.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（1）隨機(jī)試驗(yàn) 樣本空間 隨機(jī)事件 概率的定義 古典概型3設(shè)是三事件，且，求至少有一個(gè)發(fā)生的概率 解：由于，所以4設(shè)是兩事件，且問(wèn)：（1）在什么條件下取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下取到最小值，最小值是多少？ 解：由于，所以（1）當(dāng)時(shí)，取最大值0.6；（2）當(dāng)時(shí)，取最小值0.35某工廠有10個(gè)車(chē)間，每個(gè)車(chē)間選出2名代表出席職工代表會(huì)議，又從這20名代表中任選出10人組成工會(huì)委員會(huì)求：（1）第二車(chē)間在工會(huì)委員會(huì)中有代表的概率；（2）每個(gè)車(chē)間在工會(huì)委員會(huì)中都有代表的概率 解：令第二車(chē)間在工會(huì)委員會(huì)中有代表，每個(gè)車(chē)間在工會(huì)委員會(huì)中都有代表，則（1）；（2）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（2）條件概率 獨(dú)立性3 甲、乙、丙3臺(tái)機(jī)床加工同一種零件，零件由各臺(tái)機(jī)床加工的百分比依次是50%，30%，20%各機(jī)床加工的優(yōu)質(zhì)品率依次是80%，85%，90%，將加工的零件放在一起，從中任取1個(gè)，求取得優(yōu)質(zhì)品的概率 解：令取到的產(chǎn)品是甲機(jī)床加工的，取到的產(chǎn)品是乙機(jī)床加工的， 取到的產(chǎn)品是丙機(jī)床加工的，取得優(yōu)質(zhì)品則4 將兩信息分別編碼為和傳遞出去，接收站收到時(shí)，信息被誤收作的概率為0.02，而被誤收作的概率為0.01信息與信息傳送的頻繁程度為21若接收站收到的信息是，問(wèn)原發(fā)信息是的概率是多少？ 解：令原發(fā)信息是A，收到的信息是A，則 5 甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落求飛機(jī)被擊落的概率 解：令飛機(jī)被擊落，恰有人擊中飛機(jī)，則，從而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（3）離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3 一汽車(chē)沿街行駛，需通過(guò)3個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠不依賴(lài)于其他信號(hào)燈，而且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等，以表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù)，求的分布律 解 表示汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口數(shù)，其可能取值為0，1，2，3，則， ， 4 設(shè)隨機(jī)變量，求：（1）；（2）常數(shù)，使；（3）常數(shù)，使 解 (1)(2)由于，所以，因此(3)由于 ，所以，即，于是，從而設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求：（1）常數(shù)；（2）的分布函數(shù)； 解 (1)；(2)(3)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（4）二維隨機(jī)變量、邊緣分布與條件分布姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3已知服從參數(shù)的（0-1）分布，在及下關(guān)于的條件分布律分別為.123123.求的分布律 解 依題意， 于是有 ， ， ，所以的分布律為 123014 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為（1）求常數(shù)；（2）求的分布函數(shù)；（2）求 解 (1)由，知(2) (3)5已知平面區(qū)域由曲線及直線圍成，在上服從均勻分布求（1）的聯(lián)合密度函數(shù)；（2）和的邊緣密度函數(shù) 解 由于，故(1)；(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（5）隨機(jī)變量的獨(dú)立性、隨機(jī)變量函數(shù)的分布姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3 設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，求的分布律. 解 的可能取值為，而，故，則的分布律為-1014一電子儀器由兩部件構(gòu)成，以和分別表示兩部件的壽命（單位：千小時(shí)），已知和的聯(lián)合分布函數(shù)為（1）問(wèn)和是否相互獨(dú)立？（2）求兩部件的壽命均超過(guò)100小時(shí)的概率 解 (1)，即 有 ，故和相互獨(dú)立(2)5設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，其密度函數(shù)分別為.求隨機(jī)變量的分布函數(shù) 解 由于、獨(dú)立，因此所以即 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（6）數(shù)學(xué)期望、方差 姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3 對(duì)某目標(biāo)進(jìn)行射擊，直到擊中為止，如果每次命中率為，求射擊次數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差 解 的可能取值為，而，故，。