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有界性最小值與最大值定理介值定理與零點定理 第十一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 一 有界性 二 最大值與最小值定理 定義1 最大值和最小值統(tǒng)稱為最值 最大值點和最小值點統(tǒng)稱為最值點 例如 注定理中的連續(xù)性與閉區(qū)間條件缺一不可 即若區(qū)間是開區(qū)間 定理不一定成立 若區(qū)間內(nèi)有間斷點 定理不一定成立 例如 函數(shù)y x在 0 1 內(nèi)連續(xù) 卻沒有最大 小值 又如 函數(shù) 又如 函數(shù) 三 介值定理與零點定理 定義2 幾何解釋 在 a b 上連續(xù)的曲線y x 的兩個端點如果分布在x軸的兩側(cè) 則在 a b 內(nèi) 此曲線必與x軸至少有一個交點 證 由最大值最小值定理可知 在 a b 上存在兩點 令 于是 由零點定理得 至少存在一點 使得 即有 使得 零點定理的應(yīng)用 零點存在定理給了大家一個判定方程在某個區(qū)間上是否有根以及尋找近似根的方法 證 由零點定理 例1 并求出根的近似值 近似根的求法 對分區(qū)間法 證 函數(shù)在閉區(qū)間 0 1 上連續(xù) 且 則f x 在閉區(qū)間 0 1 上滿足零點存在定理 在開區(qū)間 0 1 內(nèi) 即得證 練一練 證 由零點定理 練一練 解 試算 根據(jù)代數(shù)基本定理三次多項式最多有三個實根 練一練 證 練一練 矛盾 四個定理 有界性定理 最值定理 介值定理 零點 根的存在性 定理 注意1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點不滿足上述定理不一定成立 解題思路 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 2 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù)F x 再利用零點

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