趨勢外推法,一、趨勢外推法概念：如果通過對時間序列的分析和計(jì)算,能找到一條比較合適的函數(shù)曲線來近似反映社會經(jīng)濟(jì)變量y關(guān)于時間t的變化和趨勢,那么當(dāng)有理由相信這種規(guī)律和趨勢能夠延伸到未來時,便可用此模型對該社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的未來進(jìn)行預(yù)測,這就是趨勢外推法。,趨勢外推法的兩個假定：（1）社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的發(fā)展過程是漸進(jìn)的,沒有跳躍式突變；（2）社會經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象未來與過去的發(fā)展變化規(guī)律基本一致。,二、趨勢模型的種類多項(xiàng)式曲線外推模型：一次（線性）預(yù)測模型：二次（二次拋物線）預(yù)測模型：三次（三次拋物線）預(yù)測模型：一般形式：,指數(shù)曲線預(yù)測模型：一般形式：修正的指數(shù)曲線預(yù)測模型：,對數(shù)曲線預(yù)測模型：生長曲線趨勢外推法：皮爾曲線預(yù)測模型：龔珀茲曲線預(yù)測模型：,三、趨勢模型的選擇方法經(jīng)驗(yàn)法:數(shù)學(xué)和經(jīng)濟(jì)分析結(jié)合,選定模型圖形識別法：這種方法是通過繪制散點(diǎn)圖來進(jìn)行的，即將時間序列的數(shù)據(jù)繪制成以時間t為橫軸，時序觀察值為縱軸的圖形，觀察并將其變化曲線與各類函數(shù)曲線模型的圖形進(jìn)行比較，以便選擇較為合適的模型。有時所繪圖形與幾種數(shù)學(xué)模型的曲線相近,可試算,計(jì)算回溯擬合值,選擇均方差最小的模型。,差分法：利用差分法把數(shù)據(jù)修勻，使非平穩(wěn)序列達(dá)到平穩(wěn)序列。差分法可分為普通差分法和廣義差分法兩類。一階、二階、k階差分廣義差分法就是先計(jì)算時間序列的廣義差分(時間序列的倒數(shù)或?qū)?shù)的差分,以及相鄰項(xiàng)的比率或差分的比率等),然后,根據(jù)算得的時間序列差分的特點(diǎn),選擇適宜的數(shù)學(xué)模型。,差分法識別標(biāo)準(zhǔn)：,多項(xiàng)式趨勢預(yù)測模型及應(yīng)用特別:直線(一元時間回歸)模型參數(shù)估計(jì)的簡捷算法套用參數(shù)估計(jì)公式,注意到,yt一般都是等間隔的時期或時點(diǎn)指標(biāo)值,它與時間t并無嚴(yán)格的因果關(guān)系。時間t的取值只起到一種標(biāo)明事物發(fā)展先后次序的作用,只要保持t的等間隔性及其先后次序,我們可以給t賦以任何數(shù)值。通常讓t的T個取值以原點(diǎn)為對稱,從而有化簡公式為,例1:某市最近幾年工業(yè)總產(chǎn)值資料如下表所列,試預(yù)測1999年該市的工業(yè)總產(chǎn)值。,解:若畫出散點(diǎn)圖,看出,時間序列呈明顯的線性趨勢。計(jì)算一階差分,基本上接近一個常數(shù),其波動范圍在0.50.8之間。因此,可配一元線性時間回歸模型進(jìn)行預(yù)測。利用如上公式,易得回歸模型為1999年對應(yīng)的t=5預(yù)測該年的工業(yè)總產(chǎn)值,指數(shù)曲線趨勢外推法,一、常見的指數(shù)曲線模型指數(shù)曲線預(yù)測模型：修正指數(shù)曲線預(yù)測模型:,二、模型的選擇廣義差分法對于指數(shù)曲線,一階差比率(也稱環(huán)比)為常數(shù)對修正的指數(shù)曲線,一階差分比率當(dāng)時間序列算得的一階差分比率大致相等時,就可以配修正指數(shù)曲線模型進(jìn)行預(yù)測。,指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用,對指數(shù)曲線模型取對數(shù),作變換,轉(zhuǎn)化為直線模型。為計(jì)算方便,仍然約定于是,例2:某自行車廠最近幾年產(chǎn)量數(shù)據(jù)如下表所列,試預(yù)測該廠1999年的產(chǎn)量。指數(shù)曲線預(yù)測模型:預(yù)測1999年的產(chǎn)量,曲線的擬合優(yōu)度分析實(shí)際的預(yù)測對象往往無法通過圖形直觀確認(rèn)某種模型，而是與幾種模型接近。這時，一般先初選幾個模型，待對模型的擬合優(yōu)度分析后再確定究竟用哪一種模型。評判擬合優(yōu)度的好壞一般使用標(biāo)準(zhǔn)誤差來作為優(yōu)度好壞的指標(biāo)：,例3:下表是我國1952年到1983年社會商品零售總額(按當(dāng)年價格計(jì)算），分析預(yù)測我國社會商品零售總額。,（1）對數(shù)據(jù)畫折線圖分析，以社會商品零售總額為y軸，年份為x軸。,（2）從圖形可以看出大致的曲線增長模式，較符合的模型有二次曲線和指數(shù)曲線模型。但無法確定哪一個模型能更好地?cái)M合該曲線，則我們將分別對該兩種模型進(jìn)行參數(shù)擬合。適用的二次曲線模型為：適用的指數(shù)曲線模型為：,（3）進(jìn)行二次曲線擬合。首先產(chǎn)生序列，得到估計(jì)模型為：其中調(diào)整的，則方程通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為151.7。(4)進(jìn)行指數(shù)曲線模型擬合。