第一章直角三角形的邊角關(guān)系1銳角三角函數(shù)九年級(jí)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系第1課時(shí)正切與坡度

圖1

圖22.5

2

根據(jù)題意，得∠B1C1A＝∠B2C2A＝90°.又∵∠B1AC1＝∠B2AC2，∴△B1AC1∽B2AC2.

正切圖形定義∠A的

與

的比叫做∠A的正切，

記作tan

A.

即tan

A＝＝

.

注意

事項(xiàng)正切值是一個(gè)比值，它隨著角度的變化而變化，角

度越大，比值越大，角度一定，比值就固定了，即

正切值與銳角的

有關(guān)，與銳角所在的三角

形無關(guān).性質(zhì)tan

A的值越大，梯子越

?.對(duì)邊

鄰邊

大小

陡

∠A的對(duì)邊∠A的鄰邊知識(shí)點(diǎn)1

正切的概念【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，求tan

A

和tan

B.

解：∵∠C＝90°，BC＝6，AB＝10，

【變式1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求tan

A和tan

B的值.

解：∵∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，

知識(shí)點(diǎn)2

用正切來判斷梯子的傾斜度【例2】(北師教材九下P3例1改編)如圖，甲、乙兩個(gè)自動(dòng)扶梯，

?自

動(dòng)扶梯比較陡.(填“甲”或“乙”)乙

【變式2】如圖，下面四個(gè)梯子最陡的是(

B

)B知識(shí)點(diǎn)3

正切與坡度正切常用來描述斜坡的坡度.坡面的

與

?的比稱

為坡度(或坡比)，記作i.如圖中斜坡的坡度i＝tan

α.鉛直高度

水平寬度

【例3】如圖，是某斜坡的示意圖，為了了解該斜坡的傾斜程度，小明測(cè)

得圖中所示的數(shù)據(jù)，則該斜坡的坡度tan

α＝

?.【變式3】如圖，是某滑梯的示意圖，已知滑梯梯面AB與地面AC所成斜

坡的坡度i＝3∶4.若它的垂直高度BC為30

m，則該滑梯的水平長(zhǎng)度AC

＝

m，滑梯梯面AB＝

m.1∶3

40

50

1.

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA過點(diǎn)B(2，1)，則tan

α的值是

?.2.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，則∠A的正切值為

(

A

)A.3B.

C.

D.

A3.

比較tan

20°，tan

50°，tan

70°的大小，正確的是(

C

)A.tan

70°＜tan

50°＜tan

20°B.tan

50°＜tan

20°＜tan

70°C.tan

20°＜tan

50°＜tan

70°D.tan

20°＜tan

70°＜tan

50°C4.

如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC

的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))上，則tan

B的值為

?.

5.

如圖，在Rt△ABC中，

CD是斜邊AB上的高，∠A≠45°，則下列比

值中不等于tan

A的是(

D

)A.

B.

C.

D.

D

7.

如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝8，點(diǎn)E為邊AD上一點(diǎn)，將

△CDE沿CE對(duì)折，使點(diǎn)D正好落在邊AB上的點(diǎn)F處，求tan∠AFE的值.解：在矩形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝10.由折疊的性質(zhì)，得∠EFC＝∠D＝90°.∴∠AFE＋∠BFC＝90°.在Rt△BCF中，∠BCF＋∠BFC＝90°.∴∠AFE＝∠BCF.

由折疊的性質(zhì)，得CF＝CD.

在Rt△BFC中，BC＝8，CF＝CD＝10.

九年級(jí)下冊(cè)第一章直角三角形的邊角關(guān)系第2課時(shí)正弦和余弦銳角三角函數(shù)的定義：在Rt△ABC中，∠C＝90°.

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則sin

A＝

?；sin

B＝

?；cos

A＝

?；cos

B＝

?.

注意：(1)銳角三角函數(shù)的值都是一個(gè)比值，它們隨著角度的變化而變

化，角度確定，比值就確定了，即銳角三角函數(shù)值只與銳角的大小有

關(guān)，與銳角所在的三角形無關(guān).(2)sin

A的值越

，梯子越

；cos

A的值越

，梯子越陡.大

陡

小

知識(shí)點(diǎn)1

求銳角三角函數(shù)值【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，求sin

A，cos

A，tan

A的值.

解：在Rt△ABC中，

【變式1】分別求出下列直角三角形中∠B的正弦值、余弦值和正切值.

解：由勾股定理，

知識(shí)點(diǎn)2

銳角三角函數(shù)的綜合運(yùn)用【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，sin

A＝0.6.(1)求BC的長(zhǎng).

解：(1)在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝20，sin

A＝0.6，

∴BC＝AC·sin

A＝20×0.6＝12.

知識(shí)點(diǎn)3

用方程思想求邊長(zhǎng)

解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD.

∵DE⊥AB，∴∠DEA＝90°.

設(shè)AE＝3k，則AD＝5k.∴BE＝5k－3k＝2k＝4，解得k＝2.∴AD＝10.∴菱形的周長(zhǎng)為4AD＝4×10＝40.

即5AC＝13BC.

∵CA＝AD＋DC，CD＝CB，AD＝16，

∴CA＝16＋CB.

∴5(16＋CB)＝13CB，解得CB＝10.1.

如圖，在4×5的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1，△ABC的頂點(diǎn)

都在這些小正方形的頂點(diǎn)上，那么，∠ACB的正弦值為

?.

2.

(北師教材九下P6隨堂練習(xí)T1)如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC

＝16，求cos

B及tan

B的值.解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D.

在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，∴BD＝8.在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8，

3.

(北師教材九下P7T4)在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB邊上的

中線，

BC＝8，CD＝5，求sin∠ACD，cos∠ACD和tan∠ACD.

解：如圖，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CD是AB邊上的中線，CD

＝5，∴AD＝5，AB＝2CD