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閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有著十分優(yōu)良的性質(zhì) 這些性質(zhì)在函數(shù)的理論分析 研究中有著重大的價值 起著十分重要的作用 下面我們就不加證明地給出這些結(jié)論 好在這些結(jié)論在幾何意義是比較明顯的 一 最大值和最小值定理 定義 例如 定理1 最大值和最小值定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值 注意 1 若區(qū)間是開區(qū)間 定理不一定成立 2 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn) 定理不一定成立 定理2 有界性定理 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界 證 二 介值定理 定義 幾何解釋 證 由零點(diǎn)定理 幾何解釋 例1 證 由零點(diǎn)定理 推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值 例2 證 由零點(diǎn)定理 例3 證 由零點(diǎn)定理知 總之 注 方程f x 0的根 函數(shù)f x 的零點(diǎn) 有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法 10直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 20間接法 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù) 再利用零點(diǎn)定理 輔助函數(shù)的作法 1 將結(jié)論中的 或x0或c 改寫成x 2 移項(xiàng)使右邊為0 令左邊的式子為F x 則F x 即為所求 區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出 余下只須驗(yàn)證F x 在所討論的區(qū)間上連續(xù) 再比較一下兩個端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號 或指出要證的值介于F x 在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間 三 小結(jié) 四個定理 有界性定理 最值定理 介值定理 根的存在性定理 注意1 閉區(qū)間 2 連續(xù)函數(shù) 這兩點(diǎn)不滿足上述定理不一定成立 解題思路 1 直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 2 輔助函數(shù)法 先作輔助函數(shù)F x

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