2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)文試題（北京卷，含解析）一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1、若集合，則（ ）A BC D【答案】A考點(diǎn)：集合的交集運(yùn)算.2、圓心為且過原點(diǎn)的圓的方程是（ ）A BC D【答案】D【解析】試題分析：由題意可得圓的半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.考點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3、下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）A B C D【答案】B【解析】試題分析：根據(jù)偶函數(shù)的定義，A選項(xiàng)為奇函數(shù)，B選項(xiàng)為偶函數(shù)，C選項(xiàng)定義域?yàn)椴痪哂衅媾夹裕珼選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，故選B.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見下表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為（ ）A B C D類別人數(shù)老年教師中年教師青年教師合計(jì)【答案】C【解析】試題分析：由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.考點(diǎn)：分層抽樣.5、執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的的值為（ ）A B C D【答案】B考點(diǎn)：程序框圖.6、設(shè)，是非零向量，“”是“”的（ ）A充分而不必要條件 B必要而不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：，由已知得，即，.而當(dāng)時(shí)，還可能是，此時(shí)，故“”是“”的充分而不必要條件.考點(diǎn)：充分必要條件、向量共線.7、某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（ ）A B C D【答案】C【解析】試題分析：四棱錐的直觀圖如圖所示：由三視圖可知，平面ABCD，SA是四棱錐最長的棱，.考點(diǎn)：三視圖.8、某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時(shí)的情況加油時(shí)間加油量（升）加油時(shí)的累計(jì)里程（千米）年月日年月日注：“累計(jì)里程“指汽車從出廠開始累計(jì)行駛的路程，在這段時(shí)間內(nèi)，該車每千米平均耗油量為（ ）A升 B升 C升 D升【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)榈谝淮梧]箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時(shí)間內(nèi)的耗油量，故耗油量升. 而這段時(shí)間內(nèi)行駛的里程數(shù)千米. 所以這段時(shí)間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為升，故選B.考點(diǎn)：平均耗油量.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）9、復(fù)數(shù)的實(shí)部為 【答案】-1【解析】試題分析：復(fù)數(shù)，其實(shí)部為-1.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.10、，三個(gè)數(shù)中最大數(shù)的是 【答案】【解析】試題分析：，所以最大.考點(diǎn)：比較大小.11、在中，則 【答案】【解析】試題分析：由正弦定理，得，即，所以，所以.考點(diǎn)：正弦定理.12、已知是雙曲線（）的一個(gè)焦點(diǎn)，則 【答案】【解析】試題分析：由題意知，所以.考點(diǎn)：雙曲線的焦點(diǎn).13、如圖，及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為，為中任意一點(diǎn)，則的最大值為 【答案】7考點(diǎn)：線性規(guī)劃.14、高三年級(jí)位學(xué)生參加期末考試，某班位學(xué)生的語文成績(jī)，數(shù)學(xué)成績(jī)與總成績(jī)?cè)谌昙?jí)中的排名情況如下圖所示，甲、乙、丙為該班三位學(xué)生從這次考試成績(jī)看，在甲、乙兩人中，其語文成績(jī)名次比其總成績(jī)名次靠前的學(xué)生是 ；在語文和數(shù)學(xué)兩個(gè)科目中，丙同學(xué)的成績(jī)名次更靠前的科目是 【答案】乙、數(shù)學(xué)【解析】試題分析：由圖可知，甲的語文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠后；而乙的語文成績(jī)排名比總成績(jī)排名靠前，故填乙.由圖可知，比丙的數(shù)學(xué)成績(jī)排名還靠后的人比較多；而總成績(jī)的排名中比丙排名靠后的人數(shù)比較少，所以丙的數(shù)學(xué)成績(jī)的排名更靠前，故填數(shù)學(xué).考點(diǎn)：散點(diǎn)圖.三、解答題（本大題共6小題，共80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟）15、（本小題滿分13分）已知函數(shù)（）求的最小正周期；（）求在區(qū)間上的最小值【答案】（1）；（2）.考點(diǎn)：倍角公式、兩角和的正弦公式、三角函數(shù)的周期、三角函數(shù)的最值.16、（本小題滿分13分）已知等差數(shù)列滿足，（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)等比數(shù)列滿足，問：與數(shù)列的第幾項(xiàng)相等？【答案】（1）；（2）與數(shù)列的第63項(xiàng)相等.【解析】試題分析：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，將轉(zhuǎn)化成和d，解方程得到和d的值，直接寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；第二問，先利用第一問的結(jié)論得到和的值，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，將和轉(zhuǎn)化為和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一問等差數(shù)列的通項(xiàng)公式中，解出n的值，即項(xiàng)數(shù).試題解析：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d.因?yàn)?，所?又因?yàn)椋?，?所以 .（）設(shè)等比數(shù)列的公比為.