1函數(shù)的單調(diào)性第七節(jié)函數(shù)性態(tài)的研究函數(shù)極值的判定及函數(shù)的最值第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的凹凸性函數(shù)作圖小結(jié)思考題作業(yè)20XF0XF一、函數(shù)的單調(diào)性XYOABABXFYXYOXFYABAB分析1212,XXABXX不防設(shè)則利用2121FXFXFXX可知,利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可以判斷函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)性態(tài)的研究3定理1函數(shù)單調(diào)性的判定法,YFXAB在上連續(xù)設(shè)函數(shù),AB在內(nèi)可導(dǎo)則,FXAB在上單調(diào)增加的充要條件是0,FXXAB此時(shí),ABFX稱為的單調(diào)增區(qū)間單調(diào)減少0,FXXAB減函數(shù)性態(tài)的研究4證明只證單調(diào)增加的情況必要性,FXAB設(shè)在上單調(diào)增加,0,XAB對(duì),FXAB因在內(nèi)可導(dǎo)從而有0000LIMXXFXFXFXXX,FXAB又由在上單調(diào)增加,得到000FXFXXX所以,利用極限的保序性知道,00FX函數(shù)性態(tài)的研究5充分性,21BAXX,21XX且拉氏定理1212XXFXFXF內(nèi)，若在,BA,0F則,12XFXF所以,上單調(diào)增加在所以BAXFY21XX,0XF,0BAXXF設(shè)函數(shù)性態(tài)的研究6推論,YFXAB在上連續(xù)設(shè)函數(shù),AB在內(nèi)可導(dǎo),AB若在0,FXXAB則,FXAB在上嚴(yán)格單調(diào)增加嚴(yán)格單調(diào)減少注意1若推論中的條件0,FX0,FX或改為0,FX0,FX或其中使得0FX的點(diǎn)不構(gòu)成,AB的子區(qū)間,則推論的結(jié)論仍然成立2定理1和推論不論對(duì)于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確函數(shù)性態(tài)的研究7如,3XY,00XY上但在,嚴(yán)格單調(diào)增加3XY又如,SIN在XXY內(nèi)可導(dǎo),且XYCOS1等號(hào)只在,1,012KKX無窮多個(gè)離散點(diǎn)處成立,故,SIN在XXY內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加,0XYO函數(shù)性態(tài)的研究8例1討論函數(shù)22LNYXX的單調(diào)性注意判函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間的步驟如下1確定函數(shù)的定義域2找臨界點(diǎn)0FXFX令或不存在的點(diǎn)3列表由臨界點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成幾個(gè)區(qū)間,在各個(gè)區(qū)間上再討論FX的符號(hào),從而判定FX的單調(diào)性函數(shù)性態(tài)的研究4下結(jié)論9例2確定函數(shù)22351YXX的單調(diào)區(qū)間提示3185231XXYX不存在XYY,111,2121,525,15001,XY時(shí)不存在函數(shù)性態(tài)的研究10利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明不等式例3證明0,2X當(dāng)時(shí)有3TAN2SINXXX提示TAN2SIN3FXXXX令221COS12COS0COSXXFXX函數(shù)性態(tài)的研究11例4設(shè)0,0,FXAA在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo)0,FFXA且00,在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加證明0,FXAX在上嚴(yán)格單調(diào)增加函數(shù)性態(tài)的研究12定理2必要條件注如,3XY,00XY0不是極值點(diǎn)但X1處取得在點(diǎn)如果函數(shù)0XXF,0處可導(dǎo)且在X的叫做函數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)XFXF駐點(diǎn)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)但函數(shù)的必是駐點(diǎn),費(fèi)馬引理如果函數(shù)處在0XXF可導(dǎo),0XXF在且處取得極值,那么00XF則必有極值,3XYXYO00XF二、函數(shù)極值的判定及函數(shù)的最值函數(shù)性態(tài)的研究1極值的必要條件13XYO32XY極值點(diǎn)也可能是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)如,32XY32XY但怎樣從駐點(diǎn)中與導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