1 法門(mén)高中教學(xué)樓 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 北師大版高中數(shù)學(xué)必修3第一章 統(tǒng)計(jì) 2 一 教學(xué)目標(biāo) 1 知識(shí)與技能 1 正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用 學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 2 能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本 從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征 如平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 并做出合理的解釋 3 會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征 4 形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí) 2 過(guò)程與方法 在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中 進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想 理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法 3 情感態(tài)度與價(jià)值觀 會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用 能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系 二 重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn) 用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 難點(diǎn) 能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 三 教學(xué)方法 探究歸納 思考交流四 教學(xué)過(guò)程 3 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 4 一 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)的概念 中位數(shù) 將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列 把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù) 或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù) 叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù) 眾數(shù) 在一組數(shù)據(jù)中 出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)的特征數(shù) 只是描述的角度不同 其中以平均數(shù)的應(yīng)用最為廣泛 5 練習(xí) 在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上 參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭?分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù) 中位數(shù)與平均數(shù) 解 在17個(gè)數(shù)據(jù)中 1 75出現(xiàn)了4次 出現(xiàn)的次數(shù)最多 即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1 75 上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的 其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1 70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù) 即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1 70 6 這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 答 17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)依次是1 75 米 1 70 米 1 69 米 7 例如 在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問(wèn)題中 從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出 月均用水量的眾數(shù)是2 25t 如圖所示 二 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系 1 眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中 就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo) 8 2 在樣本中 有50 的個(gè)體小于或等于中位數(shù) 也有50 的個(gè)體大于或等于中位數(shù) 因此 在頻率分布直方圖中 中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等 由此可以估計(jì)中位數(shù)的值 下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值 此數(shù)據(jù)值為2 03t 9 說(shuō)明 2 03這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值 與樣本的中位數(shù)值2 0不一樣 這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖 只是直觀地表明分布的形狀 但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容 所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致 10 下圖顯示了居民月均用水量的平均數(shù) 3 平均數(shù)是頻率分布直方圖的 重心 是直方圖的平衡點(diǎn) n個(gè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)由公式 給出 11 三 三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點(diǎn) 1 眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn) 但它對(duì)其它數(shù)據(jù)信息的忽視使得無(wú)法客觀地反映總體特征 如上例中眾數(shù)是2 25t 它告訴我們 月均用水量為2 25t的居民數(shù)比月均用水量為其它數(shù)值的居民數(shù)多 但它并沒(méi)有告訴我們多多少 12 2 中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線 它不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響 這在某些情況下是優(yōu)點(diǎn) 但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn) 如上例中假設(shè)有某一用戶(hù)月均用水量為10t 那么它所占頻率為0 01 幾乎不影響中位數(shù) 但顯然這一極端值是不能忽視的 13 3 由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本的數(shù)據(jù)有關(guān) 所以任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變 這是眾數(shù) 中位數(shù)都不具有的性質(zhì) 也正因如此 與眾數(shù) 中位數(shù)比較起來(lái) 平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息 但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中的極端值的影響較大 使平均數(shù)在估計(jì)時(shí)可靠性降低 14 四 眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例某工廠人員及工資構(gòu)成如下 1 指出這個(gè)問(wèn)題中周工資的眾數(shù) 中位數(shù) 平均數(shù) 2 這個(gè)問(wèn)題中 