因?yàn)?，所以?所以.由，得.所以與數(shù)列的第63項(xiàng)相等.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式.17、（本小題滿分13分）某超市隨機(jī)選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“”表示購買，“”表示未購買商品顧客人數(shù)甲乙丙?。ǎ┕烙?jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；（）估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買中商品的概率；（）如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？【答案】（1）0.2；（2）0.3；（3）同時(shí)購買丙的可能性最大.【解析】試題分析：本題主要考查統(tǒng)計(jì)表、概率等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購買乙和丙的人數(shù)200，計(jì)算出概率；第二問，先由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買中商品的人數(shù)100+200，再計(jì)算概率；第三問，由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購買甲和乙的人數(shù)為200，顧客同時(shí)購買甲和丙的人數(shù)為100+200+300，顧客同時(shí)購買甲和丁的人數(shù)為100，分別計(jì)算出概率，再通過比較大小得出結(jié)論.試題解析：（）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這1000位顧客中，有200位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為.（）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在在這1000位顧客中，有100位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有200位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買3種商品的概率可以估計(jì)為.（）與（）同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為，顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為，顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)表、概率.18、（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，分別為，的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求證：平面平面；（）求三棱錐的體積【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析；（3）.【解析】試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，在三角形ABV中，利用中位線的性質(zhì)得，最后直接利用線面平行的判定得到結(jié)論；第二問，先在三角形ABC中得到，再利用面面垂直的性質(zhì)得平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出結(jié)論；第三問，將三棱錐進(jìn)行等體積轉(zhuǎn)化，利用，先求出三角形VAB的面積，由于平面VAB，所以O(shè)C為錐體的高，利用錐體的體積公式計(jì)算出體積即可.試題解析：（）因?yàn)榉謩e為AB，VA的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫鍹OC，所以平面MOC.（）因?yàn)?，為AB的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫鎂AB平面ABC，且平面ABC，所以平面VAB.所以平面MOC平面VAB.（）在等腰直角三角形中，所以.所以等邊三角形VAB的面積.又因?yàn)槠矫鎂AB，所以三棱錐C-VAB的體積等于.又因?yàn)槿忮FV-ABC的體積與三棱錐C-VAB的體積相等，所以三棱錐V-ABC的體積為.考點(diǎn)：線線平行、線面平行、面面平行、線線垂直、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積公式.19、（本小題滿分13分）設(shè)函數(shù)，（）求的單調(diào)區(qū)間和極值；（）證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；極小值；（2）證明詳見解析.所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值.（）由（）知，在區(qū)間上的最小值為.因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，從而.當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn). 考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值、函數(shù)零點(diǎn)問題.20、（本小題滿分14分）已知橢圓，過點(diǎn)且不過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)（）求橢圓的離心率；（）若垂直于軸，求直線的斜率；（）試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由【答案】（1）；（2）1；（3）直線BM與直線DE平行.【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)、直線的斜率、兩直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，先將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到a，b，c的值，再利用計(jì)算離心率；第二問，由直線AB的特殊位置，設(shè)出A，B點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線AE的方程，由于直線AE與x=3相交于M點(diǎn)，所以得到M點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)B、點(diǎn)M的坐標(biāo)，求直線BM的斜率；第三問，分直線AB的斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論，第一種情況，直接分析即可得出結(jié)論，第二種情況，先設(shè)出直線AB和直線AE的方程，將橢圓方程與直線AB的方程聯(lián)立，消參，得到和，代入到中，只需計(jì)算出等于0即可證明，即兩直線平