4一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為工廠規(guī)定，出售的設(shè)備若在售出一年之內(nèi)損壞可予以調(diào)換，若工廠售出一臺(tái)設(shè)備盈利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈盈利的數(shù)學(xué)期望 解 由于 所以（元）概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（7）協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、大數(shù)定律與中心極限定理姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3 在一零件商店中，其結(jié)帳柜臺(tái)替各顧客服務(wù)的時(shí)間（以分計(jì)）是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，均值為1.5，方差為1，求對(duì)100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不多余2小時(shí)的概率 解 用表示柜臺(tái)替第位顧客服務(wù)的時(shí)間，則4 某種難度很大的心臟手術(shù)成功率為0.9，對(duì)100個(gè)病人進(jìn)行這種手術(shù)，以記手術(shù)成功的人數(shù)，求 解 由于，故5 為了確定事件發(fā)生的概率，進(jìn)行10000次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，試分別用切比雪夫不等式和中心極限定理估計(jì)：用事件在10000次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為概率的近似值，誤差小于0.01的概率 解 以表示次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則，用切比雪夫不等式：。用中心極限定理：6 某單位設(shè)置一臺(tái)電話總機(jī)，共有200個(gè)分機(jī)，設(shè)每個(gè)分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話，各個(gè)分機(jī)使用外線與否是相互獨(dú)立的，該單位需要多少外線才能保證每個(gè)分機(jī)要用外線時(shí)可供使用的概率不小于0.9? 解 設(shè)為同一時(shí)刻使用外線通話的分機(jī)數(shù)，則。為需要的外線數(shù)，依題意，要確定，使得，而，故，即，取故該單位需要14根外線才能保證每個(gè)分機(jī)要用外線時(shí)可供使用的概率達(dá)到0.9概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（8）樣本及其分布姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3 設(shè)總體，從總體中抽取一個(gè)容量為的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于的概率 解 由于，故4 設(shè)為總體的一個(gè)樣本，為其樣本方差，且。若樣本容量滿足，求的最小值 解 由于 ，故，從而，而，所以，即，取5設(shè)為總體的一個(gè)樣本，令，證明： 證 因?yàn)?，所以，而，且與獨(dú)立，于是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（9）點(diǎn)估計(jì)、評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3計(jì)算題（1）設(shè)總體具有分布律X1 2 3 P 其中（01）為未知參數(shù)已知取得了樣本試求的矩估計(jì)值 解 ，令，解之得的矩估計(jì)量 ，而，由此得的矩估計(jì)值 （2） 設(shè)某種元件的使用壽命的概率密度為，其中為未知參數(shù)又是的一組樣本觀測(cè)值，求參數(shù)的極大似然估計(jì)值 解 因?yàn)椋?，從而，于是，越大似然函?shù)越大，但，因此的極大似然估計(jì)值為（3）設(shè)總體，為總體的一個(gè)樣本，試證明：，都是的無(wú)偏估計(jì)量，并分析哪一個(gè)最好 5證 因?yàn)椋?，所以都是的無(wú)偏估計(jì)量，且，從而最好（4） 證明在樣本的一切線性組合中，是總體期望值的無(wú)偏估計(jì)中有效的估計(jì)量 證 設(shè)是的無(wú)偏估計(jì)，則，故，即設(shè)總體方差為，則， 解之得，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，即是的此種類(lèi)型的無(wú)偏估計(jì)中有效的估計(jì)量概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)題（10）區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)姓名 學(xué)號(hào) 班級(jí) 3計(jì)算題（1）巖石密度的測(cè)量結(jié)果，現(xiàn)抽取12個(gè)樣品，測(cè)得當(dāng)未知時(shí)，求方差的置信區(qū)間（）（2）若總體與相互獨(dú)立，已知樣本數(shù)據(jù)；求取時(shí)，的置信區(qū)間（3）設(shè)某次考試學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)地抽