)判斷一點(diǎn)單減的分界點(diǎn),2不可導(dǎo)0X是極小值點(diǎn)是不是極值點(diǎn)若X0是連續(xù)函數(shù)FX單增、則X0必為極值點(diǎn)幾何上,0X在函數(shù)性態(tài)的研究14定理3第一充分條件且在點(diǎn)連續(xù)在設(shè),0XXF,100時(shí)若當(dāng)XXX0XF0,00時(shí)當(dāng)XXX0XF,0則0XF為嚴(yán)格極大值,20附近不變號(hào)在若XXF0XF則不是極值嚴(yán)格極小值極值的一階充分條件2極值的充分條件XYO0XXYO0X,0O0內(nèi)可導(dǎo)的某去心鄰域XUX函數(shù)性態(tài)的研究150X0X一般求函數(shù)的極值的步驟不是極值點(diǎn)XYOXYOYFX1確定函數(shù)的定義域2找臨界點(diǎn)0FXFX的點(diǎn)和使得不存在的點(diǎn)3列表考慮在臨界點(diǎn)左右兩邊的符號(hào),FX4求極值函數(shù)性態(tài)的研究16例5解11323的極值及單調(diào)區(qū)間求XXXF322113XXXF3131132XX312137111XXX12駐點(diǎn),1X導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)117X1X3列表求相應(yīng)區(qū)間的導(dǎo)數(shù)符號(hào),判別增減性,確定極值點(diǎn)和極值函數(shù)性態(tài)的研究17XXFXF,11117,11171,11711,0非極值極小值01F極小值22117F極大值0不存在極大值駐點(diǎn),1X導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),117X1X11323的極值及單調(diào)區(qū)間求XXXFXF312137111XXX單調(diào)增加區(qū)間,17,11單調(diào)減少區(qū)間7,111函數(shù)性態(tài)的研究18定理4第二充分條件證,00XF如果嚴(yán)格極大值嚴(yán)格極小值為則0XF00XF,0極值的二階充分條件0XF,000LIM0XXXFXFXX0LIM0XXXFXX因此,當(dāng)|0XX充分小時(shí),由極限的保號(hào)性00XXXF可見,XF與0XX異號(hào),0XX當(dāng)0XF,0XX當(dāng)0XF所以,0處取極大值在點(diǎn)XXF第一充分條件對(duì)于駐點(diǎn),有時(shí)還可以利用函數(shù)在該點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號(hào)來判斷極值點(diǎn)自己證極小值情形函數(shù)性態(tài)的研究19例6求函數(shù)SINCOS,02FXXXX的極值函數(shù)性態(tài)的研究20注仍用第一充分條件定理3第二充分條件不能應(yīng)用事實(shí)上,00XF當(dāng),00時(shí)XF處在點(diǎn)0XXF可能有極大值,也可能有極小值,也可能沒有極值如,41XXF,42XF33XXF處在0X分別屬于上述三種情況000FXFX當(dāng)或不存在時(shí),如,1SIN,00,0XXFXXX0F不存在,X0不是極值點(diǎn)函數(shù)性態(tài)的研究21求函數(shù)2223,0YXAA的極值函數(shù)性態(tài)的研究22充分條件來判定有無極值對(duì)于只有駐點(diǎn)而沒有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn),可用第二充分條件判斷有無極值運(yùn)用第一、第二充分條件需要注意若函數(shù)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)時(shí),則可用第一12則函數(shù)性態(tài)的研究23BAABAB1最值的求法XYOXYOXYO3最大值最小值問題函數(shù)性態(tài)的研究241其中最大小者求連續(xù)函數(shù)FX在閉區(qū)間A,B上的最大小值的方法將閉區(qū)間A,B內(nèi)所有駐點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)不存在的區(qū)間端點(diǎn)的就是FX最值必在端2點(diǎn)處達(dá)到點(diǎn)即為可能極值點(diǎn)處的函數(shù)值和函數(shù)值FA,FB比較,在閉區(qū)間A,B上的最大小值當(dāng)FX在閉區(qū)間A,B上單調(diào)時(shí),函數(shù)性態(tài)的研究25例710,1PPFXXX求在上的最值函數(shù)性態(tài)的研究26例8求函數(shù)22,00,11ABYABXX在上的最值提示2,AXABYAB最小值無最大值函數(shù)性態(tài)的研究273,0X0XF且在就是則0XFXF4若連續(xù)函數(shù)FX在區(qū)間I內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)為極大小值,區(qū)間I上的最大小值對(duì)實(shí)際問題常?？