工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎 為什么 解 眾數(shù)為200 中位數(shù)為220 平均數(shù)為300 因平均數(shù)為300 由表格中所列出的數(shù)據(jù)可見(jiàn) 只有經(jīng)理在平均數(shù)以上 其余的人都在平均數(shù)以下 故用平均數(shù)不能客觀真實(shí)地反映該工廠的工資水平 15 標(biāo)準(zhǔn)差 16 平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息 但是平均有時(shí)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷 因?yàn)檫@個(gè)平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況 而這些極端情況顯然是不能忽的 因此 只有平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài) 如 有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測(cè)試中各射靶10次 每次命中的環(huán)數(shù)如下 甲 乙 如果你是教練 你應(yīng)當(dāng)如何對(duì)這次射擊作出評(píng)價(jià) 如果看兩人本次射擊的平均成績(jī) 由于 兩人射擊的平均成績(jī)是一樣的 那么兩個(gè)人的水平就沒(méi)有什么差異嗎 17 甲 4 5 6 7 8 9 10 環(huán)數(shù) 頻率 0 1 0 2 0 3 頻率 乙 直觀上看 還是有差異的 如 甲成績(jī)比較分散 乙成績(jī)相對(duì)集中 如上圖所示 因此 我們還需要從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù) 例如 在作統(tǒng)計(jì)圖表時(shí)提到過(guò)的極差 18 甲的環(huán)數(shù)極差 10 4 6乙的環(huán)數(shù)極差 9 5 4 它們?cè)谝欢ǔ潭壬媳砻髁藰颖緮?shù)據(jù)的分散程度 與平均數(shù)一起 可以給我們?cè)S多關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的信息 顯然 極差對(duì)極端值非常敏感 注意到這一點(diǎn) 我們可以得到一種 去掉一個(gè)最高分 去掉一個(gè)最低分 的統(tǒng)計(jì)策略 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小 最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差 標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離 一般用s表示 所謂 平均距離 其含義可作如下理解 19 由于上式含有絕對(duì)值 運(yùn)算不太方便 因此 通常改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差 一個(gè)樣本中的個(gè)體與平均數(shù)之間的距離關(guān)系可用下圖表示 考慮一個(gè)容量為2的樣本 20 顯然 標(biāo)準(zhǔn)差越大 則a越大 數(shù)據(jù)的離散程度越大 標(biāo)準(zhǔn)差越小 數(shù)據(jù)的離散程度越小 用計(jì)算器可算出甲 乙兩人的的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差 由可以知道 甲的成績(jī)離散程度大 乙的成績(jī)離散程度小 由此可以估計(jì) 乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定 上面兩組數(shù)據(jù)的離散程度與標(biāo)準(zhǔn)差之間的關(guān)系可用圖直觀地表示出來(lái) 21 例題1 畫(huà)出下列四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖 說(shuō)明它們的異同點(diǎn) 解 四組樣本數(shù)據(jù)的直方圖是 22 23 四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是5 0 標(biāo)準(zhǔn)差分別是0 00 0 82 1 49 2 83 雖然它們有相同的平均數(shù) 但是它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差 說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的 標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋 例如 在關(guān)于居民月均用水量的例子中 平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差s 0 868 所以 24 例2甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25 40mm的一種零件 為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比 從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件 量得其內(nèi)徑尺寸如下 單位 mm 甲25 46 25 32 25 45 25 39 25 3625 34 25 42 25 45 25 38 25 4225 39 25 43 25 39 25 40 25 4425 40 25 42 25 35 25 41 25 39 乙25 40 25 43 25 44 25 48 25 4825 47 25 49 25 49 25 36 25 3425 33 25 43 25 43 25 32 25 4725 31 25 32 25 32 25 32 25 48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看 誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高 25 分析 每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體 由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出 內(nèi)徑25 40mm 生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來(lái)衡量 總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸25 00mm的差異在時(shí)質(zhì)量低 差異小時(shí)質(zhì)量高 當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí) 總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高 標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低 這樣比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可 但是這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的 根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想 我們可以通過(guò)抽樣分別獲得相應(yīng)的樣體數(shù)據(jù) 然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差 以此作為兩個(gè)總體之間的估計(jì)值 解 用計(jì)算器計(jì)算可得 26 從樣本平均數(shù)看 甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn) 25 40mm 但是差異很小 從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看 由于 從上述例子我們可以看到 對(duì)一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑 總體 的質(zhì)量判斷 與我們抽取的內(nèi)徑 樣本數(shù)據(jù) 直接相關(guān) 顯然 我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本 為什么 這樣 盡管總體是同一個(gè) 但由于樣本不同 相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)差等都會(huì)發(fā)生改變 這就會(huì)影響到我們對(duì)總體情況的估計(jì) 如果樣本的的代表性差 那么對(duì)總體所作出的估計(jì)就會(huì)產(chǎn)生偏差 樣本沒(méi)有代表性時(shí) 對(duì)總體作出錯(cuò)誤估計(jì)的可能性就非常大 這也正