第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,(1)函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式。我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用：,方法：直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。瑏?lái)證明不等式成立。,例1、證明：當(dāng)x0時(shí)，xln(1+x),解：設(shè)f(x)=x-ln(1+x).,即xln(1+x).,所以f(x)在x0上單調(diào)遞增，,從而當(dāng)x0時(shí)，有f(x)f(0)=0即f(x)0,例2:當(dāng)x1時(shí),證明不等式:,證:設(shè),顯然,當(dāng)x1時(shí),故f(x)是（1,+)上的增函數(shù).,所以當(dāng)x1時(shí),f(x)f(1)=0,即當(dāng)x1時(shí),f(x)0,例3已知：x0，求證：xsinx,證明設(shè)f(x)xsinx(x0)f(x)1cosx0對(duì)x(0，)恒成立函數(shù)f(x)xsinx在(0，)上是單調(diào)增函數(shù)f(x)f(0)0f(x)0即xsinx0對(duì)x(0，)恒成立即：xsinx(x0),有時(shí)把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。,方法2：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題。,例7、求證,證明：設(shè),在x=1附近由負(fù)到正,令=0,解得x=1,當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值，這里也是最小值,所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(1)=0,從而,小結(jié):,求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值(極大值與極小值);,將函數(shù)y=f(x)的各極值與f(a)、f(b)（即端點(diǎn)的函數(shù)值）作比較,其中最大的一個(gè)為最