墒孪葦喽ㄗ畲笮≈当卦趨^(qū)間內(nèi)部取得,如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)又僅有一個(gè)可能極值點(diǎn),那末這點(diǎn)處的函數(shù)值就是最大小值函數(shù)性態(tài)的研究28實(shí)際問題求最值應(yīng)注意1建立目標(biāo)函數(shù)2求最值若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大小值函數(shù)性態(tài)的研究292應(yīng)用舉例例9從直徑為D的圓形樹干上切出橫截面為矩形的梁,此矩形的底等于B,高等于H若梁的強(qiáng)度與成比例,2BH問梁的尺寸為何時(shí),其強(qiáng)度最大HB解求目標(biāo)函數(shù)2220FBBHBDBBD的最大值2,33DBHD函數(shù)性態(tài)的研究30OZYX例10解HRV22目標(biāo)函數(shù),222RHR由得,222HHRVRH03222HRVHH2HRR12求最大值點(diǎn)半徑為R求內(nèi)接于球的圓柱體的最大體積,設(shè)球的設(shè)圓柱體的高為2H,底半徑為R,體積為V,函數(shù)性態(tài)的研究31圓柱體的最大體積一定存在,故唯一駐點(diǎn)3RH就是最大值點(diǎn),最大體積為33222RRRV3334R令,0HV得3RH舍去負(fù)值唯一駐點(diǎn)3222HRVH函數(shù)性態(tài)的研究32K為某常數(shù)例11鐵路上AB段的距離為100KM,工廠C距A處20ACAB,要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)為使貨物從B運(yùn)到工20AB100C解設(shè),KMXADX則,2022XCD,340052XXKY2340040052XKY令得又所以為唯一的15X極小值點(diǎn),故AD15KM時(shí)運(yùn)費(fèi)最省總運(yùn)費(fèi)廠C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小值點(diǎn),問D點(diǎn)應(yīng)如何取DKM,公路,價(jià)之比為35,函數(shù)性態(tài)的研究33存在一個(gè)取得最大利潤的生產(chǎn)水平如果存在,找出它來售出該產(chǎn)品X千件的收入是例12設(shè)某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品X千件的成本是解售出X千件產(chǎn)品的利潤為XCXRXP61232XXXP得令,0XP5860221X問是否3XXC,1562XX,9XXRXXX6623,126XXP又,01XP02XP故在X23414千件處達(dá)到最大利潤,而在X10586千件處發(fā)生局部最大虧損YXP22OX222432XX4143222X函數(shù)性態(tài)的研究34說明在經(jīng)濟(jì)學(xué)中XC稱為邊際成本XR稱為邊際收入XP稱為邊際利潤由此例分析過程可見,在給出最大利潤的生產(chǎn)水平上,0XP即邊際收入邊際成本（見右圖）22YOX22XXXXC15623成本函數(shù)XXR9收入函數(shù)XCXR即收益最大虧損最大函數(shù)性態(tài)的研究35例13敵人乘汽車從河的北岸A處以1公里/分的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2公里/分問我軍摩托車何時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）北南西東解建立敵我相距函數(shù)關(guān)系分追擊至射擊的時(shí)間處發(fā)起為我軍從設(shè)BT敵我相距函數(shù)2224150TTTSTS1公里50公里4ABTS函數(shù)性態(tài)的研究36222450TTTS2的最小值點(diǎn)求TSSTS245057522TTT,0TS令得唯一駐點(diǎn)51T處發(fā)起追擊后故得我軍從B51分鐘射擊最好北南西東公里50公里4ABTS函數(shù)性態(tài)的研究37例14設(shè)A為任意正數(shù),證明221,0XEXAXX函數(shù)性態(tài)的研究事實(shí)上,LN21A也行381定義XYOABC如何研究曲線的彎曲方向三、函數(shù)的凹凸性函數(shù)性態(tài)的研究39XFYXFY1X2X1X2X221XX221XX圖形上任意弧段位于所張弦的下方圖形上任意弧段位于所張弦的上方XYOXYO定義1設(shè)函數(shù)FXI在區(qū)間內(nèi)連續(xù),若對(duì)任意兩點(diǎn)12,0,1,XXI及數(shù)總有121211FXXFXFX則稱FXI在區(qū)間內(nèi)是下凸凹的121211FXXFXFXFXI在區(qū)間內(nèi)是上凸的函數(shù)性態(tài)的研究401,2若取則定義1中的不等式分別為1212,22XXFXFXF121222XXFXFXF有時(shí)也用這兩個(gè)不等式來定義函數(shù)的凸性另外,若定義中的不等號(hào)為嚴(yán)格不等號(hào),則相應(yīng)有嚴(yán)格凸的定義函數(shù)性態(tài)的研究41XFYXFY曲線弧上每一點(diǎn)的切線定義2上方,稱為下凸弧上凸都在曲線的下XYOXYO函數(shù)性態(tài)的研究即,設(shè)0,FXIXXI在區(qū)間上可導(dǎo)對(duì)000,FXFXFXXXFXI若則稱在上是下凸的000,FXFXFXXXFXI若則稱在上是上凸的42下凸弧的曲線段XFXF即的切線斜率是單增的,是單增的,而上凸弧的切線斜率是單減的,XF即是單減的利用二階導(dǎo)數(shù)判斷曲線的凸性從幾何直觀上,隨著X的增大,43遞增XF0XF遞減XF0XF定理52函數(shù)凸性的判別法XYOABABXFYXYOABABXFY如果函數(shù)內(nèi)二階導(dǎo),0,FXXAB且則函數(shù),FXCABAB,在0,FXAB是上的下凸函數(shù)上凸函數(shù)性態(tài)的研究44證明的提示12012,1XXIXXX對(duì)記120,FXFXXTAYLOR分別將在展成公式函數(shù)性態(tài)的研究45注意1若定理1中的條件0,FX0,FX或改為0,FX0,FX或其中使得0FX的點(diǎn)不構(gòu)成I的子區(qū)間,則定理的結(jié)論仍然成立2定理2不論對(duì)于開、閉、有限或無窮區(qū)間都正確函數(shù)性態(tài)的研究46例15討論函數(shù)321YXX的凸性提示33425152,39XXYYXX210,0,55YXYX令得令得0,XYY且時(shí)不存在3151,5625拐點(diǎn)函數(shù)性態(tài)的研究47定義3若函數(shù)0,FXX在連續(xù)且其左,右兩側(cè)鄰近凸性相反,則稱點(diǎn)00,XFXYFX是曲線上的拐點(diǎn)3、曲線的拐點(diǎn)及其求法函數(shù)性態(tài)的研究48定義連續(xù)曲線上凸性發(fā)生變化的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)INFLECTIONPOINT3XYXYO幾何上拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線結(jié)論若曲線位于點(diǎn)00,XFX處的切線的兩側(cè),則00,XFX是拐點(diǎn)函數(shù)性態(tài)的研究49找拐點(diǎn)的方法1確定函數(shù)的定義域2找臨界點(diǎn)0FXFX令或不存在的點(diǎn)3列表由臨界點(diǎn)將函數(shù)的定義域分成幾個(gè)區(qū)間,在各個(gè)區(qū)間上再討論FX的符號(hào),0FXX考慮在點(diǎn)附近的符號(hào),符號(hào)變化的是拐點(diǎn),符號(hào)不變的不是拐點(diǎn)注意拐點(diǎn)指的是曲線上的點(diǎn)函數(shù)性態(tài)的研究4下結(jié)論501,0,0221NYXYXYXYXNNNNTTFTFTF21YFXF即NNNYXYX221例16證,1NNT21NTNN0YXT,0內(nèi)任意兩點(diǎn)對(duì)2YXF0T設(shè)圖形是嚴(yán)格下凸的利用函數(shù)圖形的凸性證明不等式函數(shù)性態(tài)的研究51利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形確定函數(shù)的定義域、值域、間斷點(diǎn),函數(shù)是否有奇偶性、周期性判定四、函數(shù)作圖求曲線的漸近線求臨界點(diǎn)列表,討論函數(shù)的單調(diào)性,凸性,極值和拐點(diǎn)描點(diǎn)函數(shù)性態(tài)的研究52例172142的圖形作函數(shù)XXXF解,0XD非奇非偶函數(shù),243XXXF384XXXF,0XF令,2X得駐點(diǎn),0XF令3X得214LIMLIM2XXXFXX,22Y水平漸近線函數(shù)性態(tài)的研究53214LIMLIM200XXXFXX,0X鉛直漸近線X3,02,330,2XFXF00XF20不存在拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn)3926,3無斜漸近線324XXXF438XXXF2142XXXF列表確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間,凸性區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn)函數(shù)性態(tài)的研究54,0,31,2,1,6,11,2作圖2142XXXF拐點(diǎn)926,3極小值32F補(bǔ)充點(diǎn),0,31XXFXFXF3,02,330,2200不存在0拐點(diǎn)極小值間斷點(diǎn),2Y0X水平漸近線垂直漸近線XYO316221123函數(shù)性態(tài)的研究55定理5設(shè)0YFXX在的鄰域內(nèi)有N階導(dǎo)數(shù),100000,NFXFXFXFX且00,2,3,NFXN但則0,0NNFX1當(dāng)為偶數(shù)且0FXFX則是的極大值,0小00,XFXYFX此時(shí)不是的拐點(diǎn),N2當(dāng)為奇數(shù)時(shí)0FXFX不是的極值00,XFXYFX此時(shí)是的拐點(diǎn)函數(shù)性態(tài)的研究56證明的提示利用帶PEANO型余項(xiàng)的TAYLOR公式,有0000NNNFXFXFXXXOXXN從而0000LIMNNXXFXFXFXNXX0,0,NNFX1當(dāng)為偶數(shù)且時(shí)利用極限的保序性知道,00FXFX0FXFX從而是的極大值,0,0小函數(shù)性態(tài)的研究57,N2當(dāng)為奇數(shù)時(shí)此時(shí),曲線00,YFX