 0.00003 1.000003 , 0.000003 n C 4. Richardson 外推算法 nn T 與S 關(guān)系的啟發(fā): 1 221 11 12 ( )( )2()() 323 12 33 nn nkk kk nn h Sfaf bfxhfx TH 2 2 2 11 22 441 3341 nnn nn nnn TTH TT STT 又 24 () S(), T nn TO hO h 的 線 性 組 合 就 能 提 高

32、 收 斂 階 數(shù) ! 1 221 11 h ( )( )2()4() 3 mm kk kk f af bfxfx 12 1 * 1 * 112 12 * 1 ( ) , : ( ) 0 , 1 2 ( ) . k PPP k ki P FhF h R( F ) FF ha ha ha h PPPa h i, , . F hhF 一個(gè)數(shù)值積分值， 用步長(zhǎng) 的復(fù)化求積公式 逼近 誤差公式 其中是與無關(guān)的常數(shù), 稱是 階逼近的 如何僅通過構(gòu)造 的線性組合產(chǎn)生更高階逼 近函數(shù) 呢？ 1 F 2( ) F h 12 * 112 ()()()() k PPP k h qh : FF qha qha qha

33、 qh 改變步長(zhǎng) 112 11 2121 * 112 * 11 2 ( ) (1)()( ) ()() k kk PPPP k PP PPPPPP k qFF ha ha ha h qFF qhq F h aqqhaqqh 乘與上式減： 12 2 11 2 1 * 112 (2 ) 2 () 11 10. PPP P PP P P F (qh)qF (h)aqq Fh qq ah q 其 中 ， 1 1 2 11 2 * 2 ( ) ( ) 1 ( )(). P P P F(qh)q F h F h q F h F O h 令 則 1 1 1 11 *() 10, ( ),2,3 1 ( )(

34、). m m m mm P P mm m P PPm mm qq F(qh)qF(h) Fh m q FFh ah O h 依次類推，只要取使則： 則 通過適當(dāng)線性組合就可以明顯提高逼近階! 5. Romberg求積法 00 4 1 4()( ) 2 ( ) O(), 41 h TTh T hh 11 6 2 16()( ) 2 ( ) O(), 161 h TT h Thh 2 11 2(1) 2 2( )( ) 2 ( ) O(), 21 1, 2 , m mm m m m h TTh Thh m 一般逼近階為 012 1 , 2 , 4,6, 2 qPPP取 同樣可繼續(xù)推廣(Richar

35、dson 外推算法)： 2 2 441 () 3341 nn nnn TT STT 1 1 11 ( ),2,3 1 m m P mm m P F(qh)qF(h) F h m q 兩個(gè)步長(zhǎng)分別為 h , 0.5h 的低級(jí)計(jì)算值的線性組合產(chǎn) 生一個(gè)高級(jí)計(jì)算值，因此不斷地分半計(jì)算是必須的： 2 11 1 2(1) 2 2()() 22 () O(), 2212 1,2, , 0,1, 2, m mm kk m m kmk hh TT hh T mk 一般逼近階為 02 11 Romberg (,) 22 nnnn ThTTTH算 法只 表 示 梯 形 公 式 ： ) 2 1 () 4 1 ( )

36、 8 1 ( ) 16 1 ( 2 1 )() 2 1 ( ) 4 1 ( ) 8 1 ( 2 1 )() 2 1 ( ) 4 1 ( 2 1 )( ) 2 1 ( 2 1 )( 3210 4 3210 3 210 2 10 0 3210 hhhhh hhhhh hhhh hhh hh 步長(zhǎng) 1 m: lim()=I. 2 m k k h T 可以證明： ， 固定 Romberg求積法的收斂性 2 k: lim()=I. 2 m k m h T ，固定 2(1) 1 1 1 m () 0 , 2 T () T(), 22 . m mm kk hh m mRomberg 注 意 ： 當(dāng)充 分 大

37、 時(shí) ,從 而 因 此 隨增 大 ， 逼 近 的 改 善 變 慢 ,一 般 只 使 用 到 較 小對(duì) 應(yīng) 的值 2 11 1 2 2()() 22 () 221 m mm kk m km hh TT h T 02 1, 11 ( ) ( )( ) () 222 kkk k a,b ba T h f af b ,TTH 等分 只表示梯形公式： Romberg 算法 2 11 1 2 33 1 3 2()() 22 2, (), 1,2,3, 221 3, 0,1, ()() 22 () 2 m mm kk m km kk k hh TT h Tm k hh TT h T 計(jì) 算 則 停 機(jī) ，

38、輸 出的 值 . 6. 6. 高斯公式高斯公式 Newton-CotesNewton-Cotes求積公式是封閉型的（區(qū)間求積公式是封閉型的（區(qū)間a,ba,b的兩的兩 端點(diǎn)端點(diǎn)a, ba, b均是求積節(jié)點(diǎn)）而且要求求積節(jié)點(diǎn)是等距的均是求積節(jié)點(diǎn)）而且要求求積節(jié)點(diǎn)是等距的, ,受受 此限制，它的代數(shù)精確度只能是此限制，它的代數(shù)精確度只能是n(nn(n為奇數(shù)為奇數(shù)) )或或n+1(nn+1(n為偶為偶 數(shù)數(shù)).).而如果對(duì)求積節(jié)點(diǎn)也適當(dāng)?shù)倪x取而如果對(duì)求積節(jié)點(diǎn)也適當(dāng)?shù)倪x取, ,即在求積公式中不即在求積公式中不 僅僅A Ak k而且而且x xk k也加以選取也加以選取, ,這就可以增加自由度，從而可提這就

39、可以增加自由度，從而可提 高求積公式的代數(shù)精確度高求積公式的代數(shù)精確度. . 0 ( )() 22 ,0,1, , (0,1, ) n b kk a k kk k fx dxA fxn xAkn xkn 求積公式含有個(gè) 待定參數(shù)適當(dāng)選擇這些參 數(shù)使其具有2n+1次代數(shù)精度.這類求積公式 稱為高斯公式.是高斯點(diǎn). 0 0 ( )() (0,1, ) ( )() ( ) ( ) ( )0. n b kk a k k n k k b a f x dxA f x xkn xxx nP x P xx dx 定理：插值型求積公式 其節(jié)點(diǎn)是高斯點(diǎn)的充分必要條 件是以這些點(diǎn)為零點(diǎn)的多項(xiàng)式 與任意次數(shù)不超過 的

40、多項(xiàng)式 均正交： 0 ( )( )( ) 21, ( )( )()() ()0(0,1,), ( )( )0. k n b kkk a k k b a P xP xx x P xx dxA P xx xkn P xx dx 必 要 性 證 明 ： 設(shè)是 次 數(shù) 不 超 過 n的 多 項(xiàng) 式 則 次 數(shù) 不 超 過n若是 高 斯 點(diǎn) ， 則 有 又 因故 有 21( ) ( ) ( )( )( )( ), nf x xf xf xP xxQ x 充分性證明： 對(duì)一次數(shù)不超過 的多項(xiàng)數(shù) ,用 （ )除，則有 0 0 0 ( )( )0( )( ) ( )() ()0,()(), ( )() ( )

41、() 21 bbb aaa n b kk a k kkk n b kk a k n b kk a k P xx dxfx dxQ x dx Q x dxA Q x xQ xfx Q x dxA fx fx dxA fx n 由 由 于 所 給 求 積 公 式 是 插 值 型 的 ， 故 有 又 由知從 而 有 于 是 可 見 此 求 積 公 式 對(duì) 一 切 次 數(shù) 不 超 過的 k x 多 項(xiàng) 式 均 能 準(zhǔn) 確 成 立 ， 因 此為 高 斯 點(diǎn) 。 ( )( ) ( )( )f xP xxQ x 高斯勒讓德公式 1 1 0 ( )() ( ) n kk k f x dxA f x x n+1

42、 此為高斯勒讓德公式，區(qū)間為-1,1, 勒讓德正交多項(xiàng)式P的零點(diǎn)就是其高斯點(diǎn)。 2 2 1 01 1 11 ( )(31), 23 11 ( )()() 33 ( )1, Pxx fx dxA fA f fxx 例 ： 取其 兩 個(gè) 零 點(diǎn) 為。 求 積 公 式 為 令 它 對(duì)成 立 ， 有 01 0 011 1 1 2 1 11 01 33 11 (). 33 AA A AAA fx d xff 兩 點(diǎn) 高 斯 勒 讓 德 公 式 234 1 1 1 1 1 1 (), 2112 (),()() 3333 11 ()0,()()0 33 11 ()()() 33 fxxxx fx dxff

43、fx dxff fx dxff 驗(yàn) 證 ： 分 別 令,則 帶權(quán)的高斯公式 0 21 ( )( )() ( )0 n b kk a k n xfx dxA fx x 對(duì) 于 任 意 次 數(shù) 不 超 過的 多 項(xiàng) 式 均 能 準(zhǔn) 確 成 立 稱 其 為 帶 權(quán) 的 高 斯 公 式 ,其 中為 權(quán) 函 數(shù) . 2 1 21 0 1 (),1,1 1 () () 1 21 cos,0,1,. 22 n kk k k xx x fx dxAfx x k xkn n 高 斯 切 比 雪 夫 公 當(dāng)時(shí) ， 所 建 立 的 高 斯 公 式 稱 為.高 斯 點(diǎn) 為 n+1次 切 比 雪 夫 多 項(xiàng) 式 的 零 點(diǎn) : 式 1 1 0011 0 0 23 010011 0011001101 22 0011 ( )()()() ( )1, 2 ; 3 2 ; )() 5 2 ; 1 7 kk k x fx dxA fxA fxA fx fxx xx AAx