對模型兩邊取對數(shù)：產(chǎn)生序列，之后進(jìn)行普通最小二乘估計(jì)該模型,最終得到估計(jì)模型為：,其中調(diào)整的，則方程通過顯著性檢驗(yàn)，擬合效果很好。標(biāo)準(zhǔn)誤差為：175.37。（5）通過以上兩次模型的擬合分析，我們發(fā)現(xiàn)采用二次曲線模型擬合的效果更好。因此，運(yùn)用方程：進(jìn)行預(yù)測將會取得較好的效果。,修正指數(shù)曲線模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用,對于修正指數(shù)曲線模型一般0B1,y=K為其漸進(jìn)線水平。用三段總和法來估計(jì)參數(shù),設(shè)時間序列的數(shù)據(jù)為于是得A、B、K的估計(jì)式為,修正指數(shù)曲線預(yù)測模型1）模型的形式,2）模型的識別,例4我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)人員總數(shù)如表4.13所示，試預(yù)測2003年我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)。解:繪制散點(diǎn)圖，如圖4.13所示。,得:,所以我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)修正指數(shù)曲線模型為:將代入模型,得到2003年我國衛(wèi)生機(jī)構(gòu)總?cè)藬?shù)的預(yù)測值:,例5:某商品1991年投放市場以來,社會總需求量統(tǒng)計(jì)資料如下表所列,試預(yù)測2000年的社會總需求量。解:描散點(diǎn)圖,初步確定模型;計(jì)算一階差分比率,進(jìn)一步驗(yàn)證選用修正指數(shù)曲線模型是否合適;估計(jì)模型參數(shù)。所求修正指數(shù)曲線預(yù)測模型:預(yù)測2000年的社會總需求量:,此例反映了這樣的時間序列變化規(guī)律:初期迅速增加,一段時期后增長量逐漸降低,而逐增長量的環(huán)比速度又大體上一致,最后發(fā)展水平趨向于某一正的常數(shù)極限,那么,這種時間序列的發(fā)展趨勢就適宜用修正指數(shù)曲線來描述和預(yù)測。,生長曲線趨勢外推法,一般產(chǎn)品(或技術(shù))的發(fā)展,基本上都要經(jīng)歷一個萌芽、發(fā)展、成熟、衰落的過程。這里介紹兩種能夠較好地描述產(chǎn)品或技術(shù)生命周期規(guī)律的典型S型生長曲線模型:皮爾曲線和龔珀茲曲線模型。一、皮爾曲線模型及其應(yīng)用皮爾(Pearl)是美國生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家,提出了著名的S型生長曲線模型:其中,參數(shù)L、a、b為正數(shù)。,皮爾曲線適用于生物繁殖、人口發(fā)展統(tǒng)計(jì)與預(yù)測;尤其適合處于成熟期的商品或技術(shù)的發(fā)展趨勢分析與預(yù)測。模型的識別:倒數(shù)的一階差分比率為模型的參數(shù)估計(jì)及應(yīng)用:令則有于是,可套用修正指數(shù)曲線的估計(jì)參數(shù)公式。注意,L是生長曲線的上限,有時通過定性分析或?qū)＜易稍兯ǖ腖值往往比由公式計(jì)算得到的L值更接近實(shí)際,預(yù)測效果更好。,例6:吉林省19661983年年度人口數(shù)如下表所列,試預(yù)測該省1984年以后年度人口數(shù)。,解:人口的數(shù)量變動一般符合皮爾曲線所反映的規(guī)律。通過計(jì)算時間序列數(shù)據(jù)倒數(shù)的一階差分比率,確定選用該模型。所求皮爾曲線趨勢預(yù)測模型為:通過計(jì)算回溯擬合值與觀察擬合誤差,發(fā)現(xiàn)所建模型對1987年以前歷史數(shù)據(jù)的擬合效果相當(dāng)好。但是1988年以后,預(yù)測誤差越來越大。通過調(diào)整吉林省2010年人口的上限值L,重新計(jì)算模型中相應(yīng)的參數(shù)a,修正皮爾曲線模型。對照模型調(diào)整后的人口預(yù)測值與實(shí)際值,計(jì)算預(yù)測誤差,發(fā)現(xiàn)1992年開始,修正模型的預(yù)測效果大大優(yōu)于原先的模型。故吉林省人口趨勢宜用兩個皮爾曲線模型刻畫,分時間段使用。,二、龔珀茲曲線預(yù)測模型及應(yīng)用,龔珀茲曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式是:其中參數(shù):00與皮爾曲線類似,龔珀茲曲線也適于對產(chǎn)品或技術(shù)作生命周期分析,尤其適于對各種新技術(shù)或產(chǎn)品市場容量的發(fā)展趨勢作分析與預(yù)測。模型的識別:所以,當(dāng)算得的時間序列各項(xiàng)對數(shù)的一階差分比率幾近相等時,就可配以龔珀茲曲線模型進(jìn)行預(yù)測。模型的參數(shù)與應(yīng)用:經(jīng)變換,可化為修正指數(shù)曲線。,龔珀茲(Compertz)是英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家。,龔珀茲曲線預(yù)測模型1）模型的形式,2）模型的識別,將其變換為對數(shù)形式,3）模型參數(shù)k、a、b的三和值估計(jì)法,仿照修正指數(shù)曲線參數(shù